§4 二维随机变量及其分布

一、二维随机变量的联合分布函数与边缘分布函数 二、二维离散型随机变量的联合分布律与边缘分布律 三、二维连续型随机变量的联合概率密度与边缘概率密度 四、二维随机变量的独立性 五、二维随机变量的条件分布 六、推广（了解）

★: 二维随机变量的定义 例子: E: 将一枚硬币连掷三次. 令 X=“正面出现的次数” Y=“正反面次数之差的绝对值” 则由X,Y构成的二维向量(X,Y),即为定义在E上的二维随机变量。

二维随机变量的定义: 设E是一个随机试验,其样本空间为S .设X、Y是定义在S上的两个随机变量，由 X,Y 构成的向量(X，Y)称为S的一个二维随机变量。 e X(e) Y(e) RX RY

注意：研究二维随机变量(X,Y),不仅 要研究这两个随机变量之间的相互关系, 还要研究X与Y各自的性质。这就是所 谓联合分布与边缘分布的问题。

一、二维随机变量的联合分布函数与边缘分布函数 1、联合分布函数: F(x,y) (1)定义:设(X,Y)为二维随机变量,对任意实数 x、y, 称 为二维随机变量（X,Y）的联合分布函数。

F(x,y)即为随机点(X,Y)落在以点(x,y)为顶点,而位于该点左下方的无穷矩形区域G内的概率值。 (2)联合分布函数的几何意义 (X,Y)平面上随机点的 坐标 F(x,y)即为随机点(X,Y)落在以点(x,y)为顶点,而位于该点左下方的无穷矩形区域G内的概率值。

(3)F（x，y）的性质 1) F（x，y）分别关于x和y为不减函数 2）0  F（x，y） 1，且 F(-,-)=0, F(+,+)=1 3) F（x，y）分别关于x和y为右连续函数 即 F（x，y）= F（x+0，y） F（x，y）= F（x，y+0）

注意：求边缘分布时,我们总假设联合分布为已知。 2、(X,Y)的边缘分布函数: 设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F(x,y),分别把(X,Y)关于X和Y的分布函数FX(x)和FY(y)叫做二维随机变量(X,Y) 关于X和Y的边缘分布函数. 注意：求边缘分布时,我们总假设联合分布为已知。

边缘分布函数的几何意义 (X,Y) 平面上的随机点 随机点（X，Y）落 在直线 左方的无穷区域内的概率值。  随机点（X，Y）落在直线 下方的无穷区域内的概率值。

二、二维离散型随机变量的联合分布律与边缘分布律 1、定义 若二维 R.v.（X，Y）所有可能的取值是有限对或无限可列对，则称（X，Y）是二维离散型随机变量。 中心问题：(X,Y)可能取哪些值？ 它取这些值的概率分别为多少？

（xi,yj)

2、二维D.R.v.（X，Y）的联合分布律: (1)公式法

(2)表格法 X Y

例1 将一枚硬币连掷三次，令X=“正面出现的次数”，Y=“正反面次数之差的绝对值”，试求(X,Y)的联合分布律。 （0,3）（1,1）（2,1）（3,3） P(X=0,Y=3)=P(反反反)=1/8 X Y 1 2 3 3/8 1/8

例2 设随机变量X在1,2,3,4中随机地取一个数,另一随机变量Y在1到X中随机地取一整数.求(X,Y)的分布律。

解：设X可能的取值为i=1,2,3,4； Y可能的取值为j=1,…,i.则 说明:P(AB)=P(A)P(B/A)

(X,Y)的联合分布律为: 1 2 3 4 1/4 1/8 1/12 1/16 X Y

设（X，Y）的联合分布律 pij已知 ,则(X,Y)关于X和Y的边缘分布律为：

我们常在表格上直接求边缘分布律 X Y 1

例3:求上例中二维随机变量(X,Y)关于X与Y的边缘分布律. 1 2 3 3/8 1/8 1

分析 (X,Y)的可能取值为(0,0)、(0,1)、(1,0)、(1,1). 作业: 在一个装有3个红球2个白球的盒子中连续取球两次，每次取一只，设 求（X1 ,X2）的联合分布律及边缘分布律. 假设：（1）采取有放回取球方式 （2）采取不放回取球方式 分析 (X,Y)的可能取值为(0,0)、(0,1)、(1,0)、(1,1).

三、二维连续型随机变量

定义：设二维随机变量（X，Y）的分布函数为 F(x,y),若存在非负函数f（x，y），使对任意实数 x，y 有

2、f(x,y)的性质： 1) 非负性: f(x,y) ≥0； 2) 规范性: 几何解释？ P51 中间

例1:设二维随机变量(X,Y)的概率密度为:

x y

3、由f(x,y)求fX(x)和fY(y)： 复习: 设连续型随机变量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y) 同理:

例2:设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

例3:设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 y=x y x 1

补充: (二维均匀分布) 设G为平面上的有界区域 ，其面积为A .若二维随机变量(X,Y)的概率密度为:

例4:设平面区域D由曲线 及直线 所围成，二维随机变量（X , Y） 在区域D上服从均匀分布，则（X , Y） 处的值为 ． 关于X的边缘概率密度在

二维正态分布： 记为:

四、随机变量的独立性 复习: 两个事件A与B独立性的定义 P(AB)=P(A)P(B) 1、定义：设X与Y是两个随机变量,若对任意的 x,y有

说明:随机变量独立性的结论 (1)由定义可知：若X与Y独立,则 (2)离散型随机变量，X与Y相互独立的充要条件为: (3)连续型随机变量，X与Y相互独立的充要条件为: 例如:验证P54例3与例4中X与Y的独立性。

例1:设二维随机变量(X,Y)的概率密度为:

例2:设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

五、二维随机变量的条件分布 1、当（X，Y）为离散型随机变量时 定义：设（X，Y）的联合分布律为 为在 Y=yj 的条件下X的条件分布律.

为在 X=xi 的条件下随机变量Y的条件分布律. 例1:求在p54例3中在 X=2 的条件下Y的条件分布律

Y=yk 1 2 3 4 P(Y=yk/X=2) ½ ½ 0 0 2、当（X，Y）为连续型随机变量时 类似地可定义：

为在条件 下Y 的条件概率密度. 为在条件Y =y下X 的条件概率密度. 例1:设二维随机变量(X,Y)的 概率密度为

由上可知，当X和Y相互独立时，下列两式成立： 六、n维随机变量（随机向量）P59

§2.4小节 1、二维随机变量的联合分布函数与边缘分布函数 2、二维离散型随机变量的联合分布律与边缘分布律 3、二维连续型随机变量的联合概率密度与边缘概率密度 4、二维随机变量的独立性 5、二维随机变量的条件分布

例3:下表给出了二维随机变量(X,Y)的联合分布律及关于X与Y的边缘分布律中的部分数值,试完成下表: 1/3 1/6 y2 1/2 1

例3:下表给出了二维随机变量(X,Y)的联合分布律及关于X与Y的边缘分布律中的部分数值,试完成下表: 1/3 1/6 1/2 y2 1

分析 (X,Y)的可能取值为(0,0)、(0,1)、(1,0)、(1,1)； 假设：（1）采取有放回取球方式 （2）采取不放回取球方式 分析 (X,Y)的可能取值为(0,0)、(0,1)、(1,0)、(1,1)；

解:(1)在放回抽样下，两次抽取相互独立，故 P{X=0,Y=0}= P{X=0}.P{Y=0} =3/5 .3/5 =9/25 (2)在不放回抽样情况下 P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0/X=0)=3/5·2/4=3/10

解: (1)在放回抽样下，两次抽取相互独立，故 X 0 1 p.j Y 1 pi. P{X=0,Y=0}= P{X=0}。P{Y=0}=3/5 。3/5 =9/25 类似地可有 P{X=0,Y=1}=6/25，P{X=1,Y=0}=6/25， P{X=1,Y=1}=4/25， 列表如下 X 0 1 p.j Y 1 pi.

而在不放回抽样下， P{X=i,Y=j}= P{Y=jX=i}。P{X=i}，i,j=0,1 故有 X 0 1 p.j Y 1 pi. 1 注： 由此例可见:不同的联合分布可有着相同的边缘分布,从而边缘分布不能唯一确定联合分布！ 返回

三、二维连续型随机变量的联合概率密度与边缘概率密度

复习: 一、二维随机变量的联合分布函数与边 缘分布函数 二、二维离散型随机变量的联合分布律与边缘分布律

例5 已知(X,Y)服从G:x2+y2≤R2上的均匀分布，求其概率密度及边缘概率密度。 解： 固定x后，对y求积分! 当|x|>R时，f(x,y)0, 故 fX(x)=0 ; 当|x|≤R时，fX(x)=

同理， 两个要点：1） 明确公式；2） 会固定参变量，求积分! 例4 P55 例5 结论重要

复习: 1、二维随机变量(X,Y)的 边缘概率密度: 2、二维随机变量(X,Y)的 独立性: