第四章几种重要的分布 4.1 二项分布 4.2 超几何分布 4.3 普哇松分布 4.4 指数分布 4.5 Γ-分布 4.6 正态分布

贝努里(Bernoulli)概型与二项分布 4.1二项分布 （一）随机变量ξ的分布律 贝努里(Bernoulli)概型与二项分布 1. (0-1)分布 若以X表示进行一次试验事件A发生的次数，则称X服从(0－1)分布(两点分布) X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k, (0<p<1) k＝0，1 或

2.定义 设将试验独立重复进行n次，每次试验中，事件A发生的概率均为p，则称这n次试验为n重贝努里试验.事件A恰好发生k次的概率为 其中0<P<1,q=1-p, 则称ξ服从参数为n,p的二项分布。记作ξ~B（n,p)

P{ξ=k}的值恰好是二项式（q+px)n展开式中第k+1项xk的系数。 ξ的分布函数为: 事件Ａ至多出现m次的概率是 事件Ａ出现次数不小于不大于 的概率是

例.从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3. (1)设ξ为汽车行驶途中遇到的红灯数,求ξ的分布律. (2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率. 解:(1)由题意,ξ~B(6,1/3),于是,ξ的分布律为:

例1 某工厂每天用水量保持正常的概率为3/4，求最近６天内用水量正常的天数的分布。 例1 某工厂每天用水量保持正常的概率为3/4，求最近６天内用水量正常的天数的分布。 解　设最近六天内用水量保持正常的天数为ξ。它服从二项分布，ξ～B(6 0.75) 用公式（4.1）计算其概率值，得到： 1 2 3 4 5 6 P 0.0002 0.0044 0.0330 0.1318 0.2966 0.3560 0.1780

例２ 10部机器各自独立工作，因修理调整等原因， 每部机器停车的概率为0.2，求同时停车数目ξ的分布 例２ 10部机器各自独立工作，因修理调整等原因， 每部机器停车的概率为0.2，求同时停车数目ξ的分布 解：ξ服从二项分布，ξ～B(10 0.2) 可用贝努里公式计算pk。 现将计算结果列成分布表如下: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 p 0.11 0.27 0.30 0.20 0.09 0.03 0.01 0.00

例３　一批产品的废品率p=0.03，进行20次重复抽样 （有放回抽取），求出现废品的频率为０.１的概率。 解　令ξ表示2０次重复抽取中废品出现的次数， 它服从二项分布。ξ～B(20 0.03)

（二）二项分布的期望和方差 二项分布B(n, p)

二项分布B(n, p)：

例3 若ξ~B(n,p),求E(ξ) 解:设 第i次试验事件A发生 第i次试验事件A不发生 则

求Dξ 第i次试验事件A发生 设 第i次试验事件A不发生 则

（三）二项分布的最可能值 二项分布中ξ可以取值0,１,…, n。使概率Ｐ{ξ=k}取 最大值的k，记作k0，称k0为二项分布的最可能值。

由(2)得

(4.3)

　　例４　某批产品中有８０％的一等品，对它们进行重复抽样检验，共取出４个样品，求其中一等品数ξ的最可能值，并用贝努里公式验证。 解　ξ服从二项分布，ξ～B(4 0.8) np+p=3.2+0.8=4是整数，所以k0=4 和 k0=3时 Ｐ{ξ＝k0}为最大。即取出４个样品时， 一等品个数最可能是３或４。 用贝努公式计算ξ的分布律下 ξ 1 2 3 4 p 0.0016 0.0256 0.1536 0.4096

４.２超几何分布 例１ 某班有学生２０名，其中有５名女同学，今从班上任选４名学生去参观展览，被选到的女同学数ξ是一个随机变量，求ξ的分布。 　 例１　某班有学生２０名，其中有５名女同学，今从班上任选４名学生去参观展览，被选到的女同学数ξ是一个随机变量，求ξ的分布。 解　ξ可以取０，１，２，３，４这５个值， 计算结果列成概率分布表如下： ξ 1 2 3 4 p 0.2817 0.4696 0.2167 0.0310 0.0010

例２　若一班有学生２０名，其中３名女同学，从班上任选４名去参观，求被选到的女同学人数ξ这一随机变量的分布律。 解　　可以取０,１,２,３这４个值。 列成概率分布如下 ξ 1 2 3 p 0.4912 0.4211 0.0842 0.0035

定义４２　设Ｎ个元素分为两类，有Ｎ１个属于第一类，Ｎ２个属于第二类（Ｎ１＋Ｎ２＝Ｎ）。从中按不重复抽样取n个，令ξ表示这n个中第一（或二）类元素的个数，则ξ的分布称为超几何分布。其概率函数是 p 1 q p 当N→∞时， 超几何分布以二项分布为极限

例３ 一大批种子的发芽率为90％，今从中任取10粒，求播种后，（１）恰有8粒发芽的概率； （２）不少于8粒发芽的概率。 例３　一大批种子的发芽率为90％，今从中任取10粒，求播种后，（１）恰有8粒发芽的概率； （２）不少于8粒发芽的概率。 解　设10粒种子中发芽的种子数目为ξ。因10粒种子是由一大批种子中抽取的，这是一个Ｎ很大，n相对于Ｎ很小的情况下的超几何分布问题，可用二项分布公式近似计算。ξ～B(10 0.9)

４.３普哇松分布 定义4.3 如果随机变量ξ的概率函数是 其中 λ>0 ，则称ξ 服从普哇松(Poisson) 分布。 利用级数 易知

由于 或 两边对求导得 或

普哇松分布常见于所谓稠密性的问题中。 如一段时间内，电话用户对电话台的呼唤次数， 候车的旅客数，原子放射粒子数， 织机上断头的次数， 以及零件铸造表面上一定大小的面积内砂眼的个数等等。 在二项分布中，ξ～B(n，p)当n比较大，p很小时， 用普哇松分布近似代替二项分布的公式，其中 λ＝np 普哇松分布的方便之处在于有现成的分布表 （见附表一）可查，免于复杂的计算。

普哇松定理表明，普哇松分布是二项分布的极限分布， 当n很大，p很小时，二项分布就可近似地 看成是参数=np的普哇松分布 ξ～B(n,p)与ξ～Pλ(ξ=k)的比较

例1 ξ服从普哇松分布，Eξ=5,查表求 P(ξ=2)= P(ξ=5)= P(ξ=20)= 解 因普哇松分布的参数λ就是它的期望值Eξ， 故 λ=5查书后附表一， 有p5(2)=0.084224 p5(5)=0.175467 P5(20)=0

例2 一大批产品的废品率为 p=0.015 求任取一箱 （有100个产品），箱中恰有一个废品的概率。 解 所取一箱中的废品个数 服从超几何分布， 由于产品数量N很大，可按二项分布公式算， 其中n=100, p=0.015 但由于ｎ较大而ｐ很小， 可用普哇松分布公式近似代替二项分布公式计算。 其中λ =np=1.5,查表得： 误差不超过0.01

试用普哇松分布公式计算疵点数的分布，并与实际 检查结果比较。 例３　检查了100个零件上的疵点数，结果如表4-6: 疵点数 1 2 3 4 5 6 频数 14 27 26 20 7 频率 0.14 0.27 0.26 0.20 0.07 0.03 概率 0.1353 0.2707 0.1804 0.0902 0.0361 0.0120 试用普哇松分布公式计算疵点数的分布，并与实际 检查结果比较。 解： 要用普哇松(Poisson) 分布公式计算，首先要求出λ

y y θ θ x

4. 4 指数分布 定义4.4 如果随机变量ξ的概率密度为 x 其中λ>0，则称ξ服从参数为λ的指数分布。 易知 它的分布函数

对任何实数a,b （0≤a<b),有 在习题三第12题中已经算出它的期望和方差：

指数分布常用来作为各种“寿命”分布的近似。如 随机服务系统中的服务时间，某些消耗性产品（电子 元件等）的寿命等等，都常被假定服从指数分布。 假若产品的失效率为λ，则产品在t( t>0) 时间 失效的分布函数 而产品的可靠度为:

例1 某元件寿命ξ服从参数为λ(λ-1 =1000)的指数分布。3个这样的元件使用1000小时后，都没有损坏的概率是多少？ 例1 某元件寿命ξ服从参数为λ(λ-1 =1000)的指数分布。3个这样的元件使用1000小时后，都没有损坏的概率是多少？ 解 参数为λ的指数分布的分布函数为 各元件寿命相互独立，因此3个这样的元件使用1000小时都未损坏的概率为

例 .电子元件的寿命ξ(年）服从参数为3的指数分布 (1)求该电子元件寿命超过2年的概率。 (2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两年的概率为多少？ 解

参数为t的普哇松分布，求T的概率密度。 设[0，t]时段内过桥的汽车数Xt服从 参数为t的普哇松分布，求T的概率密度。 解 当t ≤0时， 当t >0时， =1- {在t时刻之前无汽车过桥} 于是

4.5 Γ-分布 定义4.5 如果连续性随即变量ξ具有概率密度 其中λ>0，r>0，则称ξ服从Γ-分布，记作ξ～Γ(λ,r) 4.5 Γ-分布 定义4.5 如果连续性随即变量ξ具有概率密度 其中λ>0，r>0，则称ξ服从Γ-分布，记作ξ～Γ(λ,r) 这里的Γ(r)就是微积分里定义的 Γ-函数，即

当r>0时这个积分式收敛的，利用Γ-函数的定义可以证明 还可以计算出 Γ-分布在概率论，数理统计和随机过程中都有不少应用。 当r=1时，为指数分布

当r为正整数时， 它是排队论中常用到的r阶爱而朗分布；

当r =n/2(n是正整数），λ=1/2时 就是具有n个自由度的χ2分布 简记作χ2 (n) 它是数理统计中最重要的几个常用统计量的分布之一。 自由度: 表示进入到所要考虑的统计问题中自由变量的个数 多一个约束条件,就少一个自由变量.

定理4.1 如果ξ1,ξ2,…,ξn相互独立，且ξi服从参数为λ,ri的Γ-分布，则它们的和 ξ1+ξ2+…+ξn服从参数为 r1+r2+…+rn的Γ－分布 Γ-分布具有可加性 证明：略

4.6 正态分布 正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上 研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特 别重要的地位。 B A 4.6 正态分布 正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上 研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特 别重要的地位。 B A A，B间真实距离为，测量值为ξ。ξ的概率密度应该是什么形态？

（一） 正态分布的概率密度 定义4.6 如果连续型随机变量ξ的概率密度为 其中σ,μ为常数，并且σ>0，则称ξ服从参数为μ,σ正态分布， 简记作N(, 2) 利用普哇松积分 可以验证

＝0

特别地，当参数μ=0，σ =1时，φ(x) 可以写成 称它为标准正态分布的概率密度，简记作N(0,1)

其中 为实数， >0 ，则称ξ服从参数为 ,2的正态分布,记为N(, 2)，可表为ξ～N(, 2). 若随机变量 其中 为实数， >0 ，则称ξ服从参数为 ,2的正态分布,记为N(, 2)，可表为ξ～N(, 2).

正态分布有两个特性： (1) 单峰对称 密度曲线关于直线x=对称；(p93) φ()＝maxφ(x)＝ .

(2) 的大小直接影响概率的分布 越大，曲线越平坦， 越小，曲线越陡峻，。 正态分布也称为高斯(Gauss)分布

（二） 标准正态分布概率密度φ0(x)的性质及 概率密度函数表 标准正态分布ξ～N(0,1)密度函数表示为 分布函数表示为

φ0(x)除具有一般概率密度的性质外，还有下列性质： （2） φ0(-x) = φ0(x) ，即 φ0(x) 的图形关于y轴对称； （3） φ0(x)在( -∞，0)内严格上升，在 ( 0,+∞) 内严格下降，在x=0处达到最大值： （4） φ0(x) 在x= ±1处有两个拐点； （5） 即x轴是曲线 φ0(x) 的水平渐近线。 例1 介绍查概率密度函数表

例1 ξ～N(0,1) 求 0.07754 0.3391 0.3989 0.002096

（三）一般正态分布与标准正态分布的关系 定理4.2 如果 其概率密度分别记为 分布函数分别记为 证:

定理4.3 如果 称随机变量函数 为标准化变换。 证：

（四） 标准正态分布函数表 如果ξ～N(0,1),则对大于零的实数x, 的值可以由附表三直接查到。

例2 = 0.975 ＝P(ξ≥1.96)=1- P(ξ≤1.96)=0.025 =P(-1.96≤ξ≤1.96)= =0.95 =0.97725+0.8413－1 =0.81855 ＝1

∴如果ξ～N(0,1)，则

例3 解：

例4 解： 查表得：

P{1.32<ξ<2.43}=(2.43)-(1.32) =0.9925-0.9066 若 ξ~N（0，1）,（0.5)=0.6915, P{1.32<ξ<2.43}=(2.43)-(1.32) =0.9925-0.9066 正态分布表 注：(1) (x)＝1－ (－x)； (2) 若X～N(, 2)，则

（五）正态分布与Γ-分布的关系 定理 4.4 如果 ξ服从N(0, 1)，则ξ2服从 λ＝0.5，r=0.5的Γ-分布，即 证： 当x≤0时， 当x>0时

当x>0时

（六） 二元正态分布 定义4.7 若二元连续型随机变量（ξ，η）的联合概率密度为 （4.16） 其中 均为常数 。 定义4.7 若二元连续型随机变量（ξ，η）的联合概率密度为 （4.16） 其中 均为常数 。 时，称（ξ，η）服从二元正态分布

定理 4.5 二元正态分布的边缘概率密度是一元正态分布。 定理 4.5 二元正态分布的边缘概率密度是一元正态分布。 证：设（ξ，η）的联合概率密度由（4.16）式给出， ξ的边缘概率密度记为 ＝1

由第三章的知识我们知道： 相互独立的两个随机变量一定不相关ρ＝0 但是不相关的随机变量不一定独立 然而对于二元正态分布来说，有定理4.6成立 定理4.6 服从二元正态分布的随机变量（ξ,η ) 它们独立的充分必要条件是ξ与η的相关系数ρ=0

证：必要性 充分性

定义4.8 若连续型随机变量ξ的概率密度为 称ξ服从具有n个自由度的t分布，简记为t（n）。

定义4.9 若连续型随机变量 ξ的概率密度为 称 ξ 服从具有第一个自由度为 n1 ， 第二个自由度为n2 的F分布，简记为