德国心理学家艾宾浩斯最早对遗忘进行 了系统研究，遗忘在学习之后立即开始，而 且遗忘的过程最初进行的很快，以后渐趋缓 慢，过了相当时间后就几乎不再遗忘。有所 谓“艾宾浩斯遗忘曲线” 时间 记忆水平 及时复习的遗忘曲线 不能及时复习的遗忘曲线
第三节 数列的极限 数列极限定义 极限的唯一性（定理1） 收敛数列的有界性（定理2） 收敛数列的保号性 收敛数列与其子数列的关系（定理3）
一、定义与定理 1.数列的有界性和单调性： (1)有界性: 无界。 总能找到 使得 例如：数列
(2)单调性:
2.数列极限的定义 定义： 引例 割圆术
正确理解数列极限 ① 的任意给定性。 是任意给定的正数，它是任意的， 但一经给出，又可视为固定的，以便依 来求出 由于 的任意性，所以定义中的不等式 可以改为 （M为任意正整数）； 等等。 ② N的相应存在性。N依赖于 ，通常记作 但N并不是 唯一的， 只是强调其依赖性的一个符号，并不是单值函数 关系，这里N的存在性是重要的，一般不计较其大小。 ③ 定义中“当 时有 ”是指下标大于N的无穷多项 都落在数 的 邻域内，即 也就是说 在邻域 以外的只有数列的有限项，因此改变或增减 数列的有限项不影响数列的收敛性。
…. …. .. …....… . … .
3. 有关数列收敛的性质 定理1（极限的唯一性） 矛盾！命题得证。
定理2 （收敛数列的有界性） 无界数列必发散. 注: 有界数列不一定收敛. 如数列：
子数列的概念: 子数列的表示：
收敛数列与其子数列的关系: 定理3 注:其逆反定理用于 证明数列的发散 证:
数列的两个子数列收敛 但其极限不同 原数列的 问题： 1. 若 2对于某一正数 如果存在正整数N 使得当nN时 有| a| 是否有 a (n ) 3如果数列 收敛 那么数列 一定有界 发散的数列是否一定无界?有界的数列是否收敛? 4 数列的子数列如果发散 原数列是否发散? 数列的两个子数列收敛 但其极限不同 原数列的 收敛性如何?发散的数列的子数列都发散吗？ 5 如何判断数列 1 1 1 1 是发散的？
二、例题 例1 用定义（ ）证明 证明 要使 只须： 即 取 则当 时，有 所以 注：用定义证明数列极限存在的步骤（寻找正整数N的方法） ① 例1 用定义（ ）证明 证明 要使 只须： 即 取 则当 时，有 所以 注：用定义证明数列极限存在的步骤（寻找正整数N的方法） ① 要使 经一系列放大 设 ，构造 ，放大 ②解不等式 得 ③取 当 时，有
例2 （记录） 用定义证明 由于改变数列 的有限项对数 列的极限没有 影响，所以在 选择不等式放 大时，可以对 n值做一些限定。 这样的限制对数列极限的存在是否有影响？ 由于改变数列 的有限项对数 列的极限没有 影响，所以在 选择不等式放 大时，可以对 n值做一些限定。
例3 注:① 发散数列也可能有收敛的子数列． ② 证明数列发散时，可采用下列两种方法： I ) 找两个极限不相等的子数列； II) 找一个发散的子数列。
例4 证明数列 设 极限不存在。 （记录） 证 设 当 时， 即 当 时， 即 极限不存在。 所以
（06年考研题 数学三） 例5 求 解： =1 例6（记录） 已知 求 解： （k=1,2,3,…)
记录 求 解： 从而