E-mail: zhengjm@cqupt.edu.cn 数学建模与数学实验 数理学院高等数学教学研究部 郑继明 E-mail: zhengjm@cqupt.edu.cn 201202

主要参考书籍: 1.赵静, 但琦. 数学建模与数学实验 (第三版)[M]. 2. 姜启源,谢金星,叶俊. 数学 模型(第三版)[M]. 高等教育出版社, 2008 2. 姜启源,谢金星,叶俊. 数学 模型(第三版)[M]. 高等教育出版社, 2003 3.韩中庚. 数学建模方法及其应用(第二版) [M]. 高等教育出版社, 2009 201202

1.关于数学建模 2.数学建模实例 3.数学建模论文的撰写方法 CH.1 数学建模简介 A.人口预报问题 B. 椅子能在不平的地面上放稳吗？ 201202

一、数学模型与数学建模 1. 什么是数学模型？ 数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构． 简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律． 201202

2. 什么是数学建模? 观点：“所谓高科技就是一种数学技术” 数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践．即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解． 观点：“所谓高科技就是一种数学技术” 201202

 数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中，是培养和提高同学们应用所学知识分析问题、解决问题的能力的必备手段之一.  数学建模其实并不是什么新东西，可以说有了数学并需要用数学去解决实际问题，就一定要用数学的语言、方法去近似地刻画该实际问题，这种刻划的数学表述的就是一个数学模型，其过程就是数学建模的过程．数学模型一经提出，就要用一定的技术手段（计算、证明等）来求解并验证，其中大量的计算往往是必不可少的，高性能的计算机的出现使数学建模这一方法如虎添翼似的得到了飞速的发展，掀起一个高潮．  数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中，是培养和提高同学们应用所学知识分析问题、解决问题的能力的必备手段之一. 201202

二、数学建模的一般方法和步骤 建立数学模型的方法和步骤并没有一定的模式，但一个理想的模型应能反映系统的全部重要特征：模型的可靠性和模型的使用性 建模的一般方法： ◆ 机理分析 ◆ 测试分析方法 ◆ 两种方法结合 机理分析：根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反映内部机理的规律，所建立的模型常有明确的物理或现实意义． 测试分析方法：将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，通过测量系统的输入输出数据，并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个数据拟合得最好的模型． 测试分析方法也叫做系统辩识． 将这两种方法结合起来使用，即用机理分析方法建立模型的结构，用系统测试方法来确定模型的参数，也是常用的建模方法． 201202

建立数学模型并数学、数值地求解、确定参数 符合实际 不符合实际 交付使用，从而可产生经济、社会效益 实际问题 抽象、简化、假设 确定变量、参数 建立数学模型并数学、数值地求解、确定参数 用实际问题的实测数据等来检验该数学模型 在实际过程中用哪一种方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的来决定．机理分析法建模的具体步骤大致可见右图． 建模过程示意图 201202

三、数学模型及其分类 模型 数学模型的分类： ◆ 按研究方法和对象的数学特征分：初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、稳定性模型、扩散模型等． ◆ 按研究对象的实际领域（或所属学科）分：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、经济模型、社会模型等． 201202

四、近几年全国大学生数学建模竞赛题 ★ 美国大学生数学建模竞赛 1985年在美国出现了一种叫做MCM的一年一度的大学生数学模型竞赛（1987年前全称是Mathematical Competition in Modeling，1988年改全称为 Mathematical Contest in Modeling，其缩写均为 MCM）． ★ 中国大学生数学建模竞赛 我国大学生于1989年开始参加美国MCM 。上海市率先于1990年12月7～9日举办了“上海市大学生（数学类）数学模型竞赛”；于1991年6月7～9日举办了“上海市大学生（非数学类）数学模型竞赛”． 西安也于1992年4月3～6日举办了“西安市第一届大学生数学模型竞赛”. 全国大学生数学模型联赛” （1992.11.27-29）， 全国有74所大学的314个队参加 。 201202

四、近几年全国大学生数学建模竞赛题 竞赛内容：题目由工程技术、管理科学中的实际问题等简化而成，没有事先设定的标准答案，但留有充分余地供参赛者发挥其聪明才智和创造精神。 竞赛形式：三名大学生组成一队，可以自由地收集资料、调查研究，使用计算机、互联网和任何软件，在三天时间内分工合作完成一篇论文。 评奖标准：假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性、文字表述的清晰程度。 竞赛宗旨：创新意识 团队精神 重在参与 公平竞争 201202

四、近几年全国大学生数学建模竞赛题 201202

201202

2005 A题 长江水质的评价和预测 B题 DVD在线租赁 2006 出版社的资源配置 艾滋病疗法的评价及疗效的预测 2007 中国人口增长预测 乘公交，看奥运 2008 数码相机定位 高等教育学费标准探讨 201202

返回 201202

五、数学建模案例 1. 如何预报人口？ 记今年人口为 ，k 年后人口为 ，年增长率为r，则预报公式为： 要预报未来若干年的人口数，最重要的影响因素是今年的人口数和今后这些年的增长率（即人口出生率减死亡率），根据这两个数据进行人口预报是很容易的． 记今年人口为 ，k 年后人口为 ，年增长率为r，则预报公式为： 预报正确的条件： 年增长率r保持不变． 201202

指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798) 常用的计算公式 今年人口 x0, 年增长率 r k年后人口 x(t) ~时刻t的人口 随着时间增加，人口按指数规律无限增长 201202

指数增长模型的应用及局限性 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程 人口增长率r不是常数(逐渐下降) 19世纪后人口数据 201202

人口增长到一定数量后，增长率下降的原因： xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量） 阻滞增长模型(Logistic模型) 人口增长到一定数量后，增长率下降的原因： 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用 且阻滞作用随人口数量增加而变大 r是x的减函数 假设 r~固有增长率(x很小时) xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量） 201202

阻滞增长模型(Logistic模型) x(t)~S形曲线, x增加先快后慢 dx/dt x t x xm xm xm/2 xm/2 x0 t x xm xm xm/2 xm/2 x0 x(t)~S形曲线, x增加先快后慢 201202

阻滞增长模型(Logistic模型) 用指数增长模型或阻滞增长模型作人口 参数估计 预报，必须先估计模型参数 r 或 r, xm 利用统计数据用最小二乘法作拟合 例：美国人口数据（单位~百万） 1860 1870 1880 …… 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 …… 179.3 204.0 226.5 251.4 r=0.2557, xm=392.1 专家估计 201202

Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量) 模型检验 用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较 实际为281.4 (百万) 模型应用——预报美国2010年的人口 加入2000年人口数据后重新估计模型参数 r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0 Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量) 201202

人口模型小结 1. 指数增长模型（马尔萨斯人口模型）： 英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766—1834）于1798年提出． 2. 阻滞增长模型（logistic模型） 3. 更复杂的人口模型 随机性模型、考虑人口年龄分布的模型等  可见数学模型总是在不断的修改、完善，使之能符合实际情况的变化． 201202

把四只脚的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而有人认为只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了，对吗？ 2. 椅子能在不平的地面上放稳吗？ 把四只脚的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而有人认为只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了，对吗？ 201202

问题分析 模型假设 通常 ~ 三只脚着地 放稳 ~ 四只脚着地 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形; 地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面; 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。 201202

模型构成 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 椅子位置 利用正方形(椅脚连线)的对称性 x B A D C O D´ C ´ B ´ A ´ 用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置 四只脚着地 椅脚与地面距离为零  距离是的函数 四个距离(四只脚) 两个距离 正方形对称性 正方形ABCD 绕O点旋转 A,C 两脚与地面距离之和 ~ f() B,D 两脚与地面距离之和 ~ g() 201202

模型构成 数学问题 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 地面为连续曲面 f() , g()是连续函数 椅子在任意位置至少三只脚着地 对任意, f(), g()至少一个为0 数学问题 已知： f() , g()是连续函数 ; 对任意， f() • g()=0 ; 且 g(0)=0， f(0) > 0. 证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0. 201202

模型求解 评注和思考 给出一种简单、粗糙的证明方法 建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定 假设条件的本质与非本质 将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0. 令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0. 由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0. 评注和思考 建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定 假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子 201202

数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术 怎样学习数学建模 数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术 技术大致有章可循 艺术无法归纳成普遍适用的准则 想像力 洞察力 判断力 学习、分析、评价、改进别人作过的模型 亲自动手，认真作几个实际题目 阅读一些参考书…… 201202

怎样撰写数学建模的论文？ 1. 摘要:问题、模型、方法、结果 2. 问题重述 3. 模型假设 4. 分析与建立模型 5. 模型求解 6. 模型检验 7. 模型推广 姜启源，谢金星，叶俊编. 数学模型（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社，2003 写法 8. 参考文献 实例 9. 附录 201202

怎样撰写数学建模的论文？ 8. 参考文献 返回 姜启源，谢金星，叶俊编. 数学模型（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社，2003 写法 姜启源,谢金星. 一项成功的高等教育改革实践[J]. 中国高教研究, 2011(12):79-83. 会议论文集 [序号] 作者. 篇名[C]//文集名.出版地: 出版者, 出版年：起迄页. 返回 201202