陈信义 编 2005.1 狭义相对论（二） 相对论动力学

目 录 §8 四维动量 质量 §9 质能关系 能量—动量关系 §10 相对论粒子动力学方程 §11四维动量守恒和不变量的应用 §12 力的相对论变换 §13 广义相对论简介

任何物理体系的动力学方程都是基本假定，只能通过实验事实和更普遍的假定来建立或猜想。 当然，建立的动力学方程是否正确，还要通过实验结果来检验。 相对论粒子的动力学方程，应该如何建立呢？

§8 四维动量 质量 一、对方程的基本要求 1、速度v << c 时返回牛顿方程 方程基本形式： 力矢量＝动量矢量的时间变化率 2、满足爱因斯坦相对性原理 在不同惯性系中方程形式相同。 方程在洛仑兹变换下形式不变，具有洛仑兹变换协变对称性。

v S 参考系和粒子参考系： m0 m0 原时是不变量 dt =t 2- t 1 静质量 m0是不变量 测时 dt = t2 - t1 dr r1(t1) r2(t2) v 原时是不变量 dt =t 2- t 1 （粒子运动引起） 静质量 m0是不变量 测时 dt = t2 - t1

二、方程的形式 在S 系中，假定方程为 其中 为原时， 代表动量矢量， 代表力矢量。 形式上满足 力矢量＝动量矢量的时间变化率 如何保证具有洛仑兹变换协变对称性？

只要 是四维矢量—四维动量，方程就一定协变。 原时 “力等于四维动量对原时微商” 因为 为不变量，四维动量的微分仍为四维矢量，所以方程右侧是四维矢量 —保证协变 【思考】方程还有其它形式吗？ 下面寻找四维动量的具体形式。

v 三、四维动量的形式 m0 在S系中定义 ：静质量， ：原时 ：三维动量 低速牛顿动量 — 动量的四维矢量形式 dr r1(t1) r2(t2) v S 参考系 在S系中定义 ：静质量， ：原时 ：三维动量 低速牛顿动量 — 动量的四维矢量形式 【思考】四维动量还有其它形式吗？

相对论粒子动力学方程的形式： 其中 由此可得：质量的概念、质能关系……

四、质量概念的形成 dt＝ dt / g0 （S参考系） 当粒子低速运动时，g0 1，m m0 . 应该理解为S系中测量的粒子质量。 质量取成 m = 0 m0 的形式是协变性的要求。

粒子的质量与粒子相对测量质量的参考系的运动速率v 有关 代表粒子的静质量。 粒子的质量与粒子相对测量质量的参考系的运动速率v 有关 其中， 1、实物粒子(m0  0)的速度不能超过真空中的光速。 S 参考系 m0 m 2、静质量为零粒子的速度可以等于真空中的光速。

质量随速率的变化 实验数据：

§9 质能关系 能量—动量关系 下面证明 ，E为粒子总能量。 证明： 考虑不变量 （S系） （粒子系）

其中 代表三维力，是三维动量对测时的微商。 因E为粒子总能量，则 (m0不变） 代入 ，得 ，积分得 选择能量零点K=0，即得 。

结论：协变性要求粒子的动量表达成四维动量 或写成

一、质能关系 由 得质能关系 一定的能量相当于一定的质量，只差因子c2. 称 m0c2 为粒子的静能量。 粒子的静质量一般用静能量表示 电子 0.510 999 06 Mev/c2 质子 938.272 31 Mev/c2 中子 939.565 63 Mev/c2 氘核 1875.613 39 Mev/c2

重核裂变 质量亏损 裂变能

【例】氘核的结合能 + -EB 结合能

二、能量—动量关系 由不变量 ，得能量—动量关系： （S系） （粒子系） E pc m0 c2

1、静质量为零的粒子以光速运动 2、光子的动量和质量 其中 代表光子的频率。 【思考】带电粒子的速度能达到光速吗？

三、相对论动能 为与实验比较，改写成 对于 情况

贝托齐电子极限速率实验（1962） 测时间 t 曲线 作

－ ＋ 实验结果： 电子极限速度等于真空中的光速

四、动量和能量的相对论变换 由四维动量的洛仑兹变换，得 （参考系相对运动） — 在变换中，动量和能量是相联系的。

§10 相对论粒子动力学方程 一、四维力和三维力的关系 （粒子运动） 四维力用三维力表示为 三维力 四维力

二、相对论粒子动力学方程 力用三维力表示，动力学方程为 或 上式为动能定理（m0保持不变的情况）。 【思考】这里的 ，与牛顿方程的区别？

三、三维力与加速度的关系 F n t a v m 1、力和加速度不同向； 2、速率越大，增大速率越困难。 3、法向关系与牛顿力学类似。

证明： 其中 和 分别代表法向和切向加速度。

三维力与加速度的关系还可表示成 证明：

§11 四维动量守恒和不变量的应用 一、四维动量守恒 ，则四维动量 不 若粒子受合外力 随时间变化 —四维动量守恒： 动量 和能量 守恒 【思考】对于多粒子体系上述守恒定律成立吗？

实验表明： 对于不受外界影响的多粒子体系所经历的过程(包括不能用力的概念描述的过程，例如衰变、裂变、产生新粒子等)，体系的四维动量守恒。或者说，体系的总动量和总能量守恒。 相对论动力学的研究对象主要是不受外界影响的粒子体系。动力学方程通常表现为体系的四维动量守恒的形式。

以下述过程为例 粒子的四维动量为 体系的四维动量守恒是指： 在同一参考系中 或者表示成总动量和总能量守恒

二、不变量的应用 由体系的四维动量守恒可知： 反应前后体系四维动量的不变量相等，即体系四维动量的四个分量的平方和相等。 因为不变量与参考系无关，而四维动量守恒要涉及参考系的变换，所以对于复杂的反应过程，用不变量要比用四维动量守恒更简单。

【例】高能粒子碰撞中的资用能：可以用于粒子转化的能量。对于 (1) 求当靶静止时的资用能； (2) 求对撞时的资用能； (3) 哪种碰撞更有效？ A1+ A2 B 设加速粒子的动能为Ek（>>mc2，粒子的静能） 解. 简单反应，应用动量、能量守恒计算

得到资用能（ Ek>>mc2 ）： 1、靶静止情况 Ek M 复合粒子 m —资用能， —浪费掉了。 碰撞前： 碰撞后： 应用动量、能量守恒： 得到资用能（ Ek>>mc2 ）：

2、对撞情况 M m Ek 资用能： 3、对撞比靶静止更有效

欧洲核子中心（CERN）用270Gev质子轰击静止质子（mc2  1Gev）, 资用能仅为： 1982年改为用270Gev质子-反质子对撞，资用能增大到 相当于静止靶情况的23倍，有利于产生新粒子。 因此，在这台对撞机上发现了W和Z0粒子，证实了弱电统一理论。(C.Rubbia, S.van der Meer, 1984 诺贝尔物理学奖)

欧洲核子中心 CERN

宇宙诞生后的百万分之几秒内，曾存在一种“夸克-胶子等离子体”物质。在夸克-胶子等离子体中，夸克和胶子等基本粒子处于自由状态。它们随宇宙的冷却结合成质子和中子等亚原子粒子，后者又形成原子核，最终产生原子以及今天的宇宙万物。 美国布鲁克海文国家实验室（BNL）通过金原子核对撞，试图获得夸克-胶子等离子体，并宣布找到了这种物质存在的新证据。

【例】两个静质量为m的粒子A1和A2碰撞产生静质量为 M（>>m ）的新粒子B的反应为 A1+ A2 A1+ A2+ B 当所有产物粒子相对静止时，用于加速粒子的能量最小。求加速粒子的最小能量 (1) 靶 A2静止情况； (2) 对撞情况。 解. 复杂反应，用反应前后不变量相等计算。 反应前的不变量在实验室系计算， 反应后的不变量在粒子系计算。

（1） 靶 A2 静止情况 反应前（实验室系）： 反应后（粒子系）： 不变量： （反应前） （反应后）

靶静止，为产生新粒子加速粒子的最小能量为 (2) 对撞情况 反应前（实验室系）： 反应后（粒子系）：

对撞情况加速粒子最小能量为 为产生同样反应效果，采用对撞更有效 例如，对于北京正负电子对撞机 电子 新粒子

§12 力(三维力)的相对论变换 x S F 力为 x S v u F=? 在S系观测 由四维力的洛仑兹变换，求三维力的变换。

四维力和三维力的关系： S 系 S 系

四维力的洛仑兹变换： S 系 （参考系运动）

三维力的变换： ？

其中 （粒子运动） （参考系运动）

证明： 因 是不变量，则

代入 ，可得到三维力 的相对论变换。

三维力的相对论变换 (SS′系) －S 相对S的速度 －S 系粒子速度的 x 方向分量

三维力的相对论变换 (S′S系) －S 系粒子速度的 x 方向分量 －S 相对S的速度

一个重要情况 粒子在 S 系中静止 v' = 0, 受力为 F 则粒子在S系中受力为 纵向力不变，横向力减小到1/ .

【思考】定义四维速度，再由四维速度的洛仑兹变换，求出三维速度的相对论变换。 S u q r 【例】 S 系：静电力 S 系：由三维力的相对论变换 这正是电力加磁力的电磁学结果。 【思考】定义四维速度，再由四维速度的洛仑兹变换，求出三维速度的相对论变换。

对相对论质点动力学方程的讨论 洛仑兹协变性要求 满足力的相对论变换。 1、牛顿力学中的力，例如弹力、摩擦力等，不满足相对论变换。 它们满足伽利略变换，所以只能出现在牛顿方程中 因此，不能用相对论质点动力学方程去求解牛顿力学中的变质量问题。

满足力的相对论变换。 2、电磁学方程是洛仑兹协变的。所以要求带电粒子在电磁场中运动所受的洛仑兹力 因此，只有当力为洛仑兹力时， 才具有通常动力学方程的意义。 3、相对论动力学方程通常表现为四维动量守恒的形式。因此，已知力求粒子运动的问题不占主要地位。

【思考】定义四维速度，再由四维速度的洛仑兹变换，求出三维速度的相对论变换。 四维速度： 三维速度 原时 四维速度的洛仑兹变换：

得三维速度的相对论变换：

§13 广义相对论（引力的时空理论）简介 一、等效原理和局域惯性系 1、严格的惯性系 自由粒子总保持静止或匀速直线运动状态的参考系，是严格的惯性系。 无引力场的区域，才是严格的惯性系！ 例如，太空中远离任何物体的区域。 但参考系由其他物体群构成。这样，自由粒子将不复存在，惯性系的定义出现了问题！ 在引力场中，存在严格的惯性系吗？

2、等效原理和局域惯性系 失重现象 加速度和引力等效

“加速度产生的惯性力”与“真实的引力”等价。 –mI g 地球 自由下落的小电梯 g mg g mI,mg 惯性力  “加速度产生的惯性力”与“真实的引力”等价。 参考系的加速度和引力场等效。 等效原理： 引力 引力被惯性力精确抵消，自由下落的电梯内的区域无引力场。 因此，它与一个没有引力场、没有加速度的惯性系等效，任何物理实验都不能把二者区分开 小电梯是一个“局域惯性系”。 【思考】电梯为什么要小？

而航天飞机相对恒星参考系有加速度，不是惯性系。 牛顿观点： 例：在引力场中自由飞行的航天飞机 引力 惯性力 恒星 恒星参考系是惯性系。 而航天飞机相对恒星参考系有加速度，不是惯性系。 牛顿观点： 恒星参考系有引力，不是惯性系。而航天飞机内惯性力和引力抵消可以看成不受力，是局域惯性系。 广义相对论观点：

在宇宙飞船中 在每一事件的时空点的邻域内，都存在一个局域惯性系，即与在引力场中自由降落的粒子共动的参考系。在此局域惯性系中，一切物理定律服从狭义相对论（如光速不变，时间延迟，长度收缩等）。 “强等效原理”：

在引力场中发生的物理过程，在远处（无引力）观察，其时间节奏比当地的原时慢，其空间距离比当地的原长短 二、引力和时空 在引力场中发生的物理过程，在远处（无引力）观察，其时间节奏比当地的原时慢，其空间距离比当地的原长短  “时缓尺缩”效应。 dt,dl O 设一匀速转动的圆盘，边缘处惯性离心力较大，引力场较强。 在t内，边缘相对O点可看成以速度v的匀速 直线运动。 由狭义相对论

圆周长 < 2R 引力使空间成为非欧几里德的空间弯曲 引力场中时间－空间（四维空间）弯曲， 引力场越强，弯曲越严重。 周长收缩 时间膨胀 圆周长 < 2R 引力使空间成为非欧几里德的空间弯曲 大质量天体 引力场中时间－空间（四维空间）弯曲， 引力场越强，弯曲越严重。

在引力场中，光线象粒子被引力加速一样，变弯曲了。 三、广义相对论预言的几个可观察效应 1、光线的引力偏转 光线按最短路线（短程线）行进，因此 光线 在引力场中，光线象粒子被引力加速一样，变弯曲了。 大质量天体

日全食时拍摄太阳附近的星空照片， 可测出 星光的偏折角。  * 爱因斯坦预言星光偏转角为 1.75。 S 星的实际位置 * 星的视觉位置  爱因斯坦预言星光偏转角为 1.75。 1919年爱丁顿(Eddington)等测得 1.98  0.16。 1973年光学测量结果是 1.60  0.13。 近年用射电天文技术测得 1.761  0.016。

在惯性系中时空平直，而在引力场（非惯性系）中时空弯曲。 光束在引力场中弯曲，还可解释如下： 时刻1 g 2 g 光束 3 g 局域惯性系 光束直线传播 4 g ？ 引力场 在惯性系中时空平直，而在引力场（非惯性系）中时空弯曲。

太阳引力使回波时间加长，称为雷达回波延迟。地球与水星间的雷达回波最大时间差可达240s。 2、雷达回波延迟 由于时缓尺缩效应，引力场中光速减小。 1964年，夏皮罗（Shapiro）提出一个方法，由地球发射雷达脉冲，到达行星后返回地球，测量信号往返时间，比较雷达波远离太阳和靠近太阳两种情况下，回波时间的差异。 太阳引力使回波时间加长，称为雷达回波延迟。地球与水星间的雷达回波最大时间差可达240s。 到上世纪70年代末，测量值与理论值之间的差约为1%，80年代利用火星表面的“海盗着陆舱”进行测量，不确定度降到了0.1%。

3、引力红移 在没有引力的情况下，每种元素辐射谱线的频率是确定的。 而在引力场中，由于时缓效应，谱线的频率变小，这称为引力红移。 1961测太阳光谱中钠5896Å谱线的引力红移，结果与理论偏离小于5％。 1971测太阳光谱中钾7699Å谱线的引力红移，结果与理论偏离小于6％。

1959年，庞德(R.V.Pound )和瑞布卡(Q.A.Rebka )在哈佛塔做了一个实验， 地面附近的引力红移效应更为微弱。 1959年，庞德(R.V.Pound )和瑞布卡(Q.A.Rebka )在哈佛塔做了一个实验， 他们把发射14.4keV的光子的57Co放射源放在高度为H＝22.6m的塔顶，在塔底测量它射来的光子的频率，发现比在塔顶的频率0高了。 H 0  实验结果为 理论值： 【思考】光子的质量为h/c2，试用牛顿力学解释上述结果。

4、水星近日点的进动 按严格平方反比律计算，行星轨道为闭合椭圆。 但实际天文学观测表明，行星轨道并不是严格闭合的，而是绕近日点有进动。 按牛顿力学，考虑坐标系的岁差、其它行星的摄动，水星近日点的进动为每世纪 观测值： 如果考虑空间弯曲对平方反 比律的修正，得 =5600.65，和观测值相符得非常好。

设一飞船自无限远，由静止向星球自由降落。 四、黑洞（black hole） 设一飞船自无限远，由静止向星球自由降落。 M r v m

rs 称为史瓦西半径（Schwarzschild radius）。 dt = ，dr = 0  这表明，在远离引力源处观察，离引力中心 rs 远处，任何过程（包括光的运动）都进行得无限缓慢（凝滞不动）。 rs 称为史瓦西半径（Schwarzschild radius）。

· r  rs r = rs 的球面称为视界（horizon）。 rs r 当 时，逃逸速度： 任何物体（包括光）都逃不出去 黑洞。 当 时，逃逸速度： r  rs r · rs 任何物体（包括光）都逃不出去 黑洞。 r = rs 的球面称为视界（horizon）。 地球： rs = 8.8 ╳ 10 -3 m < 1cm 太阳：rs = 3.0 ╳ 10 3 m 质量 M  (2  3) M⊙时， 才可能形成黑洞， 此时rs  10 km 。

黑洞拉伸、撕裂并吞噬一小部分恒星，最终将恒星大部分质量抛向宇宙空间的模拟过程图。

恒星演化的晚期，其核心部分经过核反应 T ∼ 6109K， 各类中微子过程都能够发生， 中微子将核心区的能量迅速带走 引力坍缩  强冲击波  外层物质抛射或超新星爆发  致密天体 （白矮星、中子星、黑洞） “黑洞”不“黑”：1974年，霍金结合量子力学和相对论，指出黑洞并非全黑—黑洞能够辐射，这就是著名的霍金辐射。黑洞在辐射过程中，将能量辐射出去，这意味着黑洞将逐渐缩小，最后在爆炸中结束生命。

天文学家还发现，黑洞吸引其他恒星的物质，不是一下子就吸引过去，而是在看不见的周围形成一个会转的物质盘(叫做吸积盘)。另外一个恒星的物质是先打到这个盘上去，盘上的物质才像螺旋一样进入黑洞。 霍金原先的计算显示，黑洞蒸发完全属于热效应，它不应该包含任何信息。当黑洞变得越来越小，最后蒸发到没有时，就意味着已经丢失了全部信息。 但霍金的理论同“信息守恒定律”矛盾，一度被人们称为“黑洞悖论”。

但是现在霍金认为，信息进入了黑洞后还是能出来的。只是物质被吸进去以后，黑洞把信息都打散了，不再是原来的样子，面目全非。目前很多科学家都在研究被黑洞重组之后出来信息以何种方式释放。 为验证广义相对论，2004年4月20日美国发射“引力探测器B”卫星。 黑洞视频：