材料力学 Mechanics of Materials 第十章 动载荷 Chapter 10 Dynamic Load

§10-1 概述 (Instruction) 一、基本概念 (Basic concepts) 1、静荷载（Static load) 荷载由零缓慢增长至最终值, 然后保持不变。构件内各质点加速度很小,可略去不计. 2、动荷载 (Dynamic load) 荷载作用过程中随时间快速变化，或其本身不稳定（包括大小、方向），构件内各质点加速度较大. 实验表明 在静载荷下服从虎克定律的材料，只要应力不超过比例极限 ,在动载荷下虎克定律仍成立且E静=E动.

§10-2 动静法的应用 原理( Principle) 达朗伯原理（ D’Alembert’s Principle ） 　　达朗伯原理指出，对作加速度运动的质点系，如假想地在每一个质点上加上惯性力，则质点系上的原力系与惯性力系组成平衡力系。这样，就可以把动力学问题在形式上作为静力学问题来处理，这就是动静法 惯性力（Inertia force) 大小等于质点的质量 m 与加速度 a 的乘积,方向与 a 的方向相反,即

(dynamic stress of the body in the straight-line motion) 一、直线运动构件的动应力 (dynamic stress of the body in the straight-line motion) 例题1 一起重机绳索以加速度 a 提升一重为 G 的物体，设 绳索的横截面面积为 A ，绳索单位体积的重量  ，求距绳索下 端为 x 处的 m-m 截面上的应力. G a x m

G a G a G a  A x m 绳索的重力集度为  A 重力部分 惯性力部分 物体的惯性力为 绳索每单位长度的惯性力

x m 绳索中的动应力为 st 为静荷载下绳索中的静应力 强度条件为

结论：只要将静载下的应力，变形，乘以动荷系数Kd即得动载下的应力与变形. N Nd △d表示动变形 st m m △st表示静变形 当材料中的应力不超过比 例极限时荷载与变形成正比 x 结论：只要将静载下的应力，变形，乘以动荷系数Kd即得动载下的应力与变形.

二、转动构件的动应力 (Dynamic stress of the rotating member) 环平面的轴作等速转动。已知环的角速度为 ，环的横截面 面积为A，材料的容重为  。求圆环横截面上的正应力.  O r

因圆环很薄，可认为圆环上各 解： 点的向心加速度相同，等于圆环中 线上各点的向心加速度. 因为环是等截面的，所以相同长度的 任一段质量相等.  O r 因为环是等截面的，所以相同长度的 任一段质量相等. qd  其上的惯性力集度为 O r

y qd Rd d  o FNd FNd

环内应力与横截面面积无关。要保证强度，应限制圆环的转速. y qd 圆环轴线上点的 线速度 Rd d  o Nd Nd 强度条件 环内应力与横截面面积无关。要保证强度，应限制圆环的转速.

（Stress and deformation by impact loading) §10-4 构件受冲击时的应力和变形 （Stress and deformation by impact loading) 原理（Principle) 能量法(Energy method) 当运动着的物体碰撞到一静止的构件时，前者的运动将受阻而在短时间停止运动，这时构件就受到了冲击作用. 在冲击过程中，运动中的物体称为冲击物 (Impacting Body) 阻止冲击物运动的构件，称为被冲击物 (Impacted Body)

机械能守恒定律 冲击时，冲击物在极短的时间间隔内速度发生很大的变化，其加速度a很难测出，无法计算惯性力，故无法使用动静法。在实用计算中，一般采用能量法。即在若干假设的基础上，根据能量守恒定律对受冲击构件的应力与变形进行偏于安全的简化计算. T、V 是 冲击物 在冲击过程中所 减少的 动能和势能. Vεd是 被冲击物所增加的应变能.

一、自由落体冲击问题(Impact problem about the free falling body) 假设 (Assumption) 冲击物视为刚体，不考虑其变形 （The impacting body is rigid); 2. 被冲击物的质量远小于冲击物的质量，可忽略不计 (The mass of the impacted deformable body is negligible in comparison with the impacting mass); 3. 冲击后冲击物与被冲击物附着在一起运动(the impact body do not rebound); 4. 不考虑冲击时热能的损失，即认为只有系统动能与势能的转化(the loss of energy of sound light heat ect. in the process of impact is lost in the impact) 。

重物P从高度为 h 处自由落 下，冲击到弹簧顶面上，然后随弹簧一起向下运动。当重物P的速度逐渐降低到零时，弹簧的变形达到最大值Δd，与之相应的冲击载荷即为Pd. v P P h h

根据能量守恒定律可知，冲击物所减少的动能T和势能V，应全部转换为弹簧的变形能 ,即 P P h h 其中 所以 线弹性范围内，载荷、变形和应力成正比

其中 为自由下落时动荷系数

已知 一重量为 P的重物由高度为 h 的位置自由下落,与一块 和直杆AB 相连的平板发生冲击. 杆的横截面面积为A, 求杆的冲击应力. l A P B Pd A B 重物是冲击物， 杆 AB（包括圆盘）是被冲击物。 冲击物减少的势能 动能无变化 AB 增加的应变能

h l A P B Pd 根据能量守恒定理

A P B h l A A 称为自由落体冲击的动荷系数

A P B h l A A st 为冲击物以静载方式作用在冲击点时, 冲击点的静位移.

（1）当载荷突然全部加到被冲击物上，即 h=0 时 讨 论 （1）当载荷突然全部加到被冲击物上，即 h=0 时 P h 由此可见,突加载荷的动荷系数是2，这时所引起的 应力和变形都是静荷应力和变形的2倍. （2）若已知冲击开始瞬间冲击物与被冲击物接触时的速度为 v，则

（3）若已知冲击物自高度 h 处以初速度 下落,则 P h

例题3 图示钢杆的下端有一固定圆盘，盘上放置弹簧。弹簧在 1KN的静载荷作用下缩短0. 625mm 例题3 图示钢杆的下端有一固定圆盘，盘上放置弹簧。弹簧在 1KN的静载荷作用下缩短0.625mm. 钢杆直径d=40mm, l =4m，许用应力[]=120MPa, E=200GPa。若有重为 15KN的重物自由落下，求其许可高度h. l h d

解:

例题4 图示分别为不同支承的钢梁，承受相同的重物 击，已知弹簧刚度 K=100KN/mm，h=50mm，G=1KN，钢 例题4 图示分别为不同支承的钢梁，承受相同的重物 击，已知弹簧刚度 K=100KN/mm，h=50mm，G=1KN，钢 梁的I=3.04×107mm4，W=3.09 ×105mm3，E=200GPa。试 比较两者的冲击应力. G h l/2 G h l/2

G h l/2 解：冲击点的静位移 G l/2 l/2

两端支座加弹簧后,冲击点的静位移 G h l/2 G l/2 l/2

二 、水平冲击(Axial impact) 已知等截面杆AB在 C 处受一重量为 P，速度为 v 的物体沿 水平方向冲击 . 求杆在危险点处的 d l A a v B C

解： 冲击过程中小球动能减少为 势能没有改变 V = 0 杆的应变能可用冲击力Pd 所 作的功表示 d 是被击点处的冲击挠度 B G C A G d Pd l a v B C 势能没有改变 V = 0 杆的应变能可用冲击力Pd 所 作的功表示 d 是被击点处的冲击挠度

冲击物的重量 P以静载方式作用在冲击点时，冲击点的静位移. A G d Pd l a v B C A st C B P 由机械能守恒定律 冲击物的重量 P以静载方式作用在冲击点时，冲击点的静位移.

冲击物的重量 P以静载方式作用在冲击点时，冲击点的静位移. A st C B P 冲击物的重量 P以静载方式作用在冲击点时，冲击点的静位移. l A a v B C Kd 称为水平冲击时的动荷系数 st 是所求点处的静应力。

当杆受静水平力 P 作用时，杆的固定端外缘是危险点. A st C B P l A a v B C 杆危险点处的冲击应力为

第十章结束

例题3 等截面刚架的抗弯刚度为 EI，抗弯截面系数为 W，重物P自由下落时，求刚架内的最大正应力（不计轴力） h a a

P 解： pa pa 1 a a