第六章 狭义相对论

一、相对论产生的历史背景 §1 相对论的实验基础 １．经典时空观与Galileo变换 §1 相对论的实验基础 一、相对论产生的历史背景 １．经典时空观与Galileo变换 Galileo指出：相互作匀速相对运动的不同（空间）坐标系中力学定律具有相同的形式，这称为Galileo相对性原理。 相对运动沿x轴方向时，Galileo变换： 经典力学规律具有Galileo变换协变性。 如Newton运动定律 ，动量守恒定律 等具有相同的形式。

2．电磁理论与经典时空观 经典时空观认为，所有惯性参照系等价。物理规律在Galileo变换下协变是经典时空观的核心内容。 考察Maxwell方程，在真空中，对于S参照系 变换到S’参照系 可见，Maxwell方程不满足Galileo变换协变性要求。 电磁规律与Galileo相对性原理矛盾，可能原因有两种： 电磁规律并不是对于所有参照系成立。如果是这样，所有惯性系平权的结论被打破，必定存在一个“绝对参照系”。 经典时空观是错误的。 Galileo相对性原理回避了一个问题：什么样的参照系才是惯性参照系。其实惯性参照系的确定需要一个“绝对参照系”。

1. 研究“以太是否存在”——观测地球相对于“以太的运动” 历史上曾认为存在一个“绝对参照系”， Maxwell方程在“绝对参照系”中成立。 另一方面，历史上认为电磁波象机械波那样，传播需要媒质，并把它称为“以太”（Ether）。“绝对参照系”就是相对“以太”静止的参照系。因此寻找“以太”或证明相对于“以太”的运动称为当时物理学的一个重大课题。 二、相对论的实验基础 1. 研究“以太是否存在”——观测地球相对于“以太的运动” Michelson-Morley实验（1887年） 调整两臂长度使两束光有效光程相等。以 u 表光相对于地球的速度，v 表地球相对于以太的运动速度， u仅表大小，丢弃负根，

设地球相对于以太的运动速度v 沿MM1方向，光线MM1 M （q = 0，p）的传播时间 光线MM2 M的传播时间（q = p/2，-p/2） 光程差 将实验装置转动900，干涉条纹将移动 利用多次反射可使有效臂长达到10m左右，若用波长5000Å的光做实验，观测到干涉条纹移动上限仅为0.01个，由此, 地球相对于以太的运动速度上限不超过4.74 km/s。

2. 研究Galileo相对性原理与电磁现象的矛盾——观测运动光源的光速 为了提高实验精度，还有许多利用其他实验技术的研究工作，如：1958年的微波激射实验定出地球相对于以太的运动速度上限为0.03km/s；1970年利用Mössbauer效应所做实验定出的上限为0.00005km/s。 实验结果支持“不存在以太”的结论。（即不存在电磁规律成立的“绝对参照系”） 结论： 2. 研究Galileo相对性原理与电磁现象的矛盾——观测运动光源的光速 用星光作光源的实验表明光速不依赖于光源的运动；对双子星观测也表明光速与光源运动无关（如有关，观测到的双子星运动轨道应被歪曲）。 利用高速运动的粒子的实验。Alvarger等人所做实验中，p 0介子（m = 264.12me，寿命～0.87×10－16s）以0.9975c 的速度运动，

结论： 测得沿p 0介子运动方向的光子速度为 m/s，与静止光源光速一致。 光速与光源运动速度无关。即在所有惯性系中光速相同。 实验结果要求建立新的时空观理论——相对论。 其他支持相对论的实验举例：横向Doppler效应、高速带电粒子寿命、携带原子钟环球飞行等实验证实了运动时钟延缓效应。原子核能的利用证实了相对论的质能关系。

一、相对论基本原理 光速不变原理与经典时空观将产生矛盾 §2 相对论基本原理 Lorentz变换 一、相对论基本原理 Einstain提出相对论的两个基本假设： 相对性原理：所有惯性系等价，即物理规律对所有惯性参照系都可表为相同形式。（称为相对论协变性） 光速不变原理：对任何惯性参照系，真空中沿任意方向的光速均为c。 光速不变原理与经典时空观将产生矛盾 设惯性系S’以速度v 相对于惯性系S运动，初时刻原点重合，且一位于原点的光源发出一闪光，对于惯性系S，一秒后位于半径为c 的球面上的接收器P1、P2 和P 同时收到信号；对于惯性系而言，如果光速仍然为c，位于P2的接收器将晚于P1接受接受到信号。

二、间隔不变性 即，在惯性系S中观察到同时发生的两事件在惯性系S’中变为不同时。 光速不变原理迫使对同时性概念的重新思考，同样，关于时间、距离、速度等基本物理量的内涵都将由于光速不变原理而发生变化，即需要建立新的时空观。相对论的一个主要内容就是关于时空的理论。 二、间隔不变性 设初时刻光源发出闪光为第一事件，在两惯性系中均以（0，0，0，0)表示；第二事件为在P 点收到信号，在惯性系S和S’中分别用（x，y，z，t)和（x’，y’，z’，t’）表示。 由光速不变原理，

上面的两个事件用光信号联系（相关事件）。一般地讲，两个事件不一定是以光信号联系的（如机械运动从一个位置到另一个位置），甚至两个事件根本没有联系（不相关两事件）。一般情形下， 问题： 相对性原理要求惯性参照系变换必须是线性的。对于两个事件（仍设第一事件发生于零时刻坐标原点处），对惯性系S’定义 作惯性系变换，有 显然，F’为零时要求F也为零。在前面推导中，F’为零时， 为零。这要求

空间中无特殊方向，两个惯性系等价。所以，也应有 正如坐标系平移和旋转变换，惯性系变换应该是连续的（注意空间反演变换不是连续变换），舍去负根。所以对于任意两事件，总有 若第一事件不是发生在零时刻，也不是发生在坐标原点。在惯性系S，定义两事件间隔 在惯性系S’，两事件间隔为

Ex. 1 解： 两事件在不同惯性系中间隔不变 间隔是将事件和空间距离统一起来。间隔不变性使时间和空间建立了联系。 参照系S’相对于S以速度v 沿x轴方向运动。在S’上有一静止光源S和一反射镜M，两者相距 z0 。从S发出闪光经M反射回到S。求两参照系上观察到的闪光发出和接收的时间和间隔。 Ex. 1 在S’上观察到的时间为 解： 间隔为 在S上观察，由几何关系可得光信号传播路程为

三、Lorentz变换 两事件间隔 由间隔不变性 由变换的连续性 可见， 选两坐标系（零时刻原点相同）的x和x’轴都沿S’相对于S的运动方向。设第一事件发生在零时刻，在坐标原点处，第二事件在S中以（x，y，z，t）表示，在S’中以（x’，y’，z’，t’）表示。 变换是线性的，可设为

由间隔不变性 比较系数，有 注意到x和x’轴同向，t和 t’正向相同，有 所以 对S’原点应用变换式中第一式

作变换 可得反变换 Lorentz变换

S’相对于S的运动速度为0.8c，在S上观察，1秒后闪光信号同时被P1和P2接收到，求P1和P2收到信号在S’上的时刻和位置。 P1收到信号在S上的空时坐标，（c, 0, 0, 1）。该事件在S’上的空时坐标为 Ex. 2 解： 即 P2收到信号在S上的空时坐标为（-c, 0, 0, 1），由Lorentz变换，该事件在S’上的空时坐标为（-3c, 0, 0, 3）。

对P1和P2收到信号这两个事件，有 可见，在相对论，两事件时间、空间距离、同时性等是相对的，但间隔是绝对的。

§3 相对论的时空理论 一、相对论时空结构 若空间运动局限于二维xy面。设时间轴（ct）垂直于xy面，该三维时空中的一点P表一事件，它在xy面上投影表事件发生的空间位置，P点的垂直坐标等于事件发生时刻乘以 c。 构成一锥面，称为光锥。光锥将时空分为三个区域： P点在锥面上。P 和 O 两事件可用光波联系，有 s2 = 0 。这类间隔称为类光间隔。 P点在光锥内。两事件可用低于光速的物理过程联系，有 s2 > 0 。这类间隔称为类时间隔。 P点在光锥外。两事件不能用光波或低于光速的物理过程联系，有 s2 < 0 。这类间隔称为类空间隔，也称两点绝对异地。

讨论： 二、因果律和相互作用的最大传播速度 间隔不变性保证了这种划分是绝对的。若在某个惯性系中P事件在光锥内，则在任何惯性系中仍在光锥内。 Lorentz变换保持时间正向不变（a22 > 0），故上下光锥不能相互变换。即若事件P在上光锥内，则在任何惯性系事件P都将在上光锥内。所以，类时间隔可分为两类：绝对未来，（P在上光锥内）；绝对过去（P在下光锥内）。 在空间运动为三维的情形，具有类似的时空结构。 二、因果律和相互作用的最大传播速度 类时间隔的两事件可能有因果关系，有因果关系的两事件总是通过物质运动相联系,惯性系变换须满足因果关系。 设在惯性系S中事件一（x1，y1，z1，t1）为事件二（x2，y2，z2，t2）的原因，有 t2>t1 。变换到另一惯性系S’后，两事件分别用（x1’，y1’，z1’，t1’）和（x2’，y2’，z2’，t2’）表示。

三、同时的相对性 由Lorentz变换 设联系两事件的物质运动速度大小为u，则 物质的最大传播速度为光速， 相对论中因果律的保证依赖于物质传播最大速度为光速。 三、同时的相对性 在惯性系S中两事件（x1，y1，z1，t1）和（x2，y2，z2，t2）有 t2>t1 ，其间隔是类空的（无因果联系），有

讨论： 由Lorentz变换 如果x2 > x1 (是允许的）， 若S’相对于S的运动速度足够大（不需超过光速），能做到 具有类空间隔两事件的时间先后或同时概念无绝对意义。 在不同地点同时发生的两事件是类空的，不能具有因果联系。若两事件对于S是同时的，在S’中一定不同时。

四、运动时钟的延缓 任何物理过程需要一定时间，在相对于物体静止的参照系，完成物理过程需要的时间称为固有时间。 计时单位根据固有时间定义。目前国际上采用自然基准，规定Cs133（Cesium）（基态二）超精细能级之间的跃迁辐射周期的9192631770倍为一秒。 相对于S’静止的某物体内部相继发生两事件的间隔 在S上看，这两个事件发生在不同地点，其间隔 表明运动物体发生自然过程比静止物体发生同样过程需更多时间，运动物体发生自然过程将变慢（延缓）。

实验证据：自然界中存在一些不稳定粒子，如p 介子衰变为m 子和m 型中微子 静止p 介子寿命～2.6030×10－8s，实验测得高速运动p 介子（速度～ 0.909c）寿命与理论结果很好符合。 m 子衰变为电子、m 型中微子和电子型反中微子 静止 m 子寿命～2.19703×10－6s ，实验测得运动m 子（速度～0.9966c）寿命～26.37×10－6s ，理论值～ 26.69×10－6s 。 两参照系相对作匀速运动时,时间延缓效应具有相对性。从S中看相对S’ 静止的时钟变慢，而从S’中看相对S静止的时钟也变慢。

设S中有两个固定的对准的时钟C1 和C2 （相距l ），时钟C’ 运动速度为v。设C’经过C1 时，三只钟都指向零时刻。在S上看，经过时间 l/v 时钟C’将经过C2。此时，在S上看， C1 和C2都指向 l/v，而C’指向t，t 应是其固有时间。 在S上看，运动时钟C’ 变慢。 然而，在S’上（相对于C’ 静止）看到的结果也应该如此, 这是否意味着在S’上看， 相对于S上的时钟变快了呢？ 回答是否定的。将 C1 和C2指向零刻度看成两事件，在S中他们同时发生，对S’ 他们不再同时。即当C’经过C1时，在S’上看C2 不会指向零刻度，设指向d 。对S’， C1指向零和C2指向d 是同时发生的两事件。

附： C2指向d 这一事件在S中的空时坐标为（l，0，0，d），对S’，这一事件发生在零时刻， 当C’ 经过C2时, C2指向 l/v。所以在S’上看， C2走过的时间 即 C2 也变慢。 当C’ 经过C2时, 设对于S’，C1指向x。 C1指向x 这一事件在S中的空时坐标为（0，0，0，x），而在S’中的空时坐标为（x1’，0，0，t），由Lorentz变换 附： C1走过的时间与C2相同。

有加速度情形，时间延缓导致绝对的物理效应。即当时钟绕闭合路径作加速运动回到原地时，所经历的总时间小于原地点静止时钟经历的时间，这个通常称为“双生子佯谬”。 有加速度情形，需要用广义相对论研究。 五、运动尺度的缩短 长度的测量目前也采用自然基准：规定在1/299 792 458秒时间间隔内，光在真空中传播距离为1米。 如图，在S中看，物体后端经过P1前端经过P2两事件同时发生，P1P2为在S中测得的物体长度。两事件在S 中的空时坐标分别为（x1，t1)和（x2，t2)。（注意 t1 = t2） 由Lorentz变换，

（x’2 - x’1）为S’中测得的物体长度。物体相对于S’静止，所以对于测量时间没有任何限制。上式可写为 运动物体尺度缩短。 长度缩短效应的相对性 在S’中测量相对于S静止物体的长度，有 该式与前面结论不矛盾，该式要求 t’2 = t’1 。即两式成立的条件是不同的。

时间延缓和长度收缩是相关的 宇宙射线中含有速度接近光速的高能m 子，他们产生于大气层上部。静止m 子寿命～2.197×10－6s，按经典理论，在这个时间m 子能穿越的厚度～660m，该厚度远小于大气层厚度。但实际上，大部分m 子都能穿越大气层。 相对论解释：在S上看，m 子寿命变长；在S’上看，大气层厚度变小，所以m 子穿过了大气层。 时间和空间是物质的一种属性，时间和空间与物质相互联系。若没有运动物质，就没有所谓的时空。时间和空间是从物质运动中分析和抽象而得的物理概念。 在狭义相对论基础上，广义相对论又发展了时空观，提出了时空弯曲、时空与引力场的关系等新的重要概念。

六、速度变换公式 设S’相对于S以速度v沿x轴方向运动，由Lorentz变换， 同理可得速度z方向分量的变换关系。

相对论速度变换公式 其反变换公式为 在非相对论极限下 过渡为经典情形下的速度变换公式。

证明: 解： Ex. 1 证明，若在某个参照系物体的速度小于光速，则在对于任何参照系物体的速度都小于光速。 考察物体的在某一时间元的位移，由间隔不变性 证明: 如果 Ex. 2 匀速运动介质中的光速。 设介质运动速度为v且沿x轴方向，选相对于介质静止的参照系为S’,在S’上，介质中光速沿各方向均为c/n。 对于速度，有 解：

若 v << c 逆介质运动方向的传播速度 速度也不符合Galileo变换（其实v << c 并不是非相对论极限的条件）。这两式的结论被Fizeau水流实验证实。

一、空间的正交变换 §4 相对论理论的四维形式 1. 空间转动是正交变换 二维空间转动 ：P点坐标满足 转动过程中 §4 相对论理论的四维形式 一、空间的正交变换 1. 空间转动是正交变换 二维空间转动 ：P点坐标满足 转动过程中 为不变量，二维空间转动是正交变换。 三维空间。线性变换一般可以表为 若变换满足 则是正交变换。三维空间的转动就是一种正交变换。

约定： 2. 正交变换的抽象形式 3. 正交变换的矩阵形式 n维线性变换可表为 下标重复时，除非特殊说明，都要对指标求和。 上式改写为 正交变换条件是 引入符号 正交变换条件还可以写为 反变换公式 （以三维为例） 3. 正交变换的矩阵形式 定义线性变换矩阵

二、物理量按空间变换性质分类 1．标量：标量没有方向，在空间变换下标量保持不变，即是不变量（如电量、质量、能量在三维空间转动下不变）。 其转置矩阵 即 在S和S’中的坐标以列矩阵表示 线性变换表为 正交变换条件为 反变换为 二、物理量按空间变换性质分类 1．标量：标量没有方向，在空间变换下标量保持不变，即是不变量（如电量、质量、能量在三维空间转动下不变）。

2．矢量：具有方向属性，n维空间中的矢量有n个分量。 这些分量在空间变换时按同一方式变换 速度、力、电场强度、磁感应强度等是三维空间中的矢量 微商算子具有矢量性质 3．二阶张量 某些材料的极化率是各向异性的，即沿不同方向极化时极化强度不同 极化率的取值具有各向异性特征，用二维空间的二阶张量表示，有9个分量。 电四极矩也是一个二阶张量 两个矢量的并矢也构成一个二阶张量，它与另一矢量相乘为一矢量

证明： 一个n维空间的二阶张量具有n×n个分量，以Tij表示 张量与矢量相乘 二阶张量的变换 设两矢量（p，q）满足 空间变换使（p，q， T ）变为（p’，q ’，T’） 对称和反对称张量，张量的迹 1）对称张量满足 2）反对称张量满足 3）张量的迹

证明： 空间变换不改变张量的对称性和张量的迹。 对于对称张量 对于反对称张量 对于张量的迹 可见，张量的迹是一不变量。 张量分解 二阶张量可分解为：迹（一个独立分量）；无迹对称张量（五个独立分量）和反对称张量（三个独立分量）三部分。

以三维空间的对称张量为例

证明： 三、Lorentz变换的四维形式 附：指标收缩 一个二阶张量Tij有两个自由指标，与一矢量相乘后只剩一个指标 这称为指标收缩。 两个矢量的标积 viwi 没有指标，是一标量（不变量）。 证明： 三、Lorentz变换的四维形式 若引入第四维（虚数）坐标 x4 = ict，由Lorentz变换保持间隔不变， 即存在不变量 Lorentz变换是线性变换，可表为 注：这里是复四维空间，称为Minkowski空间，它不同于实四维Euclid空间。Minkowski空间中的点称为“世界点”，曲线称为“世界线”。

四、四维协变量 沿x方向的Lorentz变换的变换矩阵 其中 逆变换矩阵 满足 Lorentz变换是四维空间变换,根据变换性质将物理量分为

1. 四维速度： 矢量：有四个分量，在Lorentz变换下满足 四维空时坐标 xm =（x，y，z，ict）是四维矢量。 四维微商算符也是四维矢量 D’Alembert算符是标量 二阶张量：在Lorentz变换下满足 它们都称为四维空间中（Lorentz）协变量。 定义 1. 四维速度： 因为 四维速度是Lorentz协变量，但三维速度 ui=dxi/dt 由于dt在Lorentz变换下发生改变，使ui并不按四维矢量方式变换，所以 ui 不能成为四维矢量的分量。

2. 四维波矢量 在不同惯性系中波矢（与空间尺度有关）和频率（与时间尺度有关）具有不同值。 考虑平面电磁波 相位描述波形，波形是客观物理事实（比如在某时空点正好处于波峰），与参照系选取无关，相位是不变量。 定义四维波矢 有 四维波矢的变换关系

Doppler效应 观测遥远星系（远离地球）特征光谱线，与实验室中静止光源特征谱线相比，发现谱线明显移向波长较大的区域，这一现象称为谱线红移。产生谱线红移的原因有两种，Doppler红移和引力红移，通常引力红移非常小。 设在S中波矢与x轴夹角为q，在S’中波矢与x轴夹角为q ’， 由波矢变换关系 设光源相对于S’静止，记 w’ = w0 1）在垂直方向观测（q = p / 2）运动光源， 频率变小（红移），称为横向Doppler效应。 横向Doppler效应是相对论效应（ 非相对论极限下没有），它被Ives-Stilwell实验证实。

2）光源向观察者运动（q = 0） 频率升高，发生Doppler蓝移现象。 3）光源远离观察者运动（q = p） 频率降低，发生Doppler红移现象。 光行差 1728年，Braley观测恒星发光（虚线），发现倾角一年（地球公转周期）出现周期性变化。把恒星发出光线表观方向的变化称为光行差。 在早期理论中，把光行差归结为地球相对于以太的运动。 相对论认为：光行差是由于光源运动引起光的传播方向发生变化。

相对论解释：利用波矢变换关系 又因为 q 和q ’正弦值均为正 表明光的传播方向因光源运动而改变。上式称为光行差公式 。

设在地球上用望远镜观测恒星的倾角为a’（= p – q ’），恒星实际倾角为a（= p – q）， （a’ - a ）称为光行差。当 v<<c 时，

一、四维电流密度矢量 §5 电动力学的相对论不变性 §5 电动力学的相对论不变性 相对性原理要求一切惯性系等价，即在不同惯性系中物理规律表述为相同形式。即要求物理规律是Lorentz协变的。 为了得到电磁规律的协变形式，先分析电磁物理量的四维形式。 一、四维电流密度矢量 带电体电量应与惯性系选择无关，是Lorentz标量。但由于空间尺度与物体运动有关，电荷密度应与惯性系选择有关。 设在带电体静止的惯性系，电荷密度为r0，体积元为dV0，带电体运动速度为 u，则 要保持电量不变，必有

讨论： 带电体以速度u 运动，所以 注意到四维速度矢量 上述电流密度可以作为一四维矢量的空间分量。 根据四维速度矢量，第四分量应为 四维电流密度矢量： 讨论： 在相对论中电荷密度和电流密度是相关的，形成一个统一的物理量。电荷密度和电流密度是这个统一物理量的不同方面。带电体静止时，表现为电荷密度；带电体运动时，表现出电流，且电荷密度（因空间尺度的变化）发生改变。 电荷密度和电流的大小与参照系的选择有关。这进一步说明，空间和时间是物质的属性。

二、四维势矢量 说明： 电荷守恒定律 因为 该方程左端为Lorentz标量，显然具有协变性。 Maxwell方程可以等价地用势函数满足的方程代替。在Lorentz规范下 Lorentz规范条件 Maxwell方程组有四个方程，而上面只有两个方程。 还有两个方程呢？ 说明：

势函数的定义包含了其他两个方程 D’Alembert算符是标量 可引入四维势矢量 1）四维势满足的方程 它相当于Maxwell方程，具有Lorentz协变性。 Lorentz规范条件

2）四维势矢量变换 三、电磁场张量 1）引入反对称电磁场张量 注意到

2）利用电磁场张量，可得Maxwell方程的协变形式 3）电磁场的变换关系 由张量变换关系

讨论： Ex. 解： 可写为更紧致的形式 （速度沿x 轴方向） 非相对论极限 在相对论情形，电场和磁场是一种物质（统一体）的两个方面。参照系变化时，电场和磁场发生转化。（如一带电粒子在静止参照系中只激发电场，换到另一参照系，电荷运动，将激发磁场。 求匀速运动带电荷e 的粒子的电磁场。 Ex. 选S’固定在带电粒子上，在S’中只有静电场。设初始时刻（t = 0）粒子经过S原点，求该时刻在S中各点的场值。 解：

由Lorentz变换 在S’中 求在S中的场值，可利用公式 需将上面公式改为S’到S的变换，且需作替换 可得

可表为 注意速度沿x方向，所以 还可得

讨论： 说明： ，E0为静电场。 当v<<c 时，略去(v/c)2项，可得 磁场 这也与经典结果一致。 由Biot-Savart定律 说明： 对于运动点电荷 当v ~ c时，在与速度垂直方向观测电场， 在与速度平行方向观测电场（ r2 = x2），

四、电磁场的不变量 电场分布如图 (电场线疏密表电场强弱)。当速度趋于光速时，电场趋向于集中分布在与速度垂直的平面上。 磁场 高速运动带电粒子的电磁场类似于在横向平面上的电磁脉冲波。 四、电磁场的不变量 利用指标收缩可构成电磁场不变量（应收缩为Lorentz标量）。 1. 2. 定义一全反对称张量 emnlt 若经偶次置换mnlt 变为1234； 若经奇次置换mnlt 变为1234； 若mnlt 中有任意两个相同。

Ex. emnlt 是四阶张量，在参照系变换下保持不变， 由emnlt和电磁场张量可构成另一不变量 真空中的平面电磁波有 不变量 保证在任何惯性系平面电磁波均有 不变量 保证在任何惯性系平面电磁波均有

一、能量－动量四维矢量 讨论： §6 相对论力学 §6 相对论力学 经典力学规律是Galileo协变的，不是Lorentz协变的。要找出满足相对论协变性的力学规律，需建立四维力学物理量。 一、能量－动量四维矢量 定义四维动量 m0是物体静质量。 空间分量 时间分量 讨论： 当 v<<c 时，空间分量 ，这是经典动量 当 v<<c 时，时间分量 时间分量与能量有关，四维动量也称为能量－动量四维矢量。

定义（相对论中的）能量 则 相对论中，物体动能 总能量也可表为 讨论： 相对论中物体静止时仍有能量，称为静止能量，为m0c2 。 在经典物理中，能量加上一常数m0c2无实用意义；但在相对论中，这个常数是必须的，是相对论协变性的要求。 m0c2要具有物理上的能量意义，还必须能转化为其他形式的能量（已被实验证实） 。 考察一粒子A 转化为粒子系统B（如p 0 转化为2g）的过程。在粒子A 静止的参照系，A只有静止能量，在湮灭过程中，它部分或全部转化为粒子系统B的动能。 Ex.

二、质能关系 讨论： 由四维动量可构成不变量 在物体静止的惯性系 由于静止能量为m0c2 ，只取正值 W0= m0c2 给出物体静止时的质能关系。 讨论： W0= m0c2 也是适用于多个粒子构成的复合体（如原子核、宏观物体等）。此时应理解为质心静止时的总“内部能量”，它和复合体总质量M0仍有关系 W0= M0c2。 复合体各粒子间一般有相互作用能和相对运动动能。质心静止时，总能量并不等于各粒子静止能量之和，其差值称为结合能 结合能指分散个体形成复合体时，向外辐射的能量。

物体质量也不等于组成它的各粒子质量之和，两者之差称为质量亏损 显然有 静止质量是物质基本属性之一。若静止质量发生变化，物质将发生变化（如氢分子与氧分子结合为水）。 化学反应中仅涉及电子转移，释放能量仅是内部能量的很小部分；核反应中利用了与核质量亏损相联系的核内部运动能量；粒子转化过程中有可能把内部能量全部释放出来（如p0介子衰变为两个g 光子的过程，光子静止质量为零，此过程p0介子的全部能量被释放并转化为光子动能）。 引入等效质量 它描述物体运动时具有的质量，称为运动质量。 这也称为质能关系 有

Ex. 1 补充： 解： 带电 p 介子衰变为 m 子和中微子 各粒子静止质量为：mp=139.57 MeV/c2， mm=105.66 MeV/c2。求 p 介子质心系中 m 子的动量、能量和速度。 微观粒子能量单位常用 MeV，质量单位常用 MeV/c2，动量单位常用MeV/c。 补充： 电子静止质量 在质心系p 介子的动量和能量 解： m 子和中微子的能量分别为 由动量守恒和能量守恒（这是自然界中精确成立的两个规律）

令 对于m 子，由 可解得 m 子的速度 三、相对论力学方程 Newton第二定律 不满足相对论协变性的要求。 定义四维力矢量 第四分量

四维力矢量也可以表为 Km=dpm/dt 就是相对论力学方程，它包含两个方程 可改写为 若定义力为 上式在形式上与经典力学一致。 四维力矢量也可以表为 按照“对应原理”，在低速运动情形，相对论力学形式应过渡为相应的经典力学形式。上面的结果满足“对应原理”。

四、Lorentz力 电磁场中的带电粒子运动涉及到Lorentz力 现研究Lorentz力是否满足相对论协变性的要求。 由电磁场张量定义一个四维矢量 空间分量 Lorentz力公式满足相对论协变性要求。且有 四维力密度公式 空间分量 就是Lorentz力密度公式。 时间分量 与功率密度有关。 可见Lorentz力密度公式和功率密度公式均满足相对论协变性的要求。

自然界中存在四种相互作用：电磁相互作用、万有引力相互作用、强相互作用和弱相互作用。后两种是短程相互作用，仅存在于10－15m 范围内，其量子效应很显著，需用量子论研究。前两种是长程相互作用，电磁相互作用可完全纳入狭义相对论范围，而万有引力相互作用需用广义相对论处理。 带电粒子在均匀恒定磁场中的运动。 Ex. 2 带电粒子运动方程 解： 因为 所以粒子速度大小也保持不变。

将速度沿平行和垂直于B 的方向分解 是常矢量，由于速度大小不变，所以 也是常量。 上面第二式相当于非相对论情形粒子的圆周运动方程，设半径为a 圆周运动角频率 在相对论情形，频率随粒子运动速度增大而增大。