热力学统计物理 河南教育学院物理系

第五章 近独立粒子的最概然分布 本章开始学习统计物理的内容。统计物理学从宏观物质系统是由大量微观粒子组成的这一事实出发，认为物质的宏观性质是大量微观粒子行为的集体表现，宏观量是相应微观量的统计平均值。要研究宏观量就要知道微观量，而微观量由系统微观运动状态决定。 一、要重视统计物理的研究方法：从宏观系统内部的物质结构出发，依据粒子所遵循的力学规律描述系统力学运动状态，找到对应的微观量，再用概率和统计的方法，求出物质的宏观性质和变化规律； 二、要明确统计物理的研究目的：用分子运动所遵循的统计规律来解释所观察到的宏观性质； 三、要掌握粒子运动状态的描述方法：经典描述和量子描述。

第五章 近独立粒子的最概然分布 主要内容 粒子运动状态和系统运动状态的描述方法； 粒子按能级的分布描述； 三类系统的最概然分布； 经典极限条件下三种分布的关系。

§5.1 粒子运动状态的经典描述 本节先学习如何描述粒子的运动状态。这里说的粒子是指组成宏观物质系统的基本单元，例如气体的分子，金属的离子或电子，辐射场的光子等等。 一、几个概念 1．粒子的运动状态 ： 即粒子的力学运动状态； 2．粒子运动状态的经典描述： 对粒子运动状态的描述是按经典力学理论描述的； （确定论：位置、动量） 3．粒子运动状态的量子描述(下节学习) ： 按量子力学观点描述。一组量子数

§5.1 粒子运动状态的经典描述 二、粒子运动状态的经典描述方法 1．粒子运动状态经典描述的解析法 §5.1 粒子运动状态的经典描述 二、粒子运动状态的经典描述方法 1．粒子运动状态经典描述的解析法 自由度为r的粒子,t时刻的状态用r个广义坐标q1，q2…qr，及与之对应的r个广义动量p1，p2，…pr．2r个变量决定 无外场时，粒子能量ε是广义坐标和广义动量的函数 如果有外场，粒子能量还是描述外场参量的函数。 2．粒子运动状态经典描述的几何法 以粒子的所有广义坐标 qi 和广义动量 pi ，共 2r个变量为直角坐标，构成的一个2r 维空间。 μ空间定义： μ空间中的一点代表粒子的一个状态。一条曲线代表粒子的一个运动过程。

§5.1 粒子运动状态的经典描述 三、示例(掌握：自由度、动量、能量、μ空间情况) 理想气体的分子或金属中的自由电子都可近似地看作自由粒子 §5.1 粒子运动状态的经典描述 三、示例(掌握：自由度、动量、能量、μ空间情况) 理想气体的分子或金属中的自由电子都可近似地看作自由粒子 例1：自由粒子--不受力作用的粒子 三维自由粒子，自由度r = 3 描述粒子状态的变量：x、y、z、px、py、pz 自由粒子的能量就是它的动能 三维自由粒子μ空间是六维的 例2：线性谐振子--质量为m的粒子在弹性力F= –Ax作用下，在原点附近作简谐振动 振动的圆频率 在一定条件下，分子内原子的振动，晶体中原子或离子在平衡位置附近的微振动都可看作简谐振动。

§5.1 粒子运动状态的经典描述 线性谐振子自由度r = 1 描述状态的变量为:x、p，动量为 它的能量为 线性谐振子的μ空间是2维的 §5.1 粒子运动状态的经典描述 线性谐振子自由度r = 1 描述状态的变量为:x、p，动量为 它的能量为 线性谐振子的μ空间是2维的 例3：转子--质量为m的质点A被具有一定长度的轻杆系于原点O时的运动 x y z O （1）质点A运动状态的两种描述 A• θ φ 状态变量：x、y、z、px、py、pz 质点的能量 状态变量：r、θ、φ、pr、pθ、pφ 质点的能量可以表示为

§5.1 粒子运动状态的经典描述 （2）转子状态和能量 由于质点A与原点距离保持不变 (约束条件) 自由度r = 2，它的μ空间是四维的 §5.1 粒子运动状态的经典描述 （2）转子状态和能量 由于质点A与原点距离保持不变 (约束条件) 自由度r = 2，它的μ空间是四维的 状态变量: θ、φ、pθ、pφ 在球坐标系中转子的能量 引入与θ、φ共轭的动量 式中mr2是质点绕过原点与z轴和r决定的平面垂直的轴线转动的转动惯量，m(rsin)2是质点绕z轴转动的转动惯量 质点能量也可写成

§5.1 粒子运动状态的经典描述 （3）说明：上面讨论的刚性轻杆约束的质点是转子的一个例子 §5.1 粒子运动状态的经典描述 （3）说明：上面讨论的刚性轻杆约束的质点是转子的一个例子 第一，转子是这样一个物体，它在任何时刻的位置可以由其主轴在空间的方位θ、φ决定．上面的例子中主轴是OA。以细棒联结的质量为m1、m2的两个质点绕其质心的转动也是一个转子。 理论力学指出，二体问题可以约化为单体问题，只要将上面各式中的m换成约化质量μ， ，结果完全适用。 在统计物理学中将双原子分子绕质心转动看成转子。 第二，当没有外力作用时（外力矩为零），转子的角动量守恒，p、p是总角动量的两个分量，若选取z轴与总角动量平行

§5.2 粒子运动状态的量子描述 一、微观粒子的几个特点 1．微观粒子的波粒二象性 粒子性： 物质运动表现为单个实体，用能量ε、动量p描述粒子状态。 波动性： 物质运动表现为干涉、衍射等波动现象，用圆频率ω、波矢 描述波动状态。 德布罗意关系： 能量为ε、动量为 的自由粒子联系着圆频率为ω、波矢为 的平面波，称为德布罗意波。

§5.2 粒子运动状态的量子描述 2．量子力学中力学量的特点 (1) 微观粒子受到束缚时力学量取值是离散的； 微观粒子的力学量例如能量一般不连续，为离散值，量子力学可以给出力学量各种可能取值及其概率。 （2）微观粒子的位置和动量满足不确定关系； 微观粒子的坐标和动量不能同时确定。一个微观粒子的动量和对应坐标满足 不确定关系。这是微观粒子具有波动性的表现。 （3）微观粒子的全同粒子是不可区分的； 经典粒子运动有轨迹，全同经典粒子可以区分。微观粒子运动无轨迹，全同微观粒子不可区分。

§5.2 粒子运动状态的量子描述 3．量子态 量子力学中微观粒子的可能运动状态由一组量子数表征，数目等于自由度。 二、示例(量子数、能量、自由度、简并度) 1．粒子的自旋 下面先说明电子具有自旋角动量的实验事实： N S 斯特恩——革拉赫实验是证明电子具有自旋的实验之一。 乌伦贝克假设

§5.2 粒子运动状态的量子描述 可见，电子存在自旋角动量，它在空间任一方向的投影有两个可能值量 很多基本粒子都有内禀角动量，称为自旋角动量S，其平方的数值为S2 = s(s+1)h2，s称为自旋(角)量子数，自旋量子数的数值是粒子的基本属性。 ms是描述粒子自旋状态的量子数，称为自旋磁量子数．描述粒子自旋只要一个量子数。 对电子来说实验事实给出， ms = 1/2，s = 1/2。

§5.2 粒子运动状态的量子描述 2．线性谐振子 一维空间中，粒子在势场 中运动 能量的可能值为 一维空间中，粒子在势场 中运动 能量的可能值为 n为表示线性谐振子运动状态和能量状态的量子数。线性谐振子的自由度为1，描述线性谐振子状态只要一个量子数。 上式说明，线性谐振子的能量值是分立的，分立的能量称为能级。线性谐振子的能级是等间隔的，相邻两能级的能量差为ℏ，其大小取决于振子的圆频率，基态能量为 一个能级只有一个量子态，我们说能级是非简并的 。

§5.2 粒子运动状态的量子描述 3．转子 微观粒子组成的转子，不受外力作用，因此转子的能量与总角动量的关系为 微观粒子的M和Mz都给定时它的转动状态才确定。 微观粒子的M是量子化的（M 2只能取分立值） l=0, 1, 2…称为角量子数 对于一定的l（角动量大小一定），角动量在z轴上的投影是量子化的 可见，在量子理论中转子的自由度为2，转动状态由l、m两个量子数表征。l决定M的大小，m取值与经典理论中运动平面在空间的取向对应，在量子理论中m只能取分立值，称为空间量子化。m称为磁量子数。 m=0,±1,±2…±l共有(2l+1)个可能的值。

§5.2 粒子运动状态的量子描述 量子理论转子的能量表示为 转子的能量是分立的。能级为l的量子态有(2l+1)个，我们说能级是简并的，一个能级对应的量子态数称为简并度 。转子能级的简并度为(2l+1)度。 4．自由粒子 如果一个能级只有一个量子态，该能级称为非简并的 （1）一维自由粒子 ：假设自由粒子在长度为L的一维容器内运动，用伴随粒子的平面波波矢kx描述。 利用周期性边界条件 考虑到波有两个不同的传播方向 nx是描述一维自由粒子状态的量子数

§5.2 粒子运动状态的量子描述 一维自由粒子的动量为 一维自由粒子的能量为 除nx＝0外，能级简并，简并度为2 （2）三维自由粒子： 用伴随粒子的平面波波矢 描述 nx、ny、nz取0，±1，±2… 三维自由粒子的动量为 nx、ny、nz是描述三维自由粒子状态的量子数 三维自由粒子的能量为

§5.2 粒子运动状态的量子描述 讨论：自由粒子的量子性与运动范围的关系 （1）粒子局域在微观大小的空间运动 动量、能量是量子化的，描述粒子量子态的量子数为nx、ny、nz，能级简并。 （2）粒子在宏观大小的容器内运动 动量、能量是准连续的。这时粒子能级的简并度相当于在体积V = L3内,能量在—+d内的量子态数。 为了研究粒子数按能量的分布、或按动量、动量的大小分布，需要计算粒子处在体积V内，能量在—+d内的量子态数。或计算粒子处在体积V内，动量在px—px+dpx, py—py+dpy， pz—pz+dpz及动量大小在p—p+dp内的量子态数。

§5.2 粒子运动状态的量子描述 三、自由粒子动量、能量准连续条件下，给定力学量取值范围内的量子态数 1．在V内，动量在px—px+dpx, py—py+dpy， pz—pz+dpz范围内粒子的量子态数 p q q p 经典粒子的一个运动状态在μ空间对应一个代表点，在能量、动量准连续条件下，微观粒子的运动状态也可以在空间下表示。 由于波动性，粒子第i个自由度的坐标和动量分量的不确定关系为 为了直观形象地理解上式，引入相格的概念 对于微观粒子，在能量、动量准连续条件下，粒子的状态也可以在μ 空间下描述。 由于不确定关系，自由度为r的微观粒子的一个状态对应于μ空间中一定的体积hr，我们称它为一个相格。

§5.2 粒子运动状态的量子描述 相格的大小为 三维自由粒子相格的大小为h3 利用相格概念容易理解上述量子态数公式 在空间三维粒子的微小相体积为 dxdydzdpxdpydpz 在体积V内，动量在px—px+dpx, py—py+dpy， pz—pz+dpz内粒子的相体积为 所以量子态数为

§5.2 粒子运动状态的量子描述 2. 在V内,动量大小在p—p+dP范围内粒子的量子态数 相体积为 三维自由粒子的相格大小为h3 粒子出现在V内，动量大小在范围p—p+dp内的量子态数为 利用空间容易理解上式，因为粒子在V内，动量大小在p—p+dp范围内的相体积为4p2Vdp，一个相格的体积为h3，所以粒子的量子态数如上式 。

§5.2 粒子运动状态的量子描述 3. 在体积V内，能量在—+d的范围内，自由粒子的量子态数 对三维自由粒子，动量为p时能量为 相体积为 三维粒子一个相格的体积为h3 在V内，在—+d内的量子态数为 态密度D(ε)：单位能量间隔的状态数。

§5.2 粒子运动状态的量子描述 例题：（课本246页6.2）试证明，对一维自由粒子，在长度L内，在到+d的能量范围内，粒子的量子态数为 证明： 一维自由粒子能量动量关系为 所以，在L内，在0到能量范围内的粒子动量满足 相体积为 一维粒子相格大小为h 在L内，在到+d的能量范围内粒子的量子态数为

§5.3 系统微观运动状态的描述 系统的宏观量是系统对应微观量的统计平均值，要求出系统的微观量，必须知道系统的微观状态。本节学习如何描述整个系统的微观运动状态。奔着由简单到复杂的方法，本节限于讨论由全同和近独立粒子组成的系统，更普遍的情形在第八章讨论。 系统的微观运动状态就是系统的力学运动状态 。 全同粒子系统： 具有完全相同的属性(质量m、电荷e、自旋s)的同类粒子组成的系统。 近独立粒子系统： 系统中粒子之间相互作用很弱，相互作用的平均能量远小于单个粒子的平均能量，因而粒子之间的相互作用可以忽略。 近独立粒子系统的能量等于系统内单个粒子能量之和

§5.3 系统微观运动状态的描述 一、系统微观运动状态的经典描述 （1）系统的微观状态由所有粒子的广义坐标和广义动量确定，共2Nr个变量。 （2）经典的全同粒子是可分辨的。两个粒子的运动状态交换，交换前后系统的微观状态不同。 i j j i （3）μ空间中的描述： 全同粒子组成的系统在某一时刻的微观运动状态在μ空间中用N个点表示．如果交换两个代表点在μ空间中的位置，系统的微观运动状态是不同的 。 二、系统微观运动状态的量子描述 1．微观粒子全同性原理： 全同粒子是不可分辩的，在含有多个全同粒子的系统中，将任何两个全同粒子（的状态）对换不改变系统的微观运动状态。

§5.3 系统微观运动状态的描述 不可分辨的全同粒子系统，系统状态只与在粒子各个量子态上的粒子数有关，所以描述系统状态的方法是给出在粒子各个个体量子态上的粒子数（分布）。 2．怎么确定全同近独立粒子系统的微观运动状态 （1）可分辨全同粒子系统微观状态： 确定每一个具体粒子的个体量子态； （2）不可分辨全同粒子系统微观状态： 首先确定粒子的各个可能的个体量子态，然后确定每一个可能个体量子态上的粒子数。 复合粒子的类型叛别：含有偶数个费米子的复合粒子是玻色子。含有奇数个费米子的复合粒子是费米子。 3．微观粒子统计性质 (1)费米子： 自旋量子数为半整数的粒子。电子、中子、质子、子 (2)玻色子 ： 自旋量子数为整数的粒子。光子、介子

§5.3 系统微观运动状态的描述 费米系统中费米子占据量子态满足泡利不相容原理。玻色系统中玻色子占据量子态不受泡利不相容原理的约束。 还有一种系统称为玻耳兹曼系统，由可分辨的全同近独立粒子组成，且处在每一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统。 对于粒子定域在微小范围内运动的固体（定域系统），和粒子按经典力学规律运动的非定于系统，都属于玻耳兹曼系统。 4、泡利不相容原理 对于费米子系统，一个个体量子态最多只能容纳一个费米子。 （1）确定不可分辨全同粒子系统微观状态时，首先要确定粒子都有哪些可能的个体量子态，然后根据粒子类型确定每一个可能个体量子态上的粒子数。 结论 （2）确定可分辨的全同粒子系统的微观状态就是确定系统中每一个具体粒子的个体量子态。

§5.3 系统微观运动状态的描述 三、三种系统微观状态的数目举例 两个粒子的系统，粒子有三个可能量子态 玻耳兹曼系统：粒子可以分辩，每一个个体量子态容纳的粒子数不受限制． 序号 量子态1 量子态2 量子态3 1 AB 2 3 4 A B 5 6 7 8 9 两个粒子按这一要求去占据三个量子态，有多少种占据方式系统就有多少个微观态

§5.3 系统微观运动状态的描述 玻色系统；粒子不可分辩，每一个个体量子态能容纳的粒子数不受限制。 玻色费米系统可能的微观态 量子态1 量子态2 量子态3 玻色系统 A = B AA A 费米系统 两个粒子按这一条件去占据三个量子态，扣除全同性原理限制后（两个粒子交换系统状态不变），有多少种占据方式系统就有多少个微观态 两个粒子按这一条件去占据三个量子态，扣除全同性原理限制后，有多少种占据方式系统就有多少个微观态 费米系统：粒子不可分辩，每一个个体量子态最多能容纳一个粒子．

§5.3 系统微观运动状态的描述 前面介绍了如何描述由全同近独立粒子组成的多粒子系统的微观运动状态，为后面讨论近独立粒子的统计分布作了准备。 在经典力学的基础上建立的统计物理学称为经典统计物理学，在量子力学基础上建立的统计物理学称为量子统计物理学。 两者在统计原理上是相同的，区别在于对微观运动状态的描述。 我们知道，微观粒子实际上遵从量子力学的运动规律。不过，在一定的极限条件下，可由量子统计得到经典统计的结果。 因此，经典统计在一定条件下还是有意义的。

§5.4 等概率原理 宏观量是对应微观量的统计平均值，系统的哪个微观状态出现的概率越大，这个状态对应的微观量对宏观量的影响就越大。所以，有必要学习系统微观状态出现概率的规律， 本节介绍平衡态统计物理的基本假设—等概率原理。 一、系统的宏观态与微观态概念的区别 热力学研究的状态是系统的宏观状态，即系统所有宏观量取确定值的状态，由几个宏观参量表征。状态参量确定之后，处在平衡态的系统的所有宏观物理量就都具有确定值。 而系统的微观状态是指满足宏观约束条件下系统的力学运动状态。显然，在确定的宏观状态下，系统可能的微观状态是大量的。且微观状态不断地发生着极其复杂的变化。

§5.4 等概率原理 统计物理学认为，宏观物质的特性是大量微观粒子运动的集体表现，宏观物理量是相应微观物理量的统计平均值。 因为上述原因，在研究系统的宏观性质时，没有必要，也不可能追随每个微观状态及其变化，而只需研究每个微观态出现的概率。 因此，确定系统各个微观状态出现的概率是统计物理的根本问题。 二、等概率原理 处在平衡状态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的概率是相等的。 等概率原理在统计物理学中是一个基本假设，也是平衡态统计物理的基础。它的正确性由它的种种推论都与客观实际相符而得到肯定。

§5.5 分布和微观状态 对全同近独立粒子系统，当各能级上的粒子数知道时，系统的微观能量就可以求出，也可以求出由能量决定的其他物理量，本节学习粒子按能级分布与微观状态数就是要解决这个问题的。 一、分布的描述 以大量全同近独立粒子组成的系统为例，假设系统具有确定的N、E、V。先说明微观粒子的分布 1．N个粒子在各能级上分布的描述 给出每个能级上的粒子数。 方法如下： 粒子能级： 以符号 表示数列 给出各能级上粒子数，称为一个分布。 简并度： 粒子数：

§5.5 分布和微观状态 2．分布满足的宏观约束条件 例如:具有确定的粒子数N、能量E和体积V（孤立系）, 分布要受宏观条件的制约， 孤立系分布必须满足下列条件才能实现。 对于玻色(费米)系统，确定系统的微观状态就是要确定处在每个个体量子态上的粒子数，即确定al个粒子占据其ωl个量子态的方式（还要扣除全同性原理的影响）。对于玻耳兹曼系统，需要确定每一个具体粒子的个体量子态。 3．分布和微观状态的区别 分布和微观状态是两个不同的概念； 在分布给定后，对不同系统确定微观状态的方法不同。 与一个分布对应的系统的微观状态是很多的。

§5.5 分布和微观状态 二、三种系统在给定分布下的微观状态数 1．玻耳兹曼系统 要理解结果的得出 玻耳兹曼系统粒子可以分辨，每一个量子态能容纳的粒子数不受限制。 2．玻色系统 要理解结果的得出 玻色系统中粒子不可分辨，每一个量子态容纳的粒子数不受限制。 （1）l能级上al个粒子占据l个量子态的占据方式； 表示量子态 表示粒子 i 表示有三个粒子占据量子态i

§5.5 分布和微观状态 例如 因粒子不可分辨，上述占据方式就是从上述（al+ωl–1）个位置任意选出al个给al个粒子的选择数。 2 3 4 5 1 2 al+l 因粒子不可分辨，上述占据方式就是从上述（al+ωl–1）个位置任意选出al个给al个粒子的选择数。 l能级上al个粒子占据l个量子态的占据方式有 扣除全同性原理影响 （2）与分布{al}对应的微观状态数

§5.5 分布和微观状态 3．费米系统 要理解结果的得出 费米系统粒子不可分辨，每一个个体量子态最多只能容纳一个粒子。确定系统的一个量子态就是确定粒子的这些量子态上哪些量子态上是一个粒子，哪些量子态上没有粒子。 三、讨论： 条件下玻色、费米系统的微观状态数 在玻色或费米系统中，任一能级l上的粒子数均远小于该能级的量子态数 （对所有l）

§5.5 分布和微观状态 玻色系统的微观状态数近似为 费米系统的微观状态数近似为 式 称为经典极限条件，也称为非简并性条件

§5.5 分布和微观状态 经典极限条件的含义 经典极限条件表示在所有的能级上粒子数都远小于量子态数。 这意味着，平均而言处在每一个量子态上的粒子数远小于1。 在玻色和费米系统中，al个粒子占据能级l上l个量子态时本来是存在关联的，但在满足经典极限条件下，由于每一个量子态上的平均粒子数远小于1，粒子间的关联可以忽略。从而，玻色和费米系统的微观状态数与玻耳兹曼系统的微观状态数有了联系。 从中看出，粒子全同性原理的影响只表现在因子N!上，这个结论有重要意义，以后我们要用到这个结论。

§5.5 分布和微观状态 四、经典统计中的分布和微观状态数 为使经典系统的力学状态变的可数，我们将经典粒子的状态变量qi和pi分成大小一样的小间隔，使qipih0，按这种分法在μ空间画出许多小区域，则同一区域中运动状态的差别很小认为是同一个状态。处在同一小区域的代表点，代表相同的状态。这些小区域类似于微观粒子的相格。 经典粒子的坐标和动量是连续的，粒子的运动状态数和系统的微观状态数都是不可数的。 p q 对于自由度为r的粒子 q p 类相格的大小为 显然，h0越小描述越精确．经典力学中h0可以取任意小的数值，量子力学中限制h0的最小值为h。以后我们会看到，h0取不同的数值会代来什么影响。

§5.5 分布和微观状态 经典系统粒子能量也是连续的，将能量分成大小一样的间隔，各间隔能量值（对应微观粒子的能级）如下，对应各能量间隔在μ空间划分出许多相体积元 。 p q —+d的 相体积l 能量： 相体积元： “简并度” ： 粒子数 ： 经典粒子可以分辨，处在同一相格内的粒子数没有限制。因此

§5.5 分布和微观状态 例题：若粒子有两个能级，每个能级的简并度为4。设系统有4个费米粒子组成。问：系统可能出现哪几种分布？各分布对应的微观状态数是多少？各分布出现的概率是多大？列表表示 分布 4，0 3，1 2，2 1，3 0，4 状态数 1 16 36 出现的概率 1/70 16/70 36/70 课堂练习：如果系统只有3个粒子，且简并度是2又怎样？ 分布 2，1 1，2 状态数 2 出现的概率 1/2

§5.6 玻耳兹曼分布 根据等概率原理，对处于平衡态的孤立系统，微观状态数目最多的分布，出现的概率最大，称为最概然分布。 玻耳兹曼系统粒子的最概然分布，称为玻耳兹曼分布。 本节推导玻耳兹曼分布。 推导玻耳兹曼分布用到一个数学近似等式 这是斯特令公式的近似表达式 一、玻耳兹曼分布律的推导步骤 为方便起见在本节中将M.B.简记为 分析：利用给定分布的微观状态数公式，分析在孤立系约束条件下，微观状态数最大的分布，这属于条件极值，可用拉氏未定因子法求极值。

§5.6 玻耳兹曼分布 （1）玻耳兹曼系统一个确定分布对应的微观态数目 玻耳兹曼分布是Ω极大的分布，为方便起见，我们讨论使ln为极大的分布 假设所有的al都很大，则 （2）求ln取极值的条件 ，得到玻耳兹曼分布 这是一个条件极值问题，我们令各al有al的变化，ln将有ln的变化，使ln为极大的分布必须使 ln = 0

§5.6 玻耳兹曼分布 约束条件 求条件极值的方法是拉格朗日乘子法原理：用拉格朗日未定因子和分别乘上面二式并从ln式中减去，得 根据拉格朗日乘子法原理，每个al的系数都等于零 上式是玻耳兹曼分布（也叫麦克斯韦—玻耳兹曼分布）。

§5.6 玻耳兹曼分布 用量子态上的平均粒子数表示玻耳兹曼分布 （1）上面推导只利用了极值条件，怎样说明满足玻耳兹曼分布时lnΩ取极大值呢? 说明几点 （2）玻耳兹曼系统在平衡态下粒子出现在玻耳兹曼分布的概率最大，但是原则上只要满足粒子数条件和能量条件的任意分布都可以实现，可以证明：与玻耳兹曼分布相应的Ω的极大值非常陡，系统出现在其他分布几乎不可能。 (3)玻耳兹曼分布导出方法的缺陷：al>>1 (4)上面的推导基于单元系，这个限制不是原则性的。可以将结果推广到多元系。

§5.6 玻耳兹曼分布 二、经典统计中玻耳兹曼分布的表达式 类比可以写出 其中α、β满足

§5.7 玻色分布和费米分布 一、推导两种分布用到的基础知识 1．玻色分布和费米分布满足的条件 考虑处在平衡态的孤立系统 2．玻色系统和费米系统给定分布的微观状态数 玻色系统的微观状态数： 费米系统的微观状态数： 3．最概然分布的含义 最大，或ln最大 4. 用到一个数学近似等式

§5.7 玻色分布和费米分布 二、玻色分布 在本问题中将B.E.简记为 （1）玻色系统与一个确定分布对应的微观态数目 玻色分布是玻色系统Ω极大的分布，为方便起见，我们讨论使ln为极大的分布 假设al>>1，l>>1,因为l+al–1 l+al，l–1 l （2）求ln取极值的条件，得到最概然分布 这是一个条件极值问题，我们令各al有al的变化，ln将有ln的变化，使ln为极大的分布必须使 ln = 0

§5.7 玻色分布和费米分布 约束条件 求条件极值的方法是拉格朗日乘子法原理，即用拉格朗日未定因子和分别乘上面二式并从ln式中减去，得 即 上式给出玻色系统的最概然分布，称为玻色—爱因斯坦分布或玻色分布。

§5.7 玻色分布和费米分布 三、费米分布 用类似的方法可推出费米分布 假设al>>1，l>>1,l–al>>1，求条件极值 上式给出费米系统的最概然分布，称为费米—狄拉克分布或费米分布。 拉氏乘子α、β满足

§5.7 玻色分布和费米分布 四、玻色（费米）分布用量子态上平均粒子数表示 注意： 上述推导过程中应用了al>>1，l>>1,l–al>>1，等条件，这些条件实际上往往不满足，这是上述推导的严重缺陷．我们将在第八章学习玻色分布和费米分布的另一推导方法

§5.8 三种分布的关系 一、三种分布 玻耳兹曼分布 玻色分布 费米分布 其中α和ß由下述条件确定 二、 e>>1条件下三种分布的关系 由玻色分布和费米分布可以看出，如果参数满足条件： e>>1。玻色分布和费米分布分母中的1就可以忽略，玻色分布和费米分布都过渡到玻耳兹曼分布。

§5.8 三种分布的关系 条件e>>1满足时，自然有 ， 条件e>>1和 是等价的。它们都是经典极限条件或非简并条件。 这个结果不难理解，在§5.5我们分析过满足经典极限条件时，三种系统对一同个分布的微观状态 数关系为 ，由于N是常数，在求Ω极大值导出最概然分布时，因子1/N!对结果没有影响，使三种系统在经典极限条件下分布都一样。 （1）定域系统的粒子可以分辨，遵从玻耳兹曼分布； 注意： （2）定域系统和满足经典极限条件的玻色费米系统虽然遵从同样的分布，但微观态数目不同。