第一章 信号与系统概述

目 录 CONTENTS 一 信号的概念 二 信号分类 三 典型信号 四 系统的概念 五 系统的描述方法 六 系统的分类 七 LTI系统分析概述

一、信号的概念 消息 (message): 人们常常把来自外界的各种报道统称为消息。 信息 (information): 通常把消息中有意义的内容称为信息。 本课程中对“信息”和“消息”两词不加严格区分。 信号 (signal): 信号是信息的载体。通过信号传递信息。

信号实例—语音信号 时域波形图 频谱图

信号实例—噪音信号 时域波形图 频谱图

信号实例—合成信号 时域波形图 频谱图

信号实例—股市 上证指数近期的图形 近期成交量

二、信号分类 1 确定信号和随机信号 2 一维和多维信号 3 因果和反因果信号 4 左边信号的右边信号 5 连续信号和离散信号 6 周期和非周期信号 7 实信号和复信号 8 能量和功率信号

5.连续信号和离散信号 连续时间信号：在连续的时间范围内(-∞< t <∞）有定义的信号。 值域不连续 值域连续

离散时间信号：仅在一些离散的瞬间才有定义的信号。 取值间隔相等

上述离散信号可简画为 函数 图形 f(k)= {…，0，1，2，-1.5，2，0，1，0，…} ↑ k=0 集合

已知离散信号的闭合形式： 请画出f(k)的图形

模拟信号，抽样信号，数字信号 模拟信号：时间和幅值均为连续的信号。 抽样 抽样信号：时间离散的，幅值连续的信号。 量化 数字信号：时间和幅值均为离散的信号。 连续信号与模拟信号，离散信号与数字信号常通用。

实际中呢？ 6.周期信号和非周期信号 周期信号:在(-∞，∞)区间，每隔一定时间T (或整数N），按相同规律重复变化的信号。 连续周期信号f(t)满足：f(t) = f(t + mT)，m = 0,±1,±2,… 离散周期信号f(k)满足： f(k) = f(k + mN)，m = 0,±1,±2,… 非周期信号：不具有周期性的信号。 di1 实际中呢？

连续周期信号示例 周期信号举例 离散周期信号示例 结论： 连续正弦信号一定是周期信号 离散正弦序列不一定是周期序列 两连续周期信号之和不一定是周期信号 两周期序列之和一定是周期序列

7.实信号和复信号 实信号：各时刻函数值为实数，物理可实现信号 复信号：函数值为负数，可分解为幅度和相位，实部和虚 部进行讨论和实现。 相位 虚部Im 实部Re

8.能量信号与功率信号 将信号f (t)施加于1Ω电阻上，它所消耗的瞬时功率为| f (t) |2，在区间(–∞ , ∞)的能量和平均功率定义为 信号的能量E 信号的功率P 若信号f (t)的能量E <∞ ,则为能量有限信号，简称能量信号。此时 P = 0 若信号f (t)的功率 P <∞ ,则为功率有限信号，简称功率信号。此时 E = ∞

离散信号的功率和能量： 直流信号 周期信号 f(t)=t, 5>t>0 f(t)=t, t>0 若满足 的离散信号，称为能量信号。 若满足 的离散信号，称为功率信号。 直流信号 周期信号 f(t)=t, 5>t>0 f(t)=t, t>0

三、典型信号 1 采样函数 Sa(t) 阶跃函数 阶跃序列 2 3 冲激函数 冲激序列 之间关系 4 举例 5

1.采样函数Sa(t)

2.阶跃函数 阶跃序列 阶跃函数 t 阶跃函数

f(t) = 2ε(t)-3ε(t-1)+ε(t-2)

阶跃序列

3.冲激函数 冲激序列 冲激函数 求导 冲激函数

时函数值为零； t =0 时， ，为无界函数。 积分面积为1； 写出f(t)的表达式 f(t) = 2δ(t +1)-2δ(t -1)

冲激函数性质： 筛选性 尺度变换

脉冲序列 筛选性： f(k)δ(k) = f(0)δ(k) f(k)δ(k –k0) = f(k0)δ(k –k0)

4. 之间关系 求导 n→∞ 求导

之间关系 δ(k) = ε(k) –ε(k –1)

5.举例 已知f(t)，画出g(t) = f ’(t)和 g(2t) 求导，得g(t) 压缩，得g(2t)

四、系统的概念 系统：信号的产生、传输和处理所需要的物理装置。 系统的作用：对信号进行传输和处理。 输入信号 输出信号 系统 激励 响应

无线电广播信号的发射和接收系统

五、系统的描述方法 1 数学模型 2 框图描述

1.数学模型 连续系统描述：微分方程 离散系统描述：差分方程 某人每月初在银行存入一定数量的款，月息为β元/元，求第k个月初存折上的款数。 y(k)-(1+β)y(k-1) = f(k)

2.框图描述 将基本运算用一些基本单元符号表示出来并相互联接，来 表征上述方程的运算关系，这样画出的图称为模拟框图， 简称框图。 连续系统的基本单元 离散系统的基本单元 系统模拟

连续系统的基本单元 乘法器 加法器 积分器 延时器 数乘器

离散系统的基本单元 加法器 迟延单元 数乘器

系统模拟 实际系统 建立方程 模拟框图 实验室模拟及实现 指导实际系统设计 方程←→框图 用变换域方法和梅森公式更简单，后面讨论。

系统模拟—例1 例1：已知y”(t) + ay’(t)+ by(t) = f(t)，画框图。 解：将方程写为 y”(t) = f(t) –ay’(t) –by(t)

系统模拟—例2 x”(t) x’(t) x(t) 设辅助变量x(t)如图 x”(t) = f(t) – 2x’(t) –3x(t) ,即x”(t) + 2x’(t) + 3x(t) = f(t) y(t) = 4x’(t)+ 3x(t) 根据前面，逆过程，得 y”(t) + 2y’(t) + 3y(t) = 4f’(t)+ 3f(t)

六、系统的分类 1 线性与非线性系统 2 时变与时不变系统 3 因果与非因果系统 4 稳定与不稳定系统

1.线性系统与非线性系统 y(·) = T[ f (·)] f (·) → y(·) 线性系统：指满足齐次性和可加性两种线性性质的系统。 齐次性： f(·) →y(·) a f(·) →a y(·) 可加性： f1(·) →y1(·) f1(·) +f2(·) →y1(·)+y2(·) f2(·) →y2(·) 线性性质： af1(·) +bf2(·) →ay1(·)+by2(·)

动态系统线性判断 系统原始 储能x(0) 系统原始 储能0 零输入响应 零输入响应 yzi(·) = T [ {0}，{x(0)}] 动态系统不仅与激励{ f (·) }有关，而且与系统的初始状态{x(0)}有关。 初始状态也称“内部激励”。 y (·) = T [{ f (·) }, {x(0)}]， 零输入响应 零状态响应 系统原始 储能x(0) 零输入响应 yzi(·) = T [ {0}，{x(0)}] 系统原始 储能0 零状态响应 yzs(·) = T [{ f (·) }, {0}] 输入

开关S由1转向2，假设电容电压为响应 ，则转向后得到的是零输入响应

动态系统线性判断 ①可分解性： y (·) =yzs(·) + yzi(·) ②零状态线性： T[{af1(t) +bf2(t) }, {0}] = aT[{ f1 (·) }, {0}] +bT[{ f2 (·) }, {0}] ③零输入线性： T[{0},{ax1(0) +bx2(0)} ]= aT[{0},{x1(0)}] +bT[{0},{x2(0)}] 例1 例2

2.时不变系统与时变系统 时不变系统：指满足时不变性质的系统。 时不变性（或移位不变性） ： f(t ) → yzs(t ) f(t - td) → yzs(t - td) 举例

线性时不变系统（LTI）性质推论 ① 微分特性： 若 f (t) → yzs(t) ， 则 f ’(t) → y ’ zs (t) ② 积分特性： 若 f (t) → yzs(t) ， 则

3.因果系统与非因果系统 因果系统： 指零状态响应不会出现在激励之前的系统。 即对因果系统， 当t < t0 ，f(t) = 0时，有t < t0 ，yzs(t) = 0。 判断方法： 输出不超前于输入。

如下列系统均为因果系统： yzs(t) = 3f(t – 1) 而下列系统为非因果系统： (1) yzs(t) = 2f(t + 1) 因为，令t=1时，有yzs(1) = 2f(2) (2) yzs(t) = f(2t) 因为，若f(t) = 0， t < t0 ，有yzs(t) = f(2t)=0, t < 0.5 t0 。 综合举例

实际的物理可实现系统均为因果系统 非因果系统的概念与特性也有实际的意义，如信号的压缩、扩展，语音信号处理等。 若信号的自变量不是时间，如位移、距离、亮度等为变量的物理系统中研究因果性显得不很重要。 因果信号 t = 0接入系统的信号称为因果信号。 可表示为：

4.稳定系统与不稳定系统 一个系统，若对有界的激励f(.)所产生的零状态响应yzs(.)也是有界时，则称该系统为有界输入有界输出稳定，简称稳定。即 若│f(.)│<∞，其│yzs(.)│<∞ 则称系统是稳定的。 如yzs(k) = f(k) + f(k-1)是稳定系统；而 是不稳定系统。 因为，当f(t) =ε(t)有界， 当t →∞时，它也→∞，无界。

离散系统线性时不变判断 例：下列差分方程描述的系统，是否线性？是否时不变？ 并写出方程的阶数。 （1）y(k) + (k – 1)y(k – 1) = f(k) （2） y(k) + y(k+1) y(k – 1) = f2(k) （3） y(k) + 2 y(k – 1) = f(1 – k)+1 线性、时变，一阶 非线性、时不变，二阶 非线性、时变，一阶 判断方法：方程中均为输出、输入序列为一次关系项，则是线性的。输入输出序列前的系数为常数，且无反转、展缩变换，则为时不变的。