内容提要 数字滤波器基本原理 IIR 数字滤波器 FIR 数字滤波器 数字滤波器的实现问题 数字滤波器的结构及有限字长效应 第七章 数字滤波器 内容提要 数字滤波器基本原理 IIR 数字滤波器 FIR 数字滤波器 数字滤波器的实现问题 数字滤波器的结构及有限字长效应 返回目录

§7-1 基本概念 7.1-1 数字滤波器基本工作原理 模数转换A/D 数字信号处理DSP 数模转换D/A §7-1 基本概念 7.1-1 数字滤波器基本工作原理 数字滤波器通过数值运算达到滤波的目的，即可以采用软件方式实现，通过算法软件，利用通用计算机实现滤波，也可以硬件方式实现滤波。目前已有多种通用和专用的数字信号处理芯片，可以很方便的实现各种类型的数字滤波器。 正是因为数字滤波器的数字运算方式，使其具有高精度、高稳定性、高集成性。制成超大规模集成电路，具有体积小、功耗低、实现灵活及没有对阻抗匹配要求等优点。因此数字滤波器在很多方面优于模拟滤波器。 数字信号处理涉及如下图示的三个步骤： 模数转换A/D 数字信号处理DSP 数模转换D/A 对模拟信号进行抽样、编码转换为数字信号 变换域分析、数字滤波、识别、合成 经过处理的数字信号还原为模拟信号

数字滤波器 基本工作原理 下图说明了数字滤波器的工作原理： 原始信号x(t) 的频谱 原始信号 x(t) 的抽样信号xs(t) 的频谱 数字滤波器的频率响应（离散系统） 经数字滤波后的序列的频谱 模拟低通滤波器频谱 经模拟滤波后输出的模拟信号频谱

下面进一步说明数字滤波器的工作原理： s为抽样角频率 数字滤波器基本工作原理 设输入信号x(t)中包含有用信号成分为xa(t)，无用信号成分为xn(t) ，它们经傅立叶变换得到的频谱分别为X() 、 Xa()、Xn() ，并设它们占有不同的频带，即 其中： 且 s为抽样角频率

数字滤波器基本工作原理 * 输入信号x(t)经冲激抽样后的信号xs(t)，其频谱Xs()应为x(t)的频谱X()的周期延拓，并与序列x(n)的频谱X(ej)存在频率坐标的线性映射关系。 T 为抽样周期 其频谱图如前图( b )中所示 * 设数字滤波器频率响应H (ej) 在 0  区间具有理想低通特性为： 其频响特性如前图( c )中所示 * 经过数字滤波后，输出序列y(n)的频谱Y(ej) 根据离散系统的理论得：

而输出冲激抽样信号 ys(t) 的频谱 Ys() 与Y(ej) 关系为： 数字滤波器基本工作原理 而输出冲激抽样信号 ys(t) 的频谱 Ys() 与Y(ej) 关系为： Ys()与Y(ej)的频谱如前图( d )中所示 可见由于数字滤波器的频率响应特性的选择作用，已经滤除了输入序列中的无用信号的频率成分，只保留了有用信号的成分。 * 输出抽样信号 ys(t) 经过理想低通滤波器恢复为连续信号y (t)的输出，根据抽样定理，理想低通滤波器的频率响应为 HL()与Y ()的频谱如前图( e )、( f ) 中所示 故 y (t) 的频谱Y ()为： 因此： 上式说明输出信号即为输入信号中的有用信号，无用信号已被滤掉，整个过程表现出 D/A  DSP  A/D 的特性。

7.1-2 数字滤波器分类 按时域特性： 当 无限冲激响应数字滤波器 7.1-2 数字滤波器分类 无限冲激响应数字滤波器 ( IIR— Infinite Impulse Response Digital Filter ) 按时域特性： 有限冲激响应数字滤波器 ( FIR— Finite Impulse Response Digital Filter ) 一般离散系统可用N阶差分方程表示为： 其系统函数为： IIR 系统 H(z) 为有理分式形式， h(n) = -1[H(z)] 为无限长序列。 当 H(z) 为多项式形式， h(n) = -1[H(z)] 为有限长序列。 IIR 系统

按系统结构 递归型结构 非递归型结构 数字滤波器分类 * 当系统传递函数H(z) 中bk 0 ，对应的差分方程 y(n) 不仅与输入 有关 ，而且与输入和输出的移序值有关 ，该系统的结构图存在反馈环路 。采用这 种结构的数字滤波器称为递 归结构 。 * 当系统传递函数H(z) 中bk =0 ，对应的差分方程 y(n) 只与输入 和输入的移序值有关 ，与输出的移序值无关， 该系统的结构图不存在反馈环路。采用这 种结构的数字滤波器称为非递 归结构 。 一般说，IIR系统因其H(z)为有理分式形式易于用递归结构实现。 而IIR系统因其H(z)为多项式形式易于用非递归结构实现。

低通（LP） 按频率特性 高通（HP） 带通（BP） 带阻（BS） 数字滤波器分类 图中只反映了正频率部分，数字滤波器特点是具有周期性。它们的频率特性均是指数字角频率在  = 0 ~  的 范围内。

数字滤波器是用数字系统实现的一种运算过程，因此它具有一般数字系统的基本特点，与模拟滤波器相比，更具有一系列的优点。 7.1-3 数字滤波器分类 数字滤波器是用数字系统实现的一种运算过程，因此它具有一般数字系统的基本特点，与模拟滤波器相比，更具有一系列的优点。 （1）具有高精度性： （2）系统稳定性好： （3）应用灵活 （4）信号处理功能强 数字系统可在高精度测量中使用。 数字部件只在0、1电平状态下工作，受外界环境因素影响小。 改变系数和计算程序，即可改变系统特性，并可进行时、分复用（一个系统具有不同性能，可并行处理多路信号）。 能进行复杂的信号处理任务，完成许多模拟系统无法做到的工作，广泛应用于语音、图象处理，生物医学领域及自动测试与控制系统中。 数字滤波器存在的问题：主要是处理速度不快，一方面是 A/D转换的速度不够快；再就是数字系统需要运算时间，对高频信号处理有难度（实时处理问题）。

§7-2 IIR 数字滤波器设计 数字滤波器频率特性以2为周期 ，当系统单位抽样响应h(n)为 n的实函数 ， 其幅频特性呈周期偶对称 ，相频特性呈周期奇对称，因此只要求出 = 0 ~  的范围内的H(ej )即可。与模拟滤波器一样，设计数字滤波器，首先也是寻求满足性能要求的H(s )，同样是逼近问题。 此图表示出数字低通滤波器频域设计的容差图 通带 过渡带 阻带 IIR 滤波器的设计任务是用系统函数H(s)逼近给定的H(ej )，亦即确定M、N、ar (r=0,1,……,M) 和bk (k=1,2,……N) 等参数。 直接设计方法 利用计算机辅助设计（算法设计） 设计方法 间接设计方法 借助模拟滤波器原型导出所需数字滤波器

我们通常采用间接设计法，因为模拟滤波器有大量现成的公式和图表可以利用，用来设计数字滤波器方便易行。 IIR 数字滤波器设计 我们通常采用间接设计法，因为模拟滤波器有大量现成的公式和图表可以利用，用来设计数字滤波器方便易行。 给定数字滤波器技术指标 设计流程如右图所示。 转换成模拟滤波器指标 从流程图可以看出，此方法实际反映的是 S 域与 Z 域之间的映射关系。为使数字滤波器保持模拟滤波器的特性，这种映射关系应满足： 设计模拟滤波器的Ha(s) （1）为使模拟滤波器的频率特性 Ha() 和 数字滤波器频率特性 Hd(ej ) 相互对应 ，要求 S 域的虚轴 j ( |  | <  ) 映射为Z域的单位圆 z = ej ( || <  ) 。 （2）S域的左半平面 (Re[s] < 0) 映射到Z平面的单位圆内部(|z| < )，这样稳定的模拟滤波器经 映射变 换得到的数 字滤波器仍是稳定的。 S域到Z域的映射 求出数字滤波器的Hd(z) 常用方法有两种

此方法是将模拟滤波器的冲激响应 ha(n) 进行等间隔抽样，其抽样值作为数字滤波器的单位抽样响应 h(n) ，即 7. 2-1 冲激响应不变法 此方法是将模拟滤波器的冲激响应 ha(n) 进行等间隔抽样，其抽样值作为数字滤波器的单位抽样响应 h(n) ，即 式中：T为抽样间隔。 数字滤波器传递函数为： 仅考虑其具有单极点的情况 Ha(s) 与 H(z) 对应关系为： Ak — 待定系数 Ha(s)的逆变换为：

按 (7.2-1) 方式对ha(t) 抽样并进行 Z 变换，得 冲激响应不变法 按 (7.2-1) 方式对ha(t) 抽样并进行 Z 变换，得 对比 (7.2-2) 和(7.2-5)可见，冲激响应不变法原理就是将 Ha(s) 的部分分式展 开式中的 代之以 ，即求出H(z) 。 此结果表明：S平面极点sk 映射到Z平面上是位于 处之极点，若sk 在S 平面的左半平面则 必位于Z平面的单位圆内，从而保证了数字滤波器的稳定性。 以下建立Ha(s)与H(z)之间的关系式；

冲激响应不变法 因为： 如果将上式中的冲激序列 展开成傅立叶级数，再进行拉氏变换 并借助S域的频移定理可得 由以上两式得出 上式表明，Z平面与S平面呈多值、多元映射关系。若 s=+j 、z =rej ，则 r = eT 、  = T 。多值映射关系也可从下式看出

冲激响应不变法 当  不变，以2/T 的整数倍改变时，映射值不变，即将S平面沿 j 轴分割成一条条宽为2/T的水平带，每条带都按前面分析的关系映射到 Z平面的单位圆内，如左图所示 ；S平面与Z平面之间映射的多值性是冲激响应不变法的缺点。 由于冲激响应不变法是对ha(t) 的抽样结果，在频率特性上会产生频谱混迭的现象。取s=j 、z=ej 、 = /T ， 由(7.2–8)式得 冲激响应不变法S平面与Z平面之间的映射关系

下图表示出冲激响应不变法中的频谱混迭的现象 由式( 7. 2-10) 可知数字滤波器增益与抽样间隔T成反比，过高的抽样率可减小混迭，但同时造成增益过高，为此常将h(n)的设计值定为Tha(n)，以保持转换后数字滤波器增益不变。 结论：冲激响应不变法可将稳定的模拟滤波器变换为稳定的数字滤波器变换频率呈线性关系 ( = )，频率特性形状亦基本相同，在时域上两者的冲激响应形状也基本相同。但由于混迭现象造成数字滤波器频率特性高频端严重失真，故只适用于低通滤波器或限带的高通或带通(0)场合。

7. 2-2 双线性变换法 使模拟滤波器与数字滤波器在输入输出上相互模仿，以达到两者的频率响应相互模仿的目的。 基本思想： 7. 2-2 双线性变换法 基本思想： 使模拟滤波器与数字滤波器在输入输出上相互模仿，以达到两者的频率响应相互模仿的目的。 两者的模仿关系如图所示 两者相互模仿的含义是使数字滤波器的差分方程成为表征模拟滤波器的微分方程的数值近似解。采用方法是将微分方程积分，然后对积分进行数值逼近的方法。下面以一简单的一阶微分方程为例，讨论双线性变换法：

双线性变换法 设一模拟滤波器微分方程为 其传递函数为 设 则 用梯形法求积分的近似解为 由式（7.2 - 11）得 将以上二式代入（7.2 - 13），并用 y(n)、y(n-1)、 x(n)、x(n-1) 代表各抽样值得

双线性变换法 上式即为逼近微分方程的差分方程，上式两边取 Z 变换求得 H(z) 为 比较式 (7.2-13) 和 (7.2-15) 可知，将 Ha(s) 中的变量 s 用下式代替 或 即 以上关系式亦可推广到一般形式的高阶微分方程中，因为 n 阶微分方程可写成 n 个一阶微分方程之和，因此这种变换关系普遍成立。

双线性变换法 前面推导了s 变量与z 变量之间的关系，下面求两种频率变量  与  之间的关系。由式 ( 7.2-17 ) ，当 s=j 时 设 则有 模拟滤波器的频响 H(j) 与数字滤波器的频响H(ej) 对应。而由式(7.2-1)可见模拟角频率 与数字角频率 之间的变换关系是非线性的。 即

由式 (7.2-19) 可见，当 S 平面上变量s=j在虚轴上变化时，对应的在 Z 平面上的 z 变量在单位圆上变化。 双线性变换法 由式 (7.2-19) 可见，当 S 平面上变量s=j在虚轴上变化时，对应的在 Z 平面上的 z 变量在单位圆上变化。 由 当 S平面 Z平面 可见，双线性变换法满足稳定性要求，当模拟滤波器的Ha(s) 落在S平面的左半平面，则经过双线性变换后得到的数字滤波器 H(z) 的极点必在Z平面的单位圆内，因此是稳定的。 双线性变换不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分的现象，即所谓频谱混叠现象。这是因为S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上，是一一对应的关系。

但是 和 的对应关系是非线性的，使得数字滤波器与模拟滤波器在幅度与频率对应关系即频率特性产生失真。从下面的图中就可以明显看出。 双线性变换法 但是 和 的对应关系是非线性的，使得数字滤波器与模拟滤波器在幅度与频率对应关系即频率特性产生失真。从下面的图中就可以明显看出。 数字滤波器的在(-,)范围分布 在利用双线性变换设计数字滤波器时，为最终得到与设计要求一致的数字频率，在指标转换过程中必须作预畸变校正。对于要求线性相移的数字滤波器设计，就必须考虑引入的相位畸变是否允许。 模拟滤波器的在(-,)范围分布

7. 2-3 I I R 数字滤波器结构 数字滤波器的实现可利用硬件和软件两种方式实现，本节介绍数字滤波器的硬件实现。硬件实现应确定其运算结构图。选择运算结构是很重要的，因为同一个数字系统的差分方程可采用不同的结构实现，而结构的不同又会影响系统的精度、稳定性及速率等多方面的性能指标。 I I R 数字滤波器构成形式主要有：直接型、级联型及并联型等。下面分别讨论各种构成形式。  直接型 设 I I R 数字滤波器的系统函数为 其差分方程为

对应式 ( 7.2-23 ) 可直接画出起其结构实现原理框图，称为直接 I 型； IIR 数字滤波器结构 对应式 ( 7.2-23 ) 可直接画出起其结构实现原理框图，称为直接 I 型； 若将 H(z) 分解成两个子系统的级联，则 其中： 因此有： 上式的差分方程形式为： 直接 I 型数字滤波器

IIR 数字滤波器结构 同理： 差分方程形式为： 由式 (7.2-24)、 (7.2-25)可将数字滤波器直接 I 型化简为直接 II 型的形式。 直接 I 型结构比直接 II 型节约较多的延迟单元。这样在硬件实现时可节约延时寄存器，软件实现则可节省存储单元。 直接型结构虽能简便的实现 H(z) ，但其调整不便，易引起量化误差，导致系统不稳定。因此直接型多用于低阶滤波器 ，对于高阶滤波器常通过分解为低阶形式的级联或并联形式来实现。 直接II型数字滤波器

IIR 数字滤波器结构  级联型 如果将式 ( 7.2-22 ) 表示的系统函数 H(z) 的分子和分母进行因式分解，可得到 H(z)的连乘形式： 上式 中：A0 为比例系数 ；Hi(z) 为子系统函数，可表示为 z-1 的一阶或二阶多项式的比值形式，即： 式 (7.2-27) 称为一阶节，式 (7.2-28) 称为二阶节； 显然一阶节和二阶节子系统结构可由直接 II 型滤波器结构实现，将这些子系统进行级联，就可得到 IIR 数字滤波器的完整结构。

IIR 数字滤波器结构 一阶节构成的子系统只有一个零点和一个极点，调整一个子系统并不影响其他的子系统，且分子和分母可任意搭配成一个一阶节或二阶节，因此级联结构有很大的灵活性。

如果将式 ( 7.2-22 ) 表示的系统函数 H(z) 的分母进行因式分解，并展开成部分分式形式，可得到 H(z) 的并联结构形式： IIR 数字滤波器结构  并联型 如果将式 ( 7.2-22 ) 表示的系统函数 H(z) 的分母进行因式分解，并展开成部分分式形式，可得到 H(z) 的并联结构形式： 其中：C 为常数， Hi(z) 为子系统滤波器，构成形式也为一阶节或二阶节，一般形式的表达式为 式 ( 7.2-29 ) 表示一个数字滤波器也可由若干个子滤波器并联构成。后面的原理框图表示出子系统结构和并联结构。

IIR 数字滤波器结构 并联结构与级联结构一样，可以单独调整极点位置，但是不能直接控制零点。因此在要求准确的传输零点时，不如级联型易调整。但在运算误差方面，并联型各基本节的误差互不影响，所以误差比级联型更小些。 递归式结构一般常用在IIR型数字滤波器上。

§7-3 F I R 数字滤波器设计 7.3-1 FIR 数字滤波器特点 FIR 数字滤波器的单位抽样响应是有限长的，H(z) 是 z-1 的多项式，而不是有理分式，因此在系统性能，设计方法及结构实现等方面与IIR数字滤波器有很大差别。下面主要讨论FIR 数字滤波器系统特点、实现方法及结构实现。 7.3-1 FIR 数字滤波器特点 FIR数字滤波器的输入输出关系用下面的差分方程表述： 相应的系统函数为 因此 H(z)是z-1 的 N-1次多项式，在Z平面上有N-1个零点，且在原点有N-1阶重极点。 H(z)在除z=0外的整个z平面上收敛，收敛域包含单位圆，极点在单位圆内，系统处于稳定状态。

FIR 数字滤波器特点 下面研究FIR数字滤波器的频率响应具有线性特性，单位抽样响应 h(n)应满足的条件，以及满足线性相位条件时幅度特性所具有的特点。 设FIR数字滤波器的频率响应为 进一步表示为 其中：Hg() 为幅度特性，() 为相位特性。但此处Hg()不同于|H (ej)|， Hg()为的实函数，可为正、负值，但|H (ej)|总为正值。 H (ej)的线性相位指() 是的线性函数，即 或 这里： 0 为起始相位，  为常数{但(7.3-6)式不具有线性相位}；但以上两式都满足群延时是常量，即

FIR 数字滤波器特点 但我们一般都将() 称为线性相位，为有所区别将式(7.3-5)称为第一类线性相位，式(7.3-6)称为第二类线性相位。 对于第一类线性相位，h(n)应满足的条件 式(7.3-3)改写为如下形式 设h(n)为一实序列， H (ej)的相位特性()可由下式求出 由()=– 可求出

FIR数字滤波器特点 则 即 式(7.3-7)是一个三角函数求和表达式，式中 sinx 对 n= 处奇对称，设=(N-1)/2，那么正弦函数以 (N-1)/2 点为中心奇对称，所以式 (7.3-7) 成立的条件是 h(n) 以 (N-1)/2 点偶对称，要求 h(n)=h(N-1-n) 。 同理可推出第二类线性相位条件。要求h(n) 以 (N-1)/2 点奇对称，要求 h(n)=h(N-1-n) 。 总结这两类线性相位的条件如下：

FIR数字滤波器特点 两式中的  表示信号通过滤波器的时间延迟。当 h(n) 对 (N-1)/2 偶对称时 ， () 是过原点的一条直线，斜率为 - ；当h(n) 对 (N-1)/2奇对称时，() 有一初始相位移 -/2 ，表明第二类线性相位对所有频率成分有一 -/2 相位移。当 N 为偶数，不存在(N-1)/2 点；当 N 为奇，对第二类线性相位，由于 h(n) 对 (N-1)/2 奇对称 ，因此 h((N-1)/2 ) = 0。对两类线性相位按N取奇数或偶数，分为四种情况，它们对应的h(n) 的对称情况和相位特性如表3-1 所示。

表7.3-1四种线性相位FIR 滤波器特性

表7.3-1四种线性相位FIR 滤波器特性（续）

第一种情况：h(n)=h(N-1-n) ， N取奇数。 下面按以上四种情况分别讨论幅度特性的特点： 第一种情况：h(n)=h(N-1-n) ， N取奇数。 令 m=N-1-n 在第二项中令 m=n ，并对每一项提出因子e-j(N-1)/2 ，利用h(n)=h(N-1-n) ，将前两项合并得到；

令 m=(N1)2n 令 则 按(7.3-4) ，上式的幅度特性和相位特性分别为 由式 (7.3-11) 、 (7.3-12) 表示的偶对称线性相位特性(N为奇)正如表 7.3-1中情况 I 所示，可见cos(n) 对=0、、2 皆为偶对称，因此 Hg() 对这些频率呈偶对称。

第二种情况：h(n)=h(N-1-n) ， N取偶数。 此时，(N-1)/2 点不存在， H (ej) 可写成 令 m=N1n 令 m=N/2n

将 m 还原为 n ，则 式中 因此 H (ej) 的幅频特性与相位特性为 上式表明，由于cos[(n-1/2)]对= 奇对称Hg()对 = 也呈奇对称，且由于= 时， cos[(n-1/2)]=0，Hg( )=0， 相当于H(z)在z= 1处有一个零点。因此不能用这种情况设计=处H(ej)不为零的数字滤波器，如高通滤波器等。相位特性()与情况I相同。第二种频率响应特点如表7.3-1情况II 所示。

第三种情况：h(n)=h(N1n) ，N取奇数。 由于h(n) 对(N-1)/2奇对称，必有h[(N1)/2]=0，与前类似推导，得 其中： 因此 式(7.318)表明， 当=0、、 2时， Hg()=0，相当于H(z)在z处有 两个零点，且Hg()对这些频率点奇对称。其频率响应特性也示于表7.31 的 情况 III 中。

第四种情况：h(n)=h(N1n) ，N取偶数。 类似与前推导的步骤，得 其中： 因此 式(7.321)表明， 当=0、2时， Hg()=0，相当于H(z)在z 处有一个 零点，且Hg() 对=0、2 点奇对称。其频率响应特性表示于表 7.31 的情 况 IV 中。

第二类线性相位中两种情况的相频特性是相同的。除了具有(N  1)/2的线性相移外，还有 /2的固定相移。这一类情况适合于一些正交网络的设计，用于数字滤波器设计时要注意第三种情况只适用于带通滤波器网络的设计，第四种情况则适用于高通或带通滤波器的设计。 线性相位FIR数字滤波器四种情况的Hg() 和 () 可统一表示为下面形式的表达式。 式中：L=0 表示第一类线性相位，L =1 表示第二类线性相位 。 四种情况下的 Hg() 分别用式 (7.3-12) 、 (7.3-15) 、 (7.3-18) 及 (7.3-21) 表示。

7.3-2 FIR数字滤波器窗函数设计法 设所要求的滤波器特性为Hd(ej)，对应的单位抽样响应hd(n)为： hd(n)可能是无限长且为非因果响应。为此要寻找一个因果的 h(n)，在相应的误差准则下对hd(n)进行最佳逼近。窗函数设计法就是利用此方法使设计的滤波器频率特性Hd(ej)在频域均方误差最小意义下的逼近，即 则有

对(7.3-25)化简，可以证明只要将无限长 hd(n)截断其有限项为 h(n)，即可使 2 达到最小。用矩形序列GN(n)对hd(n) 进行截断，得 h(n)为 例如，设理想低通滤波器频率特性为 Hd() -幅频特性  -相移常数 对应的单位抽样响应为 按式(7.3-26)，设计长度为N的线性相位低通滤波器单位抽样响应为

对应的波形如下图所示： hd(n)为无限长序列，且为非因果序列。 h(n) 是利用长度为N的矩形序列GN(n)对hd(n) 的截断后的单位抽样响应。因此h(n) 的频率特性H (ej)是对GN(n)的频率特性GN (ej) 的卷积结果。

GN(n)的离散傅立叶变换为GN (ej) 其中： GN()为矩形窗的频域幅度函数。这样 ，设计的线性相位低通滤波器频率特性为

其中：频域幅度函数 Hg()是Hd()与GN()卷积的结果。 这一卷积过程及结果示于图7.3-2中。 比较加窗截断后的 Hg() 与原来的 Hd() 特性可以得出：在 = c 附近形成过渡带，过渡带两边出现正、负肩峰，肩峰的间距为4N。肩峰的增量值为 8.95% 即为吉布斯现象 。但进入阻带的负的肩峰将影响阻带的衰减特性 。显然 ，矩形窗的逼近特性很不理想 。为加大阻带的衰减也即减小肩峰的影响 ， 需采用其他形状的窗函数。通常， 若窗函数时域波形两端平缓下降(如三角窗、升余弦窗等)则其频域特性旁瓣电平减少 ，从而增加阻带衰减 ， 但代价是增加了主瓣和过渡带的带宽 。对于同一种窗函数，增加N值即可使过渡带减小。 常用的窗函数 w(n) 有如下几种（时域宽度取 0  n  N）： （1）矩形窗 ( Rectangle Window )

（2）三角窗 ( Bartlett Window ) （3）汉宁窗 ( Hanning Window，升余弦窗 ) （4）汉明窗 ( Hamming Window，改进升余弦窗 ) （5）布莱克曼窗 ( Blackman Window，二阶升余弦窗 )

它们的时域波形和对数幅频特性示于教材的图7.3-3中。下表列出了五种窗函数特性及加权后相应的数字滤波器达到的指标，供参考。 表7. 3–2 五种窗函数特性比较 窗函数 主瓣宽度 (2N) 最大旁瓣电平 (dB) 加权后相应滤波器指标 过渡带宽度(2N) 最大阻带起伏(dB) 矩形窗 2 -13 0.9 -21 三角窗 4 -27 2.1 -25 汉宁窗 -32 3.1 -44 汉明窗 -43 3.3 -53 布莱克曼窗 6 -58 5.5 -74 例如，若选用汉宁窗，最大旁瓣电平为 –32dB ，最大阻带起伏随之改善为 –44dB，优于矩形窗，但主瓣宽度为4 (2N) ，过渡带宽为 3.3(2N) ，都比矩形窗加大了，对同样的指标要求，所需的 N 值加大。 下面给出用窗函数法设计FIR 滤波器的步骤： （1）给定Hd (ej) ，求出相应的hd (n) ； （2）根据允许的过渡带宽度和阻带衰减要求选择窗函数形状及滤波器长度N。

（3）给定Hd (ej) ，求出相应的hd (n) ； （4）计算 H (ej) = 1(2)[Hd (ej) W(ej) ] ，检验各项指标。 窗函数法设计比较简单实用，但缺点是过渡带及边界频率不易控制，通常要反复计算。 例7.3-1用矩形窗、汉宁窗和布莱克曼窗设计FIR低通滤波器，设N=11， c=0.2 rad 。 解：用理想低通滤波器作为逼近的滤波器，即矩形窗，按照式(7.3-28)得 用汉宁窗设计有

用布莱克曼窗设计有 汉 宁 窗 矩 形 窗 布莱克曼窗 分别求出h(n)后，再求出它们的频率响应 H(ej) ，如左图示。

7.3-3 FIR 数字滤波器结构 FIR数字滤波器的结构形式主要有直接型、级联型、线性相位FIR滤波器结构等，下面分别讨论。 （1）直接型 FIR数字滤波器的单位抽样响应h(n)是一个有限长序列，其系统函数H(z)一般具有如下形式： 其差分方程为 这种结构称为直接型结构, 从式(7.3-39)知该式实际表示的是信号卷积形式。由于它具有横向延时链，又称为横向型结构。

（2）级联型 如将系统函数H(z)分解为二阶实系数因子形式： 构成二阶级联结构 这种结构每一节控制一对零点，因而在需要控制零点时可以采用。但相应的滤波系数增加，乘法运算次数增加，因此用到的存储器较多，运算时间比直接型增加。

（3）线性相位FIR 滤波器结构 线性相位FIR滤波器满足下列偶对称条件： 当N为偶数时 当N为奇数时 由以上两式可画出线性相位FIR 滤波器结构如后面的图中所示。显然，这种结构形式的乘法次数较之直接型节约了一半左右。

线性相位FIR滤波器结构

§7-3 有限字长效应的影响