高二数学 选修2-3 2.4 正态分布

引入 正态分布在统计学中是很重要的分布。我们知道，离散型随机变量最多取可列个不同值，它等于某一特定实数的概率可能大于0，人们感兴趣的是它取某些特定值的概率，即感兴趣的是其分布列；连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，它等于任何一个实数的概率都为0，所以通常感兴趣的是它落在某个区间的概率。离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用密度函数（曲线）描述。

复习:画频率分布直方图的步骤 4、列出频率分布表. 5、画出频率分布直方图。 1、求极差(即一组数据中最大值与最小值的差) 知道这组数据的变动范围4.3-0.2=4.1 2、决定组距与组数（将数据分组） 组距：指每个小组的两个端点的距离，组距 组数：将数据分组，当数据在100个以内时， 按数据多少常分5-12组。 3、 将数据分组(8.2取整,分为9组) 4、列出频率分布表. 5、画出频率分布直方图。

频率折线图 频率/组距 0.08 频率直方图 0.06 0.04 0.2 0.2 0.7 4.7 用水量 越光滑

复习 100个产品尺寸的频率分布直方图 小长方形的面积=? 频率 组距 产品 尺寸 （mm) 25.235 25.295 25.355 25.415 25.475 25.535

利用样本频分布对总体分布进行相应估计 （1）上例的样本容量为100，如果增至1000，其频率分布直方图的情况会有什么变化？假如增至10000呢？ （2）样本容量越大，这种估计越精确。 （3）当样本容量无限增大，组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线——总体密度曲线。

复习 越光滑 连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,得到频率分布折线图 思考： 若组距取得越小，则频率折线的 光滑程度会怎样？ 200个产品尺寸的频率分布直方图 复习 频率 组距 连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,得到频率分布折线图 产品 尺寸 （mm) 25.235 25.295 25.355 25.415 25.475 25.535 思考： 若组距取得越小，则频率折线的 光滑程度会怎样？ 越光滑

复习 总体密度曲线 产品 尺寸 (mm)

高尔顿板

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总体密度曲线 Y X

导入 1 、正态曲线的定义： 函数 产品尺寸的总体密度曲线 就是或近似地是以下函数的图象： 式中的实数μ、σ(σ>0)是参数，分别表示 总体的平均数与标准差，称f( x)的图象称为正态曲线

若用X表示落下的小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标,则X是一个随机变量.X落在区间(a,b]的概率为: c d a b 平均数 X Y 若用X表示落下的小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标,则X是一个随机变量.X落在区间(a,b]的概率为:

则称为X 的正态分布. 正态分布由参数μ、σ唯一确定.正态分布记作N（ μ，σ2）.其图象称为正态曲线. 2.正态分布的定义: 如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足: 则称为X 的正态分布. 正态分布由参数μ、σ唯一确定.正态分布记作N（ μ，σ2）.其图象称为正态曲线. 如果随机变量X服从正态分布， 则记作 X~ N（ μ，σ2）

在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布： 在生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标； 在测量中，测量结果； 在生物学中，同一群体的某一特征；……； 在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度 以及降雨量等，水文中的水位； 总之，正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的许多领域中。 正态分布在概率和统计中占有重要地位。

m 的意义 x= μ 总体平均数反映总体随机变量的 平均水平 x1 x2 x3 x4 平均数 产品 尺寸 (mm) 广东省阳江市第一中学周如钢 x3 x4

s的意义 总体平均数反映总体随机变量的 平均水平 总体标准差反映总体随机变量的 集中与分散的程度 平均数 产品 尺寸 (mm) 广东省阳江市第一中学周如钢

正态总体的函数表示式 1 2 -1 -2 x y -3 3 μ=0 σ=1 当μ= 0，σ=1时 标准正态总体的函数表示式 标准正态曲线

正态总体的函数表示式 （1）当 = 时,函数值为最大. (3) 的图象关于 对称. （2） 的值域为 （4）当 ∈ 时 为增函数. （1）当 = 时,函数值为最大. (3) 的图象关于 对称. （2） 的值域为 （4）当 ∈ 时 为增函数. 当 ∈ 时 为减函数. 1 2 -1 -2 x y -3 3 μ=0 σ=1 标准正态曲线 μ =μ （－∞，μ] （μ，+∞）

例1、下列函数是正态密度函数的是（ ） A. B. C. D. B

（3）利用指数函数的性质说明f(x)的增减性。 例2、标准正态总体的函数为 （1）证明f(x)是偶函数； （2）求f(x)的最大值； （3）利用指数函数的性质说明f(x)的增减性。

练习： 1、若一个正态分布的概率函数是一个偶函数且该函 数的最大值等于 ，求该正态分布的概率密度函数的解析式。 数的最大值等于 ，求该正态分布的概率密度函数的解析式。 20 25 30 15 10 x y 5 35 2、如图，是一个正态曲线，试根据图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差。

3、正态曲线的性质 x y x y y 具有两头低、中间高、左右对称的基本特征 1 2 -1 -2 -3 μ= -1 σ=0.5 1 2 1 2 -1 -2 x y -3 μ= -1 σ=0.5 1 2 -1 -2 x y -3 3 μ=0 σ=1 1 2 -1 -2 x y -3 3 4 μ=1 σ=2 广东省阳江市第一中学周如钢 具有两头低、中间高、左右对称的基本特征

3、正态曲线的性质 （1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交. （2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称. 1 2 -1 -2 x y -3 μ= -1 σ=0.5 1 2 -1 -2 x y -3 3 μ=0 σ=1 1 2 -1 -2 x y -3 3 4 μ=1 σ=2 （1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交. 广东省阳江市第一中学周如钢 （2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称. （3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点) （4）曲线与x轴之间的面积为1

3、正态曲线的性质 σ=0.5 1 2 -1 -2 x y -3 3 X=μ σ=1 σ=2 动画 （5）当 x<μ时,曲线上升;当x>μ时,曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x轴为渐近线,向它无限靠近. 广东省阳江市第一中学周如钢 (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定 . σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.

D 例3、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b。下列说法中不正确的是（ ） A.曲线b仍然是正态曲线； C.以曲线b为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a为概率密度曲线的总体的期望大2; D.以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为概率密度曲线的总体的方差大2。 D

4、特殊区间的概率: 特别地有 x=μ m+a m-a 若X~N ,则对于任何实数a>0,概率

我们从上图看到，正态总体在 以外取值的概率只有4.6％，在 以外取值的概率只有0.3 ％。 由于这些概率值很小（一般不超过5 ％ ），通常称这些情况发生为小概率事件。

A 例4、在某次数学考试中，考生的成绩 服从一个正态分布，即 ~N(90,100). （1）试求考试成绩 位于区间(70,110)上的概率是多少？ （2）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？ 练习：1、已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X~ ，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内？（ ） (90,110] B. (95,125] C. (100,120] D.(105,115] A

2、已知X~N (0,1)，则X在区间 内取值的概率等于（ ） A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228 3、设离散型随机变量X~N(0,1),则 = , = . 4、若X~N(5,1),求P(6<X<7). D 0.5 0.9544