第三章 集中量数
教学目标 理解各种集中量数的含义、性质、作用和应用条件； 掌握各种集中量数的计算方法。
次数分布的两个基本特征： 集中趋势 离中趋势 用来描述一组数据这两种特点的统计量分别称为集中量数和差异量数。这两种量数一起，共同反映一组数据的全貌。
第一节 算术平均数 算术平均数，一般称为平均数或均数、均值。 计算方法： 1）为分组数据计算平均数： 2）用估计平均数计算平均数：
第一节 算术平均数 平均数的特点： 平均数的意义： 在一组数据中，每个变量与平均数之差（离均差）的总和等于0； 在一组数据中，每一个数都加上一常数C，则所得的平均数为原来的平均数加常数C； 在一组数据中，每一个数据都乘以一个常数C，则所得的平均数为原来的平均数乘以常数C。 平均数的意义： 它是“真值”渐近、最佳的估计值。
第一节 算术平均数 平均数的优缺点： 优点： 缺点： ①反应灵敏。②确定严密。③简明易解。④计算简单。⑤符合代数方法进一步演算。⑥较少受抽样变动的影响。 缺点： ①易受极端数据的影响。 ②若出现模糊不清的数据时，无法计算平均数。
第一节 算术平均数 计算和应用平均数的原则： 1）同质性原则 2）平均数与个体数值相结合的原则 3）平均数与标准差、方差相结合的原则
第二节 中数与众数 一、中数 中数，又称中点数，中位数。符号为Md或Mdn（英文为median），中数是指位于一组数据中较大一半与较小一半中间位置的那个数。
中数计算方法： （一）未分组数据求中数 1、一组数据中无重复数值的情况（例题见书p.67） （二）分组数据求中数
中数的优缺点与应用 优点： 缺点： 适用情况： 计算简单、容易理解。 不是每个数据都加入计算；反应不够灵敏；受抽样影响大，不够稳定；计算时需要先排序；中数不能作进一步代数运算等等。 适用情况： ①一组观测结果中出现两极端数目。 ②次数分布的两端数据或个别数据不清楚。 ③需要快速估计一组数据的代表值。
第二节 中数与众数 二、众数 众数（Mode）又称为范数，密集数，通常数等，常用符号Mo表示。众数是指在次数分布中出现仅数最多的那个数的数值。 直接观察求众数比较常用。
众数的适用情况 ①当需要快速而粗略地寻求一组数据的代表值时； ②当一组数据出现不同质的情况时； ③当次数分布中有两极端的数目时； ④当粗略估计次数分布的形态时； ⑤当一组数据中同时有两个数值的次数都比较多时。
平均数、中数与众数三者之间的关系 三者关系： 在正态分布中，平均数、中数、众数三者相等； 在正偏态分布中 在负偏态分布中 平均数是一组数据的重心； 中数使两侧数据个数相同； 众数是重量较大的那个数。 在正态分布中，平均数、中数、众数三者相等； 在正偏态分布中 在负偏态分布中
第三节 其他集中量数 除了算术平均数之外，还有几种平均数对于测量一组数据的集中趋势也很有用，这些统计指标有： 加权平均数 几何平均数 调和平均数
一、加权平均数 如果数据权重不相等，若要计算平均数，不能求算术平均数，而应使用加权平均数。 计算公式： Wi为权数，所谓权数是指各变量在构成总体中的相对重要性，每个变量的权数大小，由观测者依据一定的理论或实践经验而定，虽然是可变的，但绝不是没有根据的。 举例：由小组平均数计算总平均数（p.76）
二、几何平均数 计算公式： 直接开多次方的运算，难于进行，因此在计算上常用取对数的方法：
几何平均数的应用 1、直接应用基本公式计算几何平均数： 适用情况： 举例：p.77 一组数据有少数偏大或偏小，数据分布呈偏态； 心理物理学的等距与等比量表实验结果的处理。 举例：p.77
几何平均数的应用 2、应用几何平均数的变式计算： 适用情况： 举例：p.79 一组数据彼此间变异较大，几乎按一定的比例关系变化，所要求的不是平均数，而是平均增长率。 举例：p.79
三、调和平均数 调和平均数（Harmonic Mean）用符号MH表示。因在计算中先将各数据取倒数平均，然后再取倒数，故又称倒数平均数。 计算公式：
调和平均数的应用 调和平均数主要用来描述学习速度方面的问题。 在有关研究学习速度的实验设计中，一般常取两种形式： 一是工作量固定，记录各被试完成相同工作所用的时间； 二是学习的时间一定，记录一定时间内各被试所完成的工作量。 由于反应的指标不同，在计算学习速度时也不一样，这是应用调和平均数要特别注意的地方。 （例题见书p.82和p.84）