第3章 微分中值定理与导数的应用 一、内容提要 （一）主要定义 第3章 微分中值定理与导数的应用 一、内容提要 （一）主要定义 1.对于函数 f ( x )和点 x0 , 若存在 x0 的某去心邻域,使对于此去心邻域的任意 x , 都有 f ( x ) < f ( x0 ) 则称 f (x0)为 f ( x )的一个极大值, x0 为极大值点. 类似地, 可以定义极小值. 2.设 f (x)在[a, b]上连续, 若对于(a, b)内任意x1, x2有 则称f (x)在[a, b]上的图形是凹的; 不等式相反时称凸的. 3.连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点. 4.使导数为零的点(即方程 f (x) = 0的实根)叫做函数 f (x)的驻点.

（二）主要结论 1.微分中值定理 (1) 罗尔(Rolle)定理 f (x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可微, f (a) = f (b), 则至少存在一点 (a, b), 使 f ()=0. (2) 拉格朗日(Lagrange)定理 设 f (x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可微, 则至少存在一点 (a, b), 使 f (b) - f (a) = f ()(b - a). (3) 柯西(Cauchy)定理 设 f (x)与F(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可微, 且 F (x)  0, 则至少存在一点 (a, b), 使

(4)泰勒(Taylor)定理 设 f (x)在 x0 的某邻域U(x0,  )内具有直到 n +1阶的导数, 则 xU(x0,  ), 有 称为Lagrange 型余项. 此公式称 f (x)的 n 阶泰勒公式. 当 x0 = 0时, 此公式称为麦克劳林(Maclaurin)公式, 余项形式还有柯西型余项 和佩亚诺(Peano)余项 Rn(x) = o(| x – x0|n).

2.洛必达(LHospital)法则 lim f (x) = lim g(x) = 0(或), 存在或为, 则 3.设 f (x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 若 f (x)  0,则 f (x)在[a, b]上是单调增加的; 若f (x)  0 , 则 f (x)在[a, b]上是单调减少的. 4.设 f (x)在 x0 处连续, 在某去心邻域 内可 微, 当 x 在 内从x0左侧经过x0到右侧时, f (x) 由正变负, 则 f (x0)为 f (x)的一个极大值; f (x)由负变正, 则 f (x0)为 f (x)的一个极小值.(第一充分条件) 5. f (x0) = 0, f (x0)  0, 那么, 当 f (x0)  0 时, f (x0)为极大值；当 f (x0)  0 时, f (x0)为极小值.(第二充分条件)

6.设 f (x)在(a , b)内具有二阶导数, 则当f (x)  0时,曲线 y = f (x)在(a , b)内是凹的；当 f (x)  0时,曲线 y = f (x)在(a , b)内是凸的. 7.设 f (x)在(a , b)内二阶可导, x0∈(a, b), f (x0) = 0, 且在 x0 的左、右二阶导数变号, 则(x0, f (x0))为曲线y = f (x)的拐点.(拐点的第一充分条件) 8.设 f (x) 在x0 处三阶可导, f (x0) = 0, f (x0)  0, 则(x0, f (x0))为曲线y = f (x)的拐点.(拐点的第二充分条件) 9.弧微分公式

(5)空间曲线：x =  (t), y =  (t), z =  (t), 10.曲率与曲率半径 (3)设y (x)  0, 则曲线 y = f (x)在M(x, y)点的曲率中心D(,  )的坐标为

（三）结论补充 1.设 f (x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, x0是 f (x)在(a, b)内唯一驻点, 若 x0是 极大值点, 则 x0 必是 f (x)在[a, b]上的最大值；若 x0是极小值点, 则 x0 必是 f (x)在[a, b]上的最小值. 2.设 f (x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 若在(a, b)内f (x)  0, 则 a 是最小值点, b 是最大值点；若在(a, b)内 f (x)  0, 则 a 是最大值点, b 是最小值点. 3.设 f (x)在 x0 处具有 n 阶连续导数, 且 f (x0) = f (x0) = ··· = f (n-1)(x0) =0, f (n)(x0)  0, 则当 n 为奇数时, f (x0)不是极值；当 n 为偶数时, f (x0)是极值. 且当 f (n)(x0)  0 时, f (x0)是极大值；当 f (n)(x0)  0 时, f (x0)是极小值.

4.若在 x0 的某邻域内, f (x)具有 n 阶连续导数, 且 f (x0)= f (x0)= ··· = f (k-1)(x0)=0, f (k)(x0)  0, (k  n) 则当 k 为偶数时, (x0 , f (x0))不为 y = f (x)的拐点；当 k 为奇数时, (x0 , f (x0))为 y = f (x)的拐点(k  0). 5.若 均存在, 则 y = ax + b 是 y = f (x)的斜渐近线. 则 x = c 是 y = f (x)的铅直渐近线. 则 y = c 是 y = f (x)的水平渐近线.

6.对于 型未定式, 可视分子或分母无穷小的阶数, 对分子或分母进行佩亚诺替换, 替换公式为

7.设lim u(x) = 1, lim v(x) = , 则有 lim u(x)v(x) = explim[u(x) –1]v(x). 8.设lim (x) = 0, lim(x) = 0 ,(x)  0, 则有 9.设lim (x) = 0, lim(x) = 0,

二、归类解析 （一）证明题 1.证明不等式 例3-1 试证 x  -1时, ex  1+ln(1+x). 二、归类解析 （一）证明题 1.证明不等式 例3-1 试证 x  -1时, ex  1+ln(1+x). 例3-2 证明当 0  x  2时, 4xlnx – x2 – 2x + 4  0. 例3-3 当 a 为正常数, 且0  x  +时, 证明 ( x2 – 2ax + 1)e-x  1. 例3-4 证明当 x  0时, 例3-5 试比较 e 与 e 的大小. 例3-6 若 f (x)二阶可导, 且 f (a) = f (b) = 0 (a  b), 试证明在(a, b)内至少有一点  , 使

2.证明等式 例3-7 f (x)与 g(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可微, 且 f (a) = f (b), 证明存在  (a, b), 使 f () + f () g() = 0. 例3-8 f (x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可微 (0  a  b), 证明存在  (a, b), 使 例3-9 设 f (x)与 g(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可微, 对于 x (a, b), g(x)  0 , 试证在 (a, b)内必有 , 使 例3-10 设 f (x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可微, 试证存在  , (a, b), 使

（二）洛必达法则 例3-11 求 例3-12 求 例3-13 求 例3-14 设 a  0, b  0, a  1, b  1, 求 例3-15 求

（三）函数性态 例3-16 设 f (x)在 [a, +) 中二阶可导, 且 f (a)  0, f (a)  0, 又当 x  a 时, f (x)  0 , 证明方程 f (x) = 0在(a, +)内必有且仅有一个实根. 例3-17 设 f (x)在 [a, +)上连续, 当 x  a 时, f (x)  k  0 , 其中 k 为常数, 又 f (a)  0 , 证明：方程 f (x) =0在 内有唯一实根. 例3-18 试证方程 x2 = xsinx + cosx 恰有两个实根. 例3-19 设 (x)在x = 0处二阶连续可导, 且 (0) = 0,  (0)  0, 证明曲线 y = f (x) = (1 – cosx)(x)在 x = 0处必出现拐点.

例3-20 求 y = x3 – 6x2 + 9x – 4的极值. 例3-21 若在 a 的邻域内 f (x)存在且连续, 证明 例3-22 设在[a, b]上 f (x)  0, 证明 在[a, b]上单调增加. 例3-23 作函数

（四）导数应用 例3-24 求单位球的内接正圆锥体, 其体积为最大时的高与体积. 例3-25 在曲线 y = 1 – x2 (x  0)上求一点P 的坐标,使曲线在该点处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积最小. 例3-26 银幕高为 a m, 银幕底边高出观众 b m, 问观众离银幕多远, 才能使观众看图象最清楚, 即视角最大？ 例3-27 求数列

例3-28 曲线 y = 4 – x2 与直线 y = 2x + 1相交于A, B 两点, 又C 是曲线弧AB上任一点, 求ABC 面积的最大值. 例3-29 在曲线 y = x2 – x 上求一点P, 使P 点到定点A(0, 1)的距离最近. 例3-30 由直线 y = 0, x = 8及抛物线 y = x2 围成一个曲边三角形, 在曲边 y = x2 上求一点, 使曲线在该点的切线与直线 y = 0及 x = 8所围成的三角形面积最大.

三、同步测试 测试3-1 (一)、填空题（3分4=12分） 三、同步测试 测试3-1 (一)、填空题（3分4=12分） 1.取 f (x) = x3 , F(x) = x2 , 在区间[1, 2]上适合柯西中值定理的  = 2.曲线 的拐点是 3.函数 y = ln(1 + x2)的单调减少区间是 答案：(- , 2] 4.曲线 y = (x – 1)2 在 x = 1处的曲率半径 R =

(二)、选择题（4分3=12分） 答案：(D) 1.函数 f (x)在(-, +)上二阶可导, f (x)为奇函数, 在(0, +)上 f (x)  0 , f (x)  0, 则 f (x)在(-, 0)上有[ ]. (A) f (x)  0, f (x)  0; (B) f (x)  0, f (x)  0; (C) f (x)  0, f (x)  0; (D) f (x)  0, f (x)  0; 2.设两函数 f (x)与g(x)在点x = x0处都取得极小值, 则 f (x)g(x)在点x = x0处[ ]. 答案：(A) 不一定取极值; (B)必取极小值; (A)不能取极大值; (D)不能取极值; 3.设 f (x)二阶可导, 且 f (x)  0 , f (0)  0, 则在(0, +)上 必[ ]. 答案：(B) (A)单调减少; (B)单调增加; (C)先单调增加, 后单调减少; (D)先单调减少, 后单调增加.

(三)、计算题（6分5=30分） 1.求 2.求 3.求 4.求 5.求

(四)、综合题（8分4=32分） 1.在椭圆 内嵌入面积最大且边平行于坐标 轴的矩形. 2.已知矩形的周长为 24, 将它绕一边旋转而构成一立体, 问矩形的长、宽各为多少时, 所得立体的面积最大. 答案: 长：8；宽：4 3.已知点(1, 3)为曲线 y = x3 +ax2 +bx +14的拐点, 试求 a , b 的值. 答案: a= -3 b= -9 4.讨论 y = xe-x 的增减性, 凹凸性, 极值, 拐点, 渐近线, 并绘出图形.

(五)、证明题（7分2=14分） 1.试证当 x  0时, ex – 1  (1 + x)ln(1 + x). 2.设 f (x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可微(0  a  b), 试证存在  (a, b), 使 2 [ f (b) – f (a)] = (b2 – a2) f ()

测试3-2 (一)、填空题（3分4=12分） 1.设 y = x – ln(1 + x2)的单调增加区间是 答案： (-, +) 2.设 在点 处的曲率 k = 3.设 的凸区间为 4.函数 y = x · 3x 的极小值点是 x =

(二)、选择题（4分3=12分） 1.设函数 y = f (x)对一切 x 满足 x f (x)+3x[ f (x)]2 =1 – e-x , 若 f (x0) = 0, x0  0, 则[ ] . 答案：(A) (A) x0 是 f (x) 的极小值点; (B) x0 是 f (x) 的极大值点； (C) x0 不是 f (x) 的极值点; (D) (x0 , f (x0))是曲线 y = f (x)的拐点. 答案：(C) 2.函数 y = f (x)在函数 x = x0 处取得极值, 则[ ]. (A) f (x0)  0; (B) f (x0)  0； (C) f (x0) =0或 f (x0)不存在; (D) f (x0)不存在. 3.若 3a2 – 5b  0, 则方程 x5 +2ax3 +2bx + 4c =0必[ ]. 答案：(B) (A)无实根; (B)有唯一实根； (C)有两个不同实根; (D)有三个不同实根.

(三)、计算题（6分5=30分） 1.求 2.求 3.求 4.求 5.求

(四)、综合题（8分4=32分） 1.设 f (x) = x3 + ax2 + bx 在 x = 1处取得极小值-2, 求a , b的值. 答案: a= 0, b= -3 2.设函数 f (x) = x3 + ax, 当| x |  2时, | f (x) |  4, 求a的取值范围. 3.讨论方程 1 – x – tanx = 0在(0, 1)内的实根情况. 答案:只有一个实根 4.求 答案: a

(五)、证明题（7分2=14分） 1.设 , 且 f (x)  0, 试证 f (x)  x . 2.设 f (x) 在 [a, b]上二阶连续可导，A(a, f (a))，B (b, f (b))连线与曲线 y = f (x)交于C(c, f (c)) (a  c  b), 试证存在一点   (a, b)，使 f ( ) = 0 .

例3-1 试证 x  -1时, ex  1 + ln(1+x). 证 令 f (x) = ex – 1 – ln(1+x), 则 有 f (0) = 0, f (0) = 2  0， 故 f (0)为 f (x)的极小值, 也是 f (x)于(-1, +)内最小值,因此 f (x)  f (0) ， 即 ex  1 + ln(1+x).

例3-2 证明当 0  x  2时, 4xlnx – x2 – 2x + 4  0. 证 令 f (x) = 4xlnx – x2 – 2x + 4 , 则 f (x) = 4lnx – 2x + 2 , 令 f (x) = 0, 得驻点 x = 1, 这是唯一驻点. 而 故 x = 1是 f (x)的极小值点. 又当0  x  2时, f (x)  0, 故曲线 y = f (x)在(0, 2)内是凹的, 故 x = 1既是极小值点, 又是最小值点, 从而在 0  x  2中, 有 f (x)  f (1) = 1  0， 从而 4xlnx – x2 – 2x + 4  0.

例3-3 当 a 为正常数, 且0  x  +时, 证明 (x2 – 2ax + 1)e-x  1. 证 令 f (x) = ex – ( x2 – 2ax + 1), 则 f (x) = ex – 2x + 2a, f (x) = ex – 2, f (x) = ex  0. 令 f (x) = 0, 得 x = ln2, f (x)在 x = ln2 处取得最小值, 即 f (x)  f (ln2) = 2 – 2ln2 +2a  0, 从而 f (x)在 [0, +)上单调增加, 即当 0  x  +时 f (x)  f (0) = 0, 就是 ex – ( x2 – 2ax + 1)  0， 亦即 (x2 – 2ax + 1)e-x  1.

例3-4 证明当 x  0时, 证 令 故 f (x)单调减少. 又 所以 即 本题也可以用拉格朗日中值定理证明：令 g(x) = lnx, 区间是[ x, x + 1]

例3-5 试比较 e 与 e 的大小. 解 由于 e = eeln , 问题转化为比较同底数得幂指数 e与 eeln的大小, 只要比较 与 eln即可, 令 f (x) = x – elnx, 当 x  e 时, f (x)  0, f (x)单调增加, 而 f (e) = 0, 从而 f (x)  f (e) = 0, 又   e, 故 f ()  0, 有  – eln  0, 即有 e  eeln 从而 e  e .

例3-6 若 f (x)二阶可导, 且 f (a) = f (b) = 0 (a  b), 证 此题用Taylor公式来证. 分别在 a, b两点将 f (x)展开成Taylor公式, 然后将 c 代入, 则有 上两式相减并取 | f ( )| = max{| f (1)|, | f (2)|},有

例3-7 f (x)与 g(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可微, 且 f (a) = f (b), 证明存在  (a, b), 使 f () + f () g() = 0. 证 作辅助函数 F(x) = f (x)eg(x) F (x) =eg(x)[ f (x) + f (x) g(x)] 又 F(a) = f (a)eg(a) = 0, F(b) = f (b)eg(b) =0 由罗尔定理, 有  (a, b), 使 F () = 0， 就是 eg( )[ f () + f () g()] = 0 ， 分析 要证 f () + f () g() = 0, 若能证出 而 eg( )  0, 故 eg( )[ f () + f () g()] = 0, f () + f () g() = 0 . 即可, 然而等式的左端正是 F(x) = f (x)eg(x) 在 x =  处的导数.

例3-8 f (x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可微 (0  a  b), 证明存在  (a, b), 使 证法一 对 f (x)与 g(x) = lnx 在[a, b]上用柯西中值定理(条件显然满足), 得 整理即得所证结果， 证法二 令 容易验证(x)在 [a, b]上满足罗尔定理的条件, 故存在  (a, b), 使  ( ) = 0, 即

例3-9 设 f (x)与 g(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可微, 对于 x (a, b), g(x)  0 , 试证在 (a, b)内必有 , 使 证 令 容易验证(x)在 [a, b]上满足罗尔定理的条件, 故存在  (a, b), 使  ( ) = 0, 即 则

例3-10 设 f (x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可微, 试证存在  , (a, b), 使 证 对 f (x)与 x2在[a, b]上使用柯西中值定理,存在 (a, b), 使 再对 f (x)在[a, b]上使用拉格朗日中值定理,   (a, b), 使 上两式相除即得  , (a, b).

例3-11 求 型未定式, 若直接使用洛必达法则计算 解 这是 会相当麻烦, 且很容易出现错误, 而如果先作等价无穷小替换, 则会简捷得多. 因为 sin42x ~ (2x)4, 故 原式 =

例3-12 求 解 这是  –  型未定式, 若使用洛必达法则需化为 为此要先通分. 原式 =

例3-13 求 解法一 这是 1 型未定式, 需要取对数. (洛必达法则) 原式 = e0 = 1.

例3-13 求 解法二 注意到 原式 = = e0 = 1. 解法三 利用结论补充公式之7, 有 原式 = = e0 = 1.

例3-14 设 a  0, b  0, a  1, b  1, 求 解法一 原式= 解法二 原式 =

例3-15 求 解 原式=

例3-16 设 f (x)在 [a, +) 中二阶可导, 且 f (a)  0, f (a)  0, 又当 x  a 时, f (x)  0 , 证明方程 f (x) = 0在(a, +)内必有且仅有一个实根. 证 唯一性： 由 f (x)  0知 f (x)在[a, +) 中单调减少,即当x  a 时, f (x)  f (a)  0 , 得 f (x)在(a, +) 中单调减少. 则方程 f (x) = 0在[a, +)最多只有一个根. 存在性：由拉格朗日中值定理 即 又 f (a)  0， 由介值定理可知 f (x) = 0在 内必有实根. 故 f (x) = 0在(a, +)内仅有一个实根.

例3-17 设 f (x)在 [a, +)上连续, 当 x  a 时, f (x)  k  0 , 其中 k 为常数, 又 f (a)  0 , 证明：方程 f (x) =0在 内有唯一实根. 证 唯一性： 由题设在 内, f (x)  k  0, 可知在该区 间内 f (x)单调增加, 因此 f (x)至多有一个实根. 存在性：由拉格朗日中值定理,   再由题设, 当  a时, f ( )  k  0, 于是有 又 f (a)  0, 由零点定理, f (x)在 内至少有 一个零点, 从而命题得证.

例3-18 试证方程 x2 = xsinx + cosx 恰有两个. 证 令 f (x) = x2 – xsinx – cosx , 则 f (x) = 2x – xcosx = x(2 – cosx) 令 f (x) = 0, 解得 x = 0, 当 x  0时, f (x)  0；x  0时, f (x)  0, 即函数分段单调. 又 f (–) = f () = 2 + 1  0时, f (0) = –1  0 , 故必有 (, 0)和 (0, ), 使 f ( ) = 0, f () = 0, 又由 f (x)在(, 0)和 (0, +)分段单调, 故只有两个实根.

例3-19 设 (x)在x = 0处二阶连续可导, 且 (0) = 0,  (0)  0, 证明曲线 y = f (x) = (1 – cosx)(x)在 x = 0处必出现拐点. 证 f (x) = (1 – cosx) (x) + (x)sinx, f (x) = (1 – cosx) (x) +(2sinx) (x) + (x)cosx 当 x = 0时, f (0) =  (0) = 0. = 3 (0)  0. 故曲线 x = 0处必出现拐点.

例3-20 求 y = x3 – 6x2 + 9x – 4的极值. 解法一 y  = 3x2 – 12x + 9 = 3(x – 1)(x – 3), 令 y  = 0, 得驻点 x = 1 , x = 3, 当x  1时, y   0； y 极大(1) = 0; 当1 x  3时, y   0； y 极小(3) = – 4. 当 x  3时, y   0. 解法二 y  = 6x – 12 y (1) = – 6  0; y (3) = 6  0. 由第二充分性得 y 极大(1) = 0; y 极小(3) = – 4.

例3-21 若在 a 的邻域内 f (x)存在且连续, 证明 证法一 由Taylor公式, 在 a 的 h 邻域内, 有 故 f (a + 2h) – 2f (a + h) + f (a) = h2 [ f (a) + o(h2)] 从而 证法二 用洛必达法则, 有

例3-22 设在[a, b]上 f (x)  0, 证明 在[a, b]上单调增加. 证 由于 f (x)  0, 故 f (x)在[a, b]上单调增加, 因此 f (x)  f ( ), 故 (x)  0,  (x)在[a, b]上单调增加.

例3-23 作函数 解 定义域(, 1)(1, +), x = 1为间断点 驻点 x1 = 0, x2 = 3 使 y  = 0, 得x = 0. 因为 得 x = 1为铅直渐近线. 该曲线无水平渐近线. 因为 所以 y = x 2是斜渐近线. 函数性态表如下

函数性态表 间断点 极大 拐点

例3-24 求单位球的内接正圆锥体, 其体积为最大时的高与体积. 解 设球心到锥底面垂线长 x, 则圆锥体高为 1 + x (0  x  1), 锥底半径为 圆锥体体积为 得唯一驻点 则 此时高为

例3-25 在曲线 y = 1 – x2 (x  0)上求一点P 的坐标,使曲线在该点处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积最小. Y = 1 – 2xX + x2, 它在两坐标轴上截距分别为 故三角形的面积为 令 S (x) = 0, 得 故所求点的坐标为

例3-26 银幕高为 a m, 银幕底边高出观众 b m, 问观众离银幕多远, 才能使观众看图象最清楚, 即视角最大？ 解 如图, 观众眼睛为A点, C为银幕底边, AB为 x m, 求 tan 最大即可. 令 y  = 0 , 得唯一驻点 则当观众离银幕 m时图象最清楚.

例3-27 求数列 证 令 令 f (x) = 0, 得唯一驻点 f (x)取得最大值, 而 故 n = 7时, 数列值最大.

例3-28 在曲线 y = 4 – x2 与直线 y = 2x + 1相交于A, B 两点, 又C 是曲线弧AB上任一点, 求ABC 面积的最大值. 解 如图, 设C (x, 4 – x2), ABC的面积为 = 2(– x2 – 2x + 3 ), S (x) = – 4x – 4 令S (x) = 0, 得 x = – 1, S (– 1) = – 4  0, 故S(– 1) = 8为最大值.

例3-29 在曲线 y = x2 – x 上求一点P, 使P 点到定点A(0, 1)的距离最近. 解 设P(x, x2 – x), 则 d2 = x2 + (x2 – x – 1)2, 令 f (x) = x2 + (x2 – x – 1)2, f (x) = 2(x – 1)2(2x + 1), 驻点为 进一步判断在 的左右两侧一阶导数变号, 故 为所求点. 最近距离为

例3-30 由直线 y = 0, x = 8及抛物线 y = x2 围成一个曲边三角形, 在曲边 y = x2 上求一点, 使曲线在该点的切线与直线 y = 0及 x = 8所围成的三角形面积最大. 解 如图, 设所求切点为P(x0, x02), 切线PT交 x 轴于A,交直线 x = 8于B, 切线PT的方程为 y – x02 = 2x0 (x – x0) 则 于是三角形ABC的面积为则