新编地图学教程 电子教案 第 2 章 地图的数学基础

第 2 章 地图的数学基础 §1 地球体 §2 地球坐标系与大地定位 §3 地图投影 §4 地图投影的应用 第 2 章 地图的数学基础 §1 地球体   §2 地球坐标系与大地定位   §3 地图投影  §4 地图投影的应用  新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

§1 地球体 1.1 地球的自然表面 —— 为了了解地球的形状，让我们由远及近地观察一下地球的自然表面。 §1 地球体 1.1 地球的自然表面 —— 为了了解地球的形状，让我们由远及近地观察一下地球的自然表面。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

浩瀚宇宙之中 : 地球是一个表面光滑、蓝色美丽的正球体。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

机舱窗口俯视大地 : 地表是一个有些微起伏、极其复杂的表面。 —— 珠穆朗玛峰与太平洋的马里亚纳海沟之间高差近20km。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

事实是： 地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于梨形的椭球体。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

1.2 地球的物理表面 当海洋静止时，自由水面与该面上各点的重力方向（铅垂线）成正交，这个面叫水准面。 1.2 地球的物理表面 当海洋静止时，自由水面与该面上各点的重力方向（铅垂线）成正交，这个面叫水准面。 在众多的水准面中，有一个与静止的平均海水面相重合，并假想其穿过大陆、岛屿形成一个闭合曲面，这就是大地水准面。它实际是一个起伏不平的重力等位面——地球物理表面。它所包围的形体称为大地体。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

大地水准面的意义 1. 地球形体的一级逼近： 2. 起伏波动在制图学中可忽略： 3. 重力等位面： 对地球形状的很好近似，其面上高出与面下缺少的相当。 2. 起伏波动在制图学中可忽略： 对大地测量和地球物理学有研究价值，但在制图业务中，均把地球当作正球体。 3. 重力等位面： 可使用仪器测得海拔高程（某点到大地水准面的高度）。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

1.2 地球的数学表面 在测量和制图中就用旋转椭球体来代替大地球体，这个旋转椭球体通常称为 地球椭球体，简称 椭球体。 1.2 地球的数学表面 在测量和制图中就用旋转椭球体来代替大地球体，这个旋转椭球体通常称为 地球椭球体，简称 椭球体。 它是一个规则的数学表面，所以人们视其为 地球体的数学表面，也是对地球形体的二级逼近，用于测量计算的基准面。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

f = —— = ———————— — = 298.257 f 椭球体 三要素: 长轴 a（赤道半径）、短轴 b（极半径）和椭球的扁率 f WGS [world geodetic system] 84 ellipsoid: a = 6 378 137m b = 6 356 752.3m equatorial diameter = 12 756.3km polar diameter = 12 713.5km equatorial circumference = 40 075.1km surface area = 510 064 500km2 Equatorial Axis Polar Axis North Pole South Pole Equator a b a - b 6378137 - 6356752.3 f = —— = ———————— a 6378137 大地水准面 是由静止海水面并向大陆延伸所形成的不规则的封闭曲面。它是重力等位面，即物体沿该面运动时，重力不做功（如水在这个面上是不会流动的）。大地水准面是描述地球形状的一个重要物理参考面，也是海拔高程系统的起算面。大地水准面的确定是通过确定它与参考椭球面的间距——大地水准面差距（对于似大地水准面而言，则称为高程异常）来实现的。大地水准面和海拔高程等参数和概念在客观世界中无处不在，在国民经济建设中起着重要的作用。 　　大地水准面是大地测量基准之一，确定大地水准面是国家基础测绘中的一项重要工程。它将几何大地测量与物理大地测量科学地结合起来，使人们在确定空间几何位置的同时，还能获得海拔高度和地球引力场关系等重要信息。大地水准面的形状反映了地球内部物质结构、密度和分布等信息，对海洋学、地震学、地球物理学、地质勘探、石油勘探等相关地球科学领域研究和应用具有重要作用。 1 — = 298.257 f 对 a，b，f 的具体测定就是近代大地测量的一项重要工作。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

对地球形状 a，b，f 测定后，还必须确定大地水准面与椭球体面的相对关系。即确定与局部地区大地水准面符合最好的一个地球椭球体 —— 参考椭球体，这项工作就是参考椭球体定位。 通过数学方法将地球 椭球体摆到与大地水准面 最贴近的位置上，并求出 两者各点间的偏差，从数 学上给出对地球形状的三 级逼近。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

由于国际上在推求年代、方法及测定的地区不同，故地球椭球体的元素值有很多种。 我国最初于1954年将前苏联1942年坐标系统经过联测、平差引伸到我国，建立了1954 年北京坐标系，该坐标系的原点在前苏联西部的普尔科夫，采用克拉索夫斯基椭球元素，该椭球面与我国大地水准面不能很好地符合，产生误差较大。在积累了30年测绘资料的基础上，我国采用了国际大地测量协会推荐的1975年国际椭球，通过全国天文大地网整体平差建立了我国的大地坐标系，其参考椭球的基本元素：长半轴长a=6378140m，短半轴长 b=6356755m，扁率c=(a-b)/a=1：298.257，椭球短轴平行于由地球质心指向1968.0地极原点方向，首子午面平行于格林尼治天文台的子午面，国家大地原点设在陕西省泾阳县，定位所决定的椭球面与我国大地水准面符合较好。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

中国1952年前采用海福特（Hayford）椭球体 ； 1953—1980年采用克拉索夫斯基椭球体（坐标原点是前苏联玻尔可夫天文台） ； 自1980年开始采用 GRS 1975（国际大地测量与地球物理学联合会 IUGG 1975 推荐）新参考椭球体系，并确定陕西泾阳县永乐镇北洪流村为“1980西安坐标系”大地坐标的起算点。 陕西省泾阳县永乐镇北洪流村为 “1980西安坐标系” 大地坐标的起算点——大地原点。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

§2 地球坐标系与大地定位 —— 用经纬度表示地面点位的球面坐标。 2.1 地理坐标 ① 天文经纬度 ② 大地经纬度 ③ 地心经纬度 §2 地球坐标系与大地定位 地球表面上的定位问题，是与人类的生产活动、科学研究及军事国防等密切相关的重大问题。具体而言，就是球面坐标系统的建立。 2.1 地理坐标 —— 用经纬度表示地面点位的球面坐标。 ① 天文经纬度 ② 大地经纬度 ③ 地心经纬度 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

① 天文经纬度：表示地面点在大地水准面上的位置，用天文经度和天文纬度表示。 2.1 地理坐标 ① 天文经纬度：表示地面点在大地水准面上的位置，用天文经度和天文纬度表示。 天文经度：观测点天顶子午面与格林尼治天顶子午面间的两面角。 在地球上定义为本初子午面与观测点之间的两面角。 天文纬度： 在地球上定义为铅垂线与赤道平面间的夹角。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

② 大地经纬度：表示地面点在参考椭球面上的位置，用大地经度l 、大地纬度  和大地高 h 表示。 2.1 地理坐标 ② 大地经纬度：表示地面点在参考椭球面上的位置，用大地经度l 、大地纬度  和大地高 h 表示。 大地经度l ：指参考椭球面上某点的大地子午面与本初子午面间的两面角。东经为正，西经为负。 大地纬度 ：指参考椭球面上某点的垂直线（法线）与赤道平面的夹角。北纬为正，南纬为负。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

③ 地心经纬度：即以地球椭球体质量中心为基点，地心经度同大地经度l ，地心纬度是指参考椭球面上某点和椭球中心连线与赤道面之间的夹角y 。 2.1 地理坐标 ③ 地心经纬度：即以地球椭球体质量中心为基点，地心经度同大地经度l ，地心纬度是指参考椭球面上某点和椭球中心连线与赤道面之间的夹角y 。 在大地测量学中，常以天文经纬度定义地理坐标。 在地图学中，以大地经纬度定义地理坐标。 在地理学研究及地图学的小比例尺制图中，通常将椭球体当成正球体看，采用地心经纬度。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

2.2 中国的大地坐标系统 1.中国的大地坐标系 1980年以前：参见电子教案本章第十三页； 2.2 中国的大地坐标系统 1.中国的大地坐标系 1980年以前：参见电子教案本章第十三页； 1980年选用1975年国际大地测量协会推荐的参考 椭球： ICA-75椭球参数 a = 6 378 140m b = 6 356 755m f = 1/298.257 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

2.中国的大地控制网 2.2 中国的大地坐标系统 由平面控制网和高程控制网组成，控制点遍布全国各地。 2.2 中国的大地坐标系统 2.中国的大地控制网 由平面控制网和高程控制网组成，控制点遍布全国各地。 平面控制网 : 按统一规范，由精确测定地理坐标的地面点组成，由三角测量或导线测量完成，依精度不同，分为四等。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

高程控制网 : 按统一规范，由精确测定高程的地面点组成，以水准测量或三角高程测量完成。依精度不同，分为四等。 2.2 中国的大地坐标系统 高程控制网 : 按统一规范，由精确测定高程的地面点组成，以水准测量或三角高程测量完成。依精度不同，分为四等。 中国高程起算面是 黄海平均海水面。 1956年在青岛观象山设立了水准原点，其他各控制点的绝对高程均是据此推 算，称为1956年黄海高程系。 1987年国家测绘局公布： 启用《1985国家高程基准》 取代《黄海平均海水面》 其比《黄海平均海水面》 上升 29毫米。 青岛观象山水准原点 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

绝对高程 相对高程 国家水准原点 国家测绘局 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

平面控制网 国家测绘局 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

高程控制网 国家测绘局 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

水准面示意图 国家测绘局 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

GPS控制网 国家测绘局 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

2.3 全球定位系统 - GPS 授时与测距导航系统/全球定位系统 (Navigation Satellite Timing and Ranging/Global Positioning System--GPS)：是以人造卫星为基础的无线电导航系统，可提供高精度、全天候、实时动态定位、定时及导航服务。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

1. GPS系统由三个独立的部分组成 空间部分：21颗工作卫星，3颗备用卫星（白色）。它们在高度20 200km的近圆形轨道上运行，分布在六个轨道面上，轨道倾角55°，两个轨道面之间在经度上相隔60°，每个轨道面上布放四颗卫星。卫星在空间的这种配置，保障了在地球上任意地点，任意时刻，至少同时可见到四颗卫星。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

地面支撑系统：1个主控站，3个注入站，5个监测站。它向GPS导航卫星提供一系列描述卫星运动及其轨道的参数；监控卫星沿着预定轨道运行；保持各颗卫星处于GPS时间系统及监控卫星上各种设备是否正常工作等。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

用户设备部分：GPS接收机——接收卫星信号，经数据处理得到接收机所在点位的导航和定位信息。通常会显示出用户的位置、速度和时间。还可显示一些附加数据，如到航路点的距离和航向或提供图示。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

2. GPS系统定位原理 通过测量卫星信号到达接收机的时间延迟，即可算出用户到卫星的距离。再根据三维坐标中的距离公式，利用3颗卫星的 数据，组成3个方程式，就可以解出观测点的位置（X,Y,Z）。考虑到卫星的时钟与接收机时钟之间的误差，实际上有4个未知数，X、Y、Z和钟差，因而需要引入第4颗卫星，形成4个方程式以求解，从而得到观测点经纬度和高程。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

3.常用GPS测量模式 静态测量模式 常规静态测量：采用两台(或两台以上)GPS接收机，分别安置在一条或数条基线的两端，同步观测4颗以上卫星，每时段根据基线长度和测量等级观测45分钟以上的时间。常用于建立全球性或国家级大地控制网、地壳运动监测网 。 　　 快速静态测量：这种模式是在一个已知测站上安置一台GPS接收机作为基准站，连续跟踪所有可见卫星。移动站接收机依次到各待测测站，每测站观测数分钟。这种模式常用于控制网的建立及其加密、工程测量、地籍测量等。 这种方法要求在观测时段内确保有5颗以上卫星可供观测；流动点与基准点相距应不超过20km。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

动态测量模式 准动态测量 在一已知测站上安置一台GPS接收机作为基准站，连续跟踪所有可见卫星。移动站接收机在进行初始化后依次到各待测测站，每测站观测几个历元数据。这种方法不同于快速静态，除观测时间不一样外，它要求移动站在搬站过程中不能失锁，并且需要先在已知点或用其它方式进行初始化（采用有OTF功能的软件处理时例外）。 　　这种模式可用于开阔地区的加密控制测量、工程定位及碎部测量、剖面测量及线路测量等。 要求在观测时段内确保有5颗以上卫星可供观测；流动点与基准点相距应不超过20km。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

实时动态测量：DGPS和RTK 在一个已知测站上架设GPS基准站接收机和数据链，连续跟踪所有可见卫星，并通过数据链向移动站发送数据。移动站接收机通过移动站数据链接收基准站发射来的数据，并在机进行处理，从而实时得到移动站的高精度位置。 DGPS通常叫做实时差分测量，精度为亚米级到米级，这种 方式是基准站将基准站上测量得到的RTCM数据通过数据链传输到移动站，移动站接收到RTCM数据后，自动进行解算，得到经差分改正以后的坐标。 RTK 则是以载波相位观测量为根据的实时差分GPS测量，它是GPS测量技术发展中的一个新突破。它的工作思路与DGPS相似，只不过是基准站将观测数据发送到移动站（而不是发射RTCM数据），移动站接收机再采用更先进的在机处理方法进行处理，从而得到精度比DGPS高得多的实时测量结果。这种方法的精度一般为2cm左右。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

§3 地 图 投 影 3.1 地图投影的意义 地图投影： 在地球椭球面和平面之间建立点与点之间函数关系的数学方法，称为地图投影。 地球椭球体表面是不可展曲面，要将曲面上的客观事物表示在有限的平面图纸上，必须经过由曲面到平面的转换。 地图投影： 在地球椭球面和平面之间建立点与点之间函数关系的数学方法，称为地图投影。 地图投影的实质： 是将地球椭球面上的经纬线网按照一定的数学法则转移到平面上。 x = f1(j , l ) y = f2(j , l ) 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

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3.2 地图的比例尺 1. 地图比例尺的含义 地图比例尺：地图上一直线段长度与地面相应直线水平投影长度之比。 1. 地图比例尺的含义 地图比例尺：地图上一直线段长度与地面相应直线水平投影长度之比。 可表达为（d为图上距离，D为实地距离）   根据地图投影变形情况，地图比例尺分为： 主比例尺 ： 在投影面上没有变形的点或线上的比例尺。 局部比例尺： 在投影面上有变形处的比例尺。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

2. 地图比例尺的表示 ① 数字式比例尺 如 1:10 000 ② 文字式比例尺 如 百万分之一 ③ 图解式比例尺 ④ 特殊比例尺 ① 数字式比例尺 如 1:10 000 ② 文字式比例尺 如 百万分之一 ③ 图解式比例尺 直线比例尺 斜分比例尺 复式比例尺 ④ 特殊比例尺 变比例尺 无级别比例尺 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

3.3 地图投影变形 1. 投影变形的概念 现变形表现在长度、面积和角度三个方面。 把地图上和地球仪上的经纬线网进行比较，可以发 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

2.变形椭圆 取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的影响，把它当作平面看待），它投影到平面上通常会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图投影的变形状况。这种图解方法就叫变形椭圆。 为经线长度比； 为纬线长度比 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

微小圆→变形椭圆 代入： X2 + Y2 = 1，得 该方程证明: 地球面上的微小圆，投影后通常会变为椭圆，即： 以O'为原点，以相交成q角的两共轭直径为坐标轴的椭圆方程式。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

特别方向： 变形椭圆上相互垂直的两个方向及经向和纬向 长轴方向（极大值）a 短轴方向（极小值）b 经线方向 m ；纬线方向 n 据阿波隆尼定理，有 m2 + n2 = a2 + b2 m·n·sinq = a·b 统称 主方向 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

3.投影变形的性质和大小 = 0 不变 > 0 变大 < 0 变小 长度比和长度变形： 投影面上一微小线段（变 形椭圆半径）和球面上相应微小线段（球面上微小 圆半径，已按规定的比例缩小）之比。 m表示长度比，Vm表示长度变形 长度比是变量，随位置和方向的变化而变化。 = 0 不变 > 0 变大 < 0 变小 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

面积比和面积变形： 投影平面上微小面积（变形椭圆面积）dF′与球面上相应的微小面积（微小圆面积）dF之比。 P 表示面积比　　Vp 表示面积变形 P = a·b = m · n (q = 90) P = m · n · sinq (q ≠ 90) 面积比是变量，随位置的不同而变 化。 = 0 不变 > 0 变大 < 0 变小 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

角度变形： 投影面上任意两方向线所夹之角与球面上相应的两方向线夹角之差，称为角度变形。以ω表示角度最大变形。 设A点的坐标为（x、y），A ′点的坐标为(x ′ 、y ′ )，则 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

将上式两边各减和加 tana 即： 将两式相除，得： 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

显然当（a +a ′ ）= 90°时，右端取最大值，则最大方向变形： 以w表示角度最大变形： 若已知 m, n, q ，则： 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

3.4 地图投影方法 1. 几何投影法 地图投影最初建立在透视的几何原理上，它是把椭球面直接透视到平面上，或透视到可展开的曲面上，如平面、圆柱面和圆锥面。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

2. 数学解析法 —— 以正轴圆锥投影为例 经线 投影为放射直线， 经差l 与投影面上d成 2. 数学解析法 —— 以正轴圆锥投影为例 经线 投影为放射直线， 经差l 与投影面上d成 正比：d = c·l （c为圆锥系数，0 < c < 1）。 纬线 投影为同心圆弧，其半径 r 是纬度  的函数， r = f（）。 圆锥投影的一般公式为： X = r s - r cosδ r = f() Y = r sin d d = c·l 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

等角投影条件：ω=0，m=n，构成 经移项、积分、整理得： 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

3.5 地图投影分类 1. 按地图投影的构成方法分类 （1）几何投影: 将椭球面上的经纬线网投影到几何面上，然后将几何面展为平面。 3.5 地图投影分类 1. 按地图投影的构成方法分类 （1）几何投影: 将椭球面上的经纬线网投影到几何面上，然后将几何面展为平面。 方位投影: 以平面作投影面，使平面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。 圆柱投影: 以圆柱面作投影面，使圆柱面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱面展为平面而成。 圆锥投影: 以圆锥面作投影面，使圆锥面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面展为平面而成。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

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（2）非几何投影： 根据某些条件，用数学解析法确定球面与平面之间点与点的函数关系。 伪方位投影：在方位投影的基础上，根据某些条件改变经线形状而成，除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。 伪圆柱投影：在圆柱投影基础上，根据某些条件改变经线形状而成，无等角投影。除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。 伪圆锥投影：在圆锥投影基础上，根据某些条件改变经线形状而成，无等角投影。除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。 多圆锥投影：设想有更多的圆锥面与球面相切，投影后沿一母线剪开展平。纬线投影为同轴圆弧，其圆心都在中央经线的延长线上。中央经线为直线，其余经线投影为对称于中央经线的曲线。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

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等角投影: 投影面上某点的任意两方向线夹角与椭球面上相应两线段夹角相等，即角度变形为零 ω=0（或 a=b，m=n）。 2. 按地图投影的变形性质分类 等角投影: 投影面上某点的任意两方向线夹角与椭球面上相应两线段夹角相等，即角度变形为零 ω=0（或 a=b，m=n）。 等积投影: 投影面与椭球面上相应区域的面积相等，即面积变形为零 Vp=0（或 P=1，a=1/b）。 任意投影: 投影图上，长度、面积和角度都有变形，它既不等角又不等积。其中，等距投影是在特定方向上没有长度变形的任意投影（m=1）。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

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3.6 地图投影变换 1. 传统地图的投影变换 格网转绘法 蓝图嵌贴法 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

2. 数字地图的投影变换 投影变换的一般公式 X = f1(x,y) 定域内单值、连续 Y = f2(x,y) A投影 B投影 x = f1(, l ) X = Φ1(, l ) y = f2(, l ) Y = Φ2(, l ) 反解  = (x,y) l =l(x,y) X = 1[(x,y), l(x,y) ] Y = 2[(x,y), l(x,y) ] 代入 B 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

系数 aij， bij 可用多个已知坐标点求出。 如不知地图的投影系统，可通过多项式实施变换： X = a00 + a10x + a20x2 + a01y + a11xy + a02y2 + a30x3 + a21x2y + a12xy2 + a03y3 + … Y = b00 + b10x + b20x2 + b01y + b11xy + b02y2 + b30x3 + b21x2y + b12xy2 + b03y3 + … 系数 aij， bij 可用多个已知坐标点求出。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

根据投影方程进行变换的实例 等角圆柱投影 → 等角圆锥投影 r = K / U2 X = r s - r cosδ 等角圆柱投影 → 等角圆锥投影 r = K / U2 X = r s - r cosδ d = a l Y = r sin d x = rk lnU , y = rkl y U = e n , l= — rk x ( n = — ) K 为积分常数， a为圆锥系数 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

根据投影方程进行变换的实例 等距圆柱投影 → 等距圆锥投影 l= — r = C - s X = r s - r cos d 等距圆柱投影 → 等距圆锥投影 r = C - s X = r s - r cos d d =a l Y = r sin d C 为积分常数，s 为纬度的经线弧长 x = s , y = rkl y l= — rk y X = r s - (C - s )cos(a ·— ) rk Y = (C - s ) sin(a ·— ) 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

§4 地图投影的应用 4.1 地图投影的选择依据 1.制图区域的范围、形状和地理位置 2.制图比例尺 3.地图的内容 4.出版方式 §4 地图投影的应用 4.1 地图投影的选择依据 1.制图区域的范围、形状和地理位置 2.制图比例尺 3.地图的内容 4.出版方式 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

1.制图区域的范围、形状和地理位置 制图区域的地理位置决定 投影种类 制图区域的形状直接制约 投影选择 制图区域的范围大小影响 投影选择 4.1 地图投影的选择依据 1.制图区域的范围、形状和地理位置 制图区域的地理位置决定 投影种类 制图区域的形状直接制约 投影选择 制图区域的范围大小影响 投影选择 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

2.制图比例尺 4.1 地图投影的选择依据 不同比例尺地图对精度要求不同，投影亦不同。 4.1 地图投影的选择依据 2.制图比例尺 不同比例尺地图对精度要求不同，投影亦不同。 大比例尺地形图，对精度要求高，宜采用变形小的投影，如分带投影。 中、小比例尺地图范围大，概括程度高，定位精度低，可有等角、等积、任意投影的多种选择。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

教学或一般参考图，要求各方面变形都不大，则应选择任意投影 4.1 地图投影的选择依据 3. 地图的内容 主题和内容不同，对投影的要求也不同。 要求方向正确，应选择等角投影 要求面积对比正确，应选择等积投影 教学或一般参考图，要求各方面变形都不大，则应选择任意投影 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

4.1 地图投影的选择依据 4.出版方式 单幅图 系列图 地图集 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

4.2 地形图投影 1. 高斯-克吕格投影（等角横切椭圆柱投影） 4.2 地形图投影 1. 高斯-克吕格投影（等角横切椭圆柱投影） 以椭圆柱为投影面，使地球椭球体的某一经线与椭圆柱相切，然后按等角条件，将中央经线两侧各一定范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将其展成平面而得。   由德国数学家、天文学家高斯（C.F. Gauss，1777—1855）及大地测量学 家克吕格（J. Krüger，1857—1923）共同创建。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

此投影无角度变形，中央经线无长度变形。为保证精度，采用分带投影方法： 经差 6°或 3°分带，长度变形 < 0.14% 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

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中国国家基本比例尺地形图采用高斯-克吕格6°分带投影： 1∶1万（3°分带） 1∶2.5万、1∶5万、1∶10万、1∶25万、1∶50万。 中国国家基本比例尺地形图采用高斯-克吕格6°分带投影： 1∶1万（3°分带） 1∶2.5万、1∶5万、1∶10万、1∶25万、1∶50万。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

高斯-克吕格直角坐标 yA = 245 863.7 m yB = - 168 474.8 m yA通 = 20 745 863.7 m 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

2. 通用横轴墨卡托投影 —— UTM 投影 以横轴椭圆柱面割于地球椭球体的两条等高圈，按等角条件，将中央经线两侧各一定范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将其展成平面而得。又称 Universal Transverse Mercator—— UTM 投影。 此投影无角度变形，中央经线长度比为0.9996，距中央经线约±180km处的两条割线上无变形。亦采用分带投影方法：经差6°或3°分带。长度变形 < 0.04% 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

新编国际百万分一地图采用 双标准纬线等角圆锥投影，自赤道起按纬差4°分带，北纬84°以北和南纬80°以南采用等角方位投影。 3. 百万分一地形图投影 新编国际百万分一地图采用 双标准纬线等角圆锥投影，自赤道起按纬差4°分带，北纬84°以北和南纬80°以南采用等角方位投影。 中国《1∶100万地形图编绘规范》规定采用边纬线与中纬线长度变形绝对值相等的双标准纬线等角割圆锥投影,按纬差4°分带 长度变形最大值: ± 0.03% 面积变形最大值: ± 0.06% 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

4.3 区域图投影 1. 方位投影 正轴方位投影 正轴等角方位投影 正轴等距方位投影 横轴和斜轴方位投影 4.3 区域图投影 1. 方位投影 正轴方位投影 正轴等角方位投影 正轴等距方位投影 横轴和斜轴方位投影 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

2. 圆锥投影 以圆锥面作投影面，使圆锥面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面展为平面而成。 4.3 区域图投影 4.3 区域图投影 2. 圆锥投影 以圆锥面作投影面，使圆锥面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面展为平面而成。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

① 正轴圆锥投影 4.3 区域图投影 经线: 投影为放射直线，经差 l 与投影面上 d 成正比：d = Cl （C为常数）。 4.3 区域图投影 ① 正轴圆锥投影 经线: 投影为放射直线，经差 l 与投影面上 d 成正比：d = Cl （C为常数）。 纬线: 投影为同心圆弧，其半径 r 是纬度  的函数，r = f（） 圆锥投影的各种变形均是纬度的函数，与经度 l 无关。 适于制作中纬度沿东西方向延伸地区的地图 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

等角割圆锥投影 条件：w = 0 ; m = n ; n1 = n2 = 1 相割纬线： 1 = 25° ； 2 = 45° 4.3 区域图投影 等角割圆锥投影 条件：w = 0 ; m = n ; n1 = n2 = 1 相割纬线： 1 = 25° ； 2 = 45° 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

等积割圆锥投影 等距割圆锥投影 4.3 区域图投影 条件：P = mn = 1 ; n1 = n2 = 1 4.3 区域图投影 等积割圆锥投影 条件：P = mn = 1 ; n1 = n2 = 1 多用于要求面积对比正确的图种，如分布图、类型图、区划图如 1:800万，1:600万，1:400万《中华人民共和国地图》采用了(1 = 25° ； 2 = 47°)的该投影。 等距割圆锥投影 条件：m = 1 ; n1 = n2 = 1 原苏联出版的苏联全图，采用(1 = 47 ° ； 2 = 62 °)的该投影。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

3. 伪圆锥投影 由法国彭纳（R. Bonne）在圆锥投影的基础上，根据某些条件改变经线形状设计而成，故又称彭纳投影。 4.3 区域图投影 4.3 区域图投影 3. 伪圆锥投影 由法国彭纳（R. Bonne）在圆锥投影的基础上，根据某些条件改变经线形状设计而成，故又称彭纳投影。 纬线长度比 n = 1，同心圆弧 中央经线 m0 = 1 其他经线为对称m0的曲线 常用于编制中纬度地区小比例区域图 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

4.4 世界地图投影 主要类型：多圆锥投影、圆柱投影和伪圆柱投影 具体方案： 等差分纬线多圆锥投影 正切差分纬线多圆锥投影 4.4 世界地图投影 主要类型：多圆锥投影、圆柱投影和伪圆柱投影 具体方案： 等差分纬线多圆锥投影 正切差分纬线多圆锥投影 墨卡托（Mercator）投影 摩尔威特（Mollweide）投影 古德（Goode）投影 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

4.4 世界地图投影 1. 多圆锥投影 设想更多的圆锥面与球面相切，投影后沿一母线剪开展平。纬线投影为同轴圆弧，其圆心都在中央经线的延长线上。中央经线为直线，其余经线投影为对称中央经线的曲线。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

普通多圆锥投影（1820年美国 Hasslar 所创） m0 = 1 n = 1 m > 1 任意投影 适于南北方向延伸地区地图 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

普通多圆锥分带投影图 将整个地球按一定经差分为若干带，每带中央经线投影为直线，各带在赤道相接。用于制作地球仪。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

等差分纬线多圆锥投影 中国地图出版社1963年设计，其经线间隔随距中央经线距离的增大而呈等差递减，属任意投影。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

正切差分纬线多圆锥投影 中国地图出版社1976年设计，其经线间隔按与中央经线经差的正切函数递减。属任意投影。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

世界图 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

4.4 世界地图投影 2. 圆柱投影 设想以圆柱面为投影面，使圆柱面与地球表面相切或相割，将地球表面上的经纬线投影到圆柱面上，再把圆柱面沿一条母线剪开展为平面而成。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

2. 圆柱投影 由荷兰地图学家墨卡托（Mercator Gerardus，1512—1594）于1569年所创设，故又名墨卡托投影。 4.4 世界地图投影 2. 圆柱投影 ① 正轴等角圆柱投影 由荷兰地图学家墨卡托（Mercator Gerardus，1512—1594）于1569年所创设，故又名墨卡托投影。 特点: 不仅保持了方向和相对位置的正确，而且使等角航线在图上表现为直线。这一特性对航海具有重要的实用价值。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

4.4 世界地图投影 墨卡托投影 等角航线：是地球表面上与经线相交成相同角度的曲线。在地球表面上除经线和纬线以外的等角航线，都是以极点为渐近点的螺旋曲线。 等角航线在图上表现为直线。这一特性对航海具有很重要的意义。 大圆航线：地球面上两点间最短距离是通过两点间的大圆弧，也称为大圆航线。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

墨卡托投影 4.4 世界地图投影 等角航线 在图上表现为直线。这一特性对航海具有很重要的意义。 4.4 世界地图投影 墨卡托投影 等角航线 在图上表现为直线。这一特性对航海具有很重要的意义。 地球面上两点间最短距离是通过两点间的大圆弧，也 称为大圆航线 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

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4.4 世界地图投影 3. 伪圆柱投影 是在圆柱投影的基础上，规定纬线仍然为平行直线，而经线则根据某些特定条件改变经线形状而设计成对称于中央经线的各类曲线的非几何投影，在具体应用中以等积性质居多，而无等角投影。 常用的投影方案： ⑴ 桑逊（Sanson）投影 ⑵ 摩尔威特（Mollweide）投影 ⑶ 古德（Goode）投影 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

⑴ 桑逊（Sanson - Flam steed）投影 4.4 世界地图投影 ⑴ 桑逊（Sanson - Flam steed）投影 经线为正弦曲线的等积伪圆柱投影，纬线为间隔相等的平行直线，每条纬线上经线间隔相等。由法国桑逊于1650年设计。 投影特点： P = 1 无面积变形 n = 1 纬线长度比为1 m0 = 1 中央经线长度比=1 m > 1 经线长度比 >1 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

4.4 世界地图投影 ⑵ 摩尔威特（Mollweide）投影 经线为正弦曲线的等积伪圆柱投影，纬线为间隔相等的平行直线，每条纬线上经线间隔相等。由德国摩尔威特于1805年设计。 投影特点： P = 1 无面积变形 S90 = Searth / 2 赤道长度= 中央经线 × 2 常用于编制世界地图 及东、西半球地图 40°44 ′11.8 ″ S90 = Searth / 2 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

4.4 世界地图投影 ⑶ 古德（Goode）投影 美地理学家古德（J.Paul Goode）于1923年提出在整个制图区域主要部分中央都设置一条中央经线，分别进行投影，则全图就分成几瓣，各瓣沿赤道连接在一起。 投影特点： 分瓣、组合投影， 变形减小且均匀 大陆完整，大洋割裂 大洋完整，大陆割裂 常用于编制世界地图 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

4.4 世界地图投影 摩尔威特 — 古德投影 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

第 2 章 结 束 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

椭圆内两共轭半径的平方和等于其长短半径的平方和；两个共轭半径与它们的交角正弦的乘积等于其长短半径的乘积。 返回 阿波隆尼定理(Apollonius): 椭圆内两共轭半径的平方和等于其长短半径的平方和；两个共轭半径与它们的交角正弦的乘积等于其长短半径的乘积。 K L O θ a b m n 有: m2 + n2 = a2 + b2 m·n·sinq = a·b 椭圆内任一条直径d的平行弦中点在椭圆内的轨迹形成另一直径d ′ ， 则d ′称为d的共轭直径。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础

斜分比例尺 也称微分比例尺，是依据相似三角形原理制成的图解比例尺。使量测精度达到三位数（10-3）。 斜分比例尺 也称微分比例尺，是依据相似三角形原理制成的图解比例尺。使量测精度达到三位数（10-3）。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础