构造函数与方程 由题设条件及其数量关系，构想、组合成一种新的函数、方程、多项式等具体关系,使问题在新的关系下，实现转化而获得解决。 1、利用判别式构造方程(函数) 如果所给条件或结论中，或经过变形后具有Δ=b2-4ac 的形式，则可考虑构造一元二次方程（函数）:f(t)=at2±bt+c. 类似于 4ac≥b2
分析: 要证的不等式形式非常类似于根的判别式,这就启发我们构造一元二次函数(方程),使其判别式恰为所求证的不等式.为此构造函数:
由于所证不等式与判别式类似，所以我们可考虑构造二次函数，利用判别式证明.
2 、利用根的定义构造方程 例2 解方程组 分析:如果直接按解三元一次方程组的消元法解此题,则非常麻烦.但如果我们注意到三个方程的一致性,先把三个方程改写成:
3、 利用韦达定理构造方程 例3 已知x,y,z为实数,且满足x2-yz-8x+7=0和y2+z2+yz-6x+6=0,求证:1≤x≤9 .
例5 已知P是正三角形ABC的外接圆BC弧上任意一点，求证： （1）PB+PC=PA, (2)PB·PC＝PA2-AB2 . 分析：由所证式知:只须证PB, PC是方程x2-PAx+PA2-AB2=0 的 两个根即可。 ∵ △ABC是正三角形，故∠APB=∠ACB=∠ABC=∠APC=60° ∴在△ABP中，有AB2=PA2+PB2-2PA×PBcos60° ∴ PB2-PA×PB+(PA2-AB2)=0 同理在△ACP中有:PC2-PA×PC+(PA2-AB2)=0 ∴PB,PC是方程x2-PAx+PA2-AB2=0的两个根 ,故命题成立。
4、利用方程（或函数）的一般形式 如果题设条件或结论，通过适当变形整理后可化为与方程的一般形式相似，则可考虑利用方程思想,构造二次方程或二次函数.
5、利用常值代换构造方程
6、利用函数的性质构造函数 通过构造辅助函数，将原问题转化为研究辅助函数的性质，并利用函数的单调性、有界性、奇偶性、凹凸性和分析性质等来证明不等式，比较一些数的大小，求一些量的最值。 （1）利用函数的单调性
(2)利用函数的凹凸性
（3）利用函数的奇偶性 t,-t都是方程f(x)=0的根
（4）利用函数的分析性质（导数与积分性质）
7、考虑求证式的结构形式，构造方程（函数） 分析 : 观察等式左边与二项式定理有关,为此我们构造函数: