第三章 数控机床控制原理 §3-1 数控机床控制基础 §3-2 插补原理 §3-3 刀具补偿原理 §3-4 PLC

§3-2    插补原理 一、插补概述 二、插补算法 三、速度控制

一、插补概述 1 CNC装置的工作流程，从宏观上把 握插补在整个流程中的位置 2 CNC装置的插补定义 3 插补分类

二、插补算法 1 逐点比较法 2 DDA插补算法 3 最小偏差插补算法 4 数据采样插补算法 逐点比较法直线插补算法 逐点比较法圆弧插补算法

输入输出处理控制 程序输入 数据处理 位置控制 插 补 显 示 诊 断 译 码 图1 CNC装置的工作流程

§3-2    插补原理 CNC装置的工作流程。  一、程序输入 将编写好的数控加工程序输入给CNC装置的方式有：纸带阅读机输入、键盘输入、磁盘输入、通讯接口输入及连接上一级计算机的DNC(Direct Numerical Control)接口输入。 CNC装置在输入过程中还要完成校验和代码转换等工作，输入的全部信息都放到CNC装置的内部存储器中。

二、译码 在输入的工件加工程序中含有工件的轮廓信息（起点、终点、直线、圆弧等）、加工速度（F代码）及其它辅助功能（M、S、T）信息等，译码程序以一个程序段为单位，按一定规则将这些信息翻译成计算机内部能识别的数据形式，并以约定的格式存放在指定的内存区间。  

刀具半径、长度补偿是把零件轮廓轨迹转化成刀具中心轨迹，编程员只需按零件轮廓轨迹编程，减轻了工作量。 三、数据处理 数据处理程序一般包括刀具半径、长度补偿、速度计算以及辅助功能处理。 速度计算是解决该加工程序段以什么样的速度运动的问题。编程所给的进给速度是合成速度，速度计算是根据合成速度来计算各坐标运动方向的分速度。另外对机床允许的最低速度和最高速度的限制进行判断并处理。 刀具半径、长度补偿是把零件轮廓轨迹转化成刀具中心轨迹，编程员只需按零件轮廓轨迹编程，减轻了工作量。 辅助功能诸如换刀、主轴启停、切削液开关等一些开关量信号也在此程序中处理。辅助功能处理的主要工作是识别标志，在程序执行时发出信号，让机床相应部件执行这些动作。

四、插补 在数控加工中，一般已知运动轨迹的起点坐标、终点坐标和曲线方程和进给速度，如何使切削加工运动沿着预定轨迹移动呢？ 插补的任务是通过插补计算程序在已知上述信息的基础上进行“数据点的密化”工作，即在起点和终点之间插入一些中间点。

五、位置控制 它的主要任务是在每个采样周期内，将插补计算的理论位置与实际反馈位置相比较，用其差值去控制进给电动机，进而控制工作台或刀具的位移。   六、输入/输出（I/O）处理控制 I/O处理主要处理CNC系统和机床之间的来往信号的输入和输出控制。 七、显示 CNC系统的显示主要是为操作者提供方便，通常有：零件程序显示、参数设置、刀具位置显示、机床状态显示、报警显示、刀具加工轨迹动态模拟显示以及在线编程时的图形显示等

八、诊断 主要是指CNC系统利用内装诊断程序进行自诊断，主要有离线诊断和在线诊断。 离线诊断是指CNC系统每次从通电开始进入正常的运行准备状态中，系统相应的内诊断程序通过扫描自动检查系统硬件、软件及有关外设是否正常。只有当检查的每个项目都确认正确无误之后，整个系统才能进入正常的准备状态。否则，CNC系统将通过报警方式指出故障的信息，此时，离线诊断过程不能结束，系统不能投入运行。 在线诊断是指在系统处于正常运行状态中，由系统相应的内装诊断程序，通过定时中断周期扫描检查CNC系统本身以及各外设。只要系统不停电，在线诊断就不会停止。

插补定义 插补概述： 用户在零件加工程序中，一般仅提供描述该线形所必须的相关参数， 如对直线，提供其起点和终点坐标； 对圆弧，提供起终点坐标、圆心坐标及顺逆圆的信息。 然而这些信息不能满足控制机床的执行部件运动（步进电机、交直流伺服电机）的要求。因此，为了满足按执行部件运动的要求来实现轨迹控制必须在已知的信息点之间实时计算出满足线形和进给速度要求的若干中间点。这就是数控系统的插补概念。

插补定义： 是指在轮廓控制系统中，根据给定的进给速度和轮廓线形的要求，在已知数据点之间插入中间点的方法，这种方法称为插补方法。每种方法又可能用不同的计算方法来实现，这种具体的计算方法称之为插补算法。插补的实质就是数据点的密化。

插补方法分类 （一）脉冲增量插补 （二）数据采样插补

（一）脉冲增量插补 脉冲增量插补又称基准脉冲插补或行程标量插补，这类插补算法是以脉冲形式输出，每插补运算一次，最多给每一轴一个进给脉冲。把每次插补运算产生的指令脉冲输出到伺服系统，以驱动工作台运动，每发出一个脉冲，工作台移动一个基本长度单位，即脉冲当量，脉冲当量是脉冲分配的基本单位。 这种插补算法的特点是每次插补结束，数控装置向每个运动坐标输出基准脉冲序列，每个脉冲插补的实现方法较简单（只有加法和移位）可以用硬件实现。目前，随着计算机技术的迅猛发展，多采用软件完成这类算法。脉冲的累积值代表运动轴的位置，脉冲产生的速度与运动轴的速度成比例。由于脉冲增量插补的转轴的最大速度受插补算法执行时间限制，所以它仅适用于一些中等精度和中等速度要求的经济型计算机数控系统。

基准脉冲插补方法有一下几种： 1、数字脉冲乘法器插补法； 2、逐点比较法； 3、数字积分法； 4、矢量判别法； 5、比较积分法； 6、最小偏差法； 7、目标点跟踪法； 8、直接函数法； 9、单步跟踪法； 10、加密判别和双判别插补法； 11、Bresenham算法

总的说来，最小偏差法插补精度较高，且有利与电机的连续运动 早期常用的脉冲增量式插补算法有逐点比较法、单步跟踪法、DDA法等。插补精度常为一个脉冲当量，DDA法还伴有运算误差。 80年代后期插补算法有改进逐点比较法、直接函数法、最小偏差法等，使插补精度提高到半个脉冲当量，但执行速度不很理想，在插补精度和运动速度均高的CNC系统中应用不广。近年来的插补算法有改进的最小偏差法，映射法。兼有插补精度高和插补速度快的特点。 总的说来，最小偏差法插补精度较高，且有利与电机的连续运动

（二）数据采样插补 数据采样插补又称为时间分割插补或数字增量插补，这类算法插补结果输出的不是脉冲，而是标准二进制数。根据程编进给速度，把轮廓曲线按插补周期将其分割为一系列微小直线段，然后将这些微小直线段对应的位置增量数据进行输出，以控制伺服系统实现坐标轴的进给。 插补计算是计算机数控系统中实时性很强的一项工作，为了提高计算速度，缩短计算时间，按以下三种结构方式进行改进。 1. 采用软/硬件结合的两级插补方案。 2. 采用多CPU的分布式处理方案。 3. 采用单台高性能微型计算机方案。

6、“改进吐斯丁”（Improved Tustin Method――ITM）法。 数据采样插补方法很多，常用方法如下： 1、直接函数法； 2、扩展数字积分法； 3、二阶递归扩展数字积分圆弧插补法； 4、圆弧双数字积分插补法； 5、角度逼近圆弧插补法； 6、“改进吐斯丁”（Improved Tustin Method――ITM）法。 近年来，众多学者又研究了更多的插补类型及改进方法。改进DDA圆弧插补算法，空间圆弧的插补时间分割法，抛物线的时间分割插补方法，椭圆弧插补法，Bezier、B样条等参数曲线的插补方法，任意空间参数曲线的插补方法。

逐点比较法 一、概念： 所谓逐点比较法，就是每走一步都要和给定轨迹比较一次，根据比较结果来决定下一步的进给方向，使刀具向减小偏差的方向并趋向终点移动，刀具所走的轨迹应该和给定轨迹非常相“象”。如图3－1，3－2所示。

Y Y A 3 1 2 E 2 3 B O X O 1 X 图3-1 圆弧插补轨迹 图3-2 直线插补轨迹

1、偏差判别－判别加工点对规定几何轨迹的偏离位置； 2、进给控制－根据判别结果控制某坐标工作台进给一步； 二、逐点比较法的四个工作节拍： 1、偏差判别－判别加工点对规定几何轨迹的偏离位置； 2、进给控制－根据判别结果控制某坐标工作台进给一步； 3、偏差计算－计算新的加工点对规定轨迹的偏差； 4、终点判别－判别是否到达规定轨迹的终点，到达则停止插 补，否则返回第一步。

Fi=0，插补点P1恰在直线上；（如图3－3所示） Fi>0，插补点P2在直线上方； 逐点比较法第一象限的直线插补计算方法 1、偏差判别： Fi=YiXe-XiYe Fi=0，插补点P1恰在直线上；（如图3－3所示） Fi>0，插补点P2在直线上方； Fi=0，插补点P3在直线下方； （Fi 为偏差函数） 2、进给控制： 当Fi >＝ 0时，向x正向进给一步； 当Fi < 0时，向y正向进给一步； 3、偏差计算： 如果向x正向进给一步，则 Fi＋1=YiXe-（Xi＋1）Ye 1=YiXe-（Xi＋1）Ye ＝ YiXe-XiYe-Ye =Fi-Ye 同理，如果向y正向进给一步，则 Fi＋1=（Yi ＋1）Xe-XiYe＝ Fi＋ Xe 4、终点判别： 1）单向计数：取Xe和Ye中较大的作为计数长度 2）双向计数：将Xe和Ye的长度加和，作为计数长度 3）分别计数：即计X，又计Y，直到X减到0，Y也减到0，停 止插补

Y P2 （Xe，Ye） P1 P3 X 图3－3 插补点与直线的位置关系

(5,3) 例：脉冲当量为1，起点（0，0），终点（5，3） 序号 偏差判别 进给控制 偏差计算 终点判别 1 F0=0 +△x F1=F0-Ye=0-3=-3 M=8-1=7 2 F1<0 +△Y F2=F1+Xe=-3+5=2 6 3 F2>0 +△X F3=F2-Ye=2-3=-1 5 4 F3<0 F4=F3+Xe=-1+5=4 F4>0 F5=F4-Ye=4-3=1 F5>0 F6=F5-Ye=1-3=-2 7 F6<0 F7=F6+Xe=-2+5=3 8 F7>0 F8=F-Ye=3-3=0 Y (5,3) X O

思考 1插补是锯齿形的，而肉眼看到的或者是测 量时却是直线呢？ 2水平线，垂直线及45°斜线的插补轨迹 3其它象限的偏差计算公式 4如果直线不在原点如何处理？

1. 插补原理 一般来说，逐点比较法插补过程可按以下四个步骤进行： 图3-3 逐点比较法工作循环图

例3-1 加工第一象限直线OE，如图3-5所示，起点为坐标原点，终点坐标为E（4，3）。试用逐点比较法对该段直线进行插补，并画出插补轨迹。   图3-5 直线插补轨迹过程实例

表3-1 直线插补运算过程

图3-7 四象限直线偏差符号和进给方向

逐点比较法精度分析 插补精度为不大于一个脉冲当量

逐点比较法合成进给速度 逐点比较法的特点是脉冲源每发出一个脉冲，就进给一步，不是发向X轴，就是发向Y轴，如果fg为脉冲源频率(Hz)，fx，fy 分别为X轴和Y轴进给频率(Hz)，则 (3-10) 从而X轴和Y轴的进给速度 (mm/min) 为 式中 —脉冲当量（mm/脉冲）。 合成进给速度为 (3-11) 式(3-11)中若fx=0或fy=0时，也就是刀具沿平行于坐标轴的方向切削，这时对应切削速度最大，相应的速度称为脉冲源速度vg，脉冲源速度与程编进给速度相同。

(3-12) 合成进给速度与脉冲源速度之比为： (3-13) 由式3-13可见，程编进给速度确定了脉冲源频率fg后，实际获得的合成进给速度v并不总等于脉冲源的速度vg，与角有关。插补直线时，为加工直线与X轴的夹角；插补圆弧时，为圆心与动点连线和X轴夹角。根据上式可作出v/vg随而变化的曲线。如图3-14所示，v/vg=0.707~1，最大合成进给速度与最小合成进给速度之比为vmax/vmin=1.414，一般机床来讲可以满足要求，认为逐点比较法的进给速度是比较平稳的。

v/vg 1 0.707 O 450 900 α 图3-14 逐点比较法进给速度

3. 四象限的直线插补 假设有第三象限直线OE′（图3-6），起点坐标在原点O，终点坐标为E′（－Xe，－Ye），在第一象限有一条和它对称于原点的直线，其终点坐标为E（Xe，Ye），按第一象限直线进行插补时，从O点开始把沿X轴正向进给改为X轴负向进给，沿Y轴正向改为Y轴负向进给，这时实际插补出的就是第三象限直线，其偏差计算公式与第一象限直线的偏差计算公式相同，仅仅是进给方向不同，输出驱动，应使X和Y轴电机反向旋转。

图3-6 第三象限直线插补

四个象限直线的偏差符号和插补进给方向如图3-7所示，用L1、L2、L3、L4分别表示第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限的直线。为适用于四个象限直线插补，插补运算时用∣X∣，∣Y∣代替X，Y，偏差符号确定可将其转化到第一象限，动点与直线的位置关系按第一象限判别方式进行判别。 由图3-7可见，靠近Y轴区域偏差大于零，靠近X轴区域偏差小于零。F≥0时，进给都是沿X轴，不管是＋X向还是－X向，X的绝对值增大；F<0时，进给都是沿Y轴，不论＋Y向还是－Y向，Y的绝对值增大。 图3-8为四象限直线插补流程图。

图3-8 四象限直线偏差符号和进给方向 开始 初始化 |Xe|，|Ye| ∑＝|Xe|＋|Ye| F≥0 F←F－∣Ye∣ 沿Xe向走一步 ∑=0 F←F＋∣Xe∣ 沿Ye向走一步 结束 ∑＝∑-1 图3-8 四象限直线偏差符号和进给方向

逐点比较法第一象限的逆圆弧插补算法 当动点P（Xi，Yi）位于圆弧上时有 Xi2＋Yi2－R2<0 在圆弧加工过程中，可用动点到圆心的距离来描述刀具位置与被加工圆弧之间关系。设圆弧圆心在坐标原点，已知圆弧起点A（Xs，Ys），终点B（Xe，Ye），圆弧半径为R，加工点可能在三种情况出现，即圆弧上、圆弧外、圆弧内。 当动点P（Xi，Yi）位于圆弧上时有 Xi2＋Yi2－R2=0 当P点在圆弧外侧时，则OP大于圆弧半径R，即 Xi2＋Yi2－R2>0 当P点在圆弧内侧时，则OP小于圆弧半径R，即 Xi2＋Yi2－R2<0 用 Fi 表示P点的偏差值，定义圆弧偏差函数判别式为:

四个工作节拍 1、偏差判别： Fi=Xi2＋Yi2－R2 Fi=0，插补点P1恰在圆弧上（on）；（如图3－3所示） Fi>0，插补点P2在圆弧上方（up）； Fi=0，插补点P3在圆弧下方（down）； 2、进给控制： 当Fi >＝ 0时，向Y正向进给一步； 当Fi < 0时，向X负向进给一步； 3、新偏差计算： 如果向Y正向进给一步，则 Fi＋1=（Xi＋1）2 ＋（Yi＋1）2－R2 =Xi2 ＋（Yi＋1）2 －R2＝Fi＋2Yi＋1 同理，如果向X负向进给一步，则 Fi＋1=（Xi＋1）2 ＋（Yi＋1）2－R2 =（Xi-1）2 ＋Yi2 －R2＝Fi-2Xi＋1 4、终点判别： 采用当前点与终点的关系来判终。

例3-2 现欲加工第一象限顺圆弧AB，如图3-11所示，起点A（0，4），终点B（4，0），试用逐点比较法进行插补。   图3-11 圆弧插补实例

表3-2 圆弧插补过程

Y Y A F≥0 D SR1 NR1 F≥0 F<0 B O X C O X a) 顺圆弧 b) 逆圆弧   图3-9 第一象限顺、逆圆弧

NR2 NR1 SR2 SR1 O X X NR3 NR4 SR3 SR4 a) 逆圆弧 b）顺圆弧 图3-10 四个象限圆弧进给方向 Y Y NR2 NR1 SR2 SR1 O X X NR3 NR4 SR3 SR4 a) 逆圆弧 b）顺圆弧 图3-10 四个象限圆弧进给方向

表3-3 圆弧插补计算过程

二、 数据采样法 （一） 数据采样法原理 数据采样插补又称为时间分割法，与基准脉冲插补法不同，数据采样插补法得出的不是进给脉冲，而是用二进制表示的进给量。这种方法是根据程编进给速度F，将给定轮廓曲线按插补周期T（某一单位时间间隔）分割为插补进给段（轮廓步长），即用一系列首尾相连的微小线段来逼近给定曲线。每经过一个插补周期就进行一次插补计算，算出下一个插补点，即算出插补周期内各坐标轴的进给量，如等，得出下一个插补点的指令位置。 插补周期越长，插补计算误差越大，插补周期应尽量选得小一些。CNC系统在进行轮廓插补控制时，除完成插补计算外，数控装置还必须处理一些其它任务，如显示、监控、位置采样及控制等。

因此，插补周期应大于插补运算时间和其它实时任务所需时间之和。插补周期大约在8ms左右。 采样是指由时间上连续信号取出不连续信号，对时间上连续的信号进行采样，就是通过一个采样开关K（这个开关K每隔一定的周期TC闭合一次）后，在采样开关的输出端形成一连串的脉冲信号。这种把时间上连续的信号转变成时间上离散的脉冲系列的过程称为采样过程，周期TC叫采样周期。 计算机定时对坐标的实际位置进行采样，采样数据与指令位置进行比较，得出位置误差用来控制电动机，使实际位置跟随指令位置。对于给定的某个数控系统，插补周期T和采样周期TC是固定的，通常T≥TC，一般要求T是TC的整数倍。 对于直线插补，不会造成轨迹误差。在圆弧插补中，会带来轨迹误差。

如图3-28所示，用弦线逼近圆弧，其最大径向误差er为 (3-26) 式中 R—被插补圆弧半径（mm）； —角步距，在一个插补周期内逼近弦所对应的圆心角。 将式(3-26)中的 用幂级数展开，得 (3-27)

设T为插补周期，F为进给速度，则轮廓步长为 (3-28) 用轮廓步长代替弦长，有 (3-29) 将(3-29)代入式（3-27）,得 (3-30) 可见，圆弧插补过程中，用弦线逼近圆弧时，插补误差er与程编进给速度F的平方、插补周期T的平方成正比，与圆弧半径R成反比。

图3-28 弦线逼近圆弧 图3-29 直线插补原理