安徽理工大学 2005级《大学物理》补充 第十八章 量子物理基础 第三讲量子力学应用初步 物理教研室

本次课内容 §19-8 量子力学简介（2） §19-9 氢原子的量子理论 §19-10 多电子原子中的电子分布 三 薛定谔方程解一维势阱问题 四 对应原理 五 一维方势垒 隧道效应 §19-9 氢原子的量子理论 §19-10 多电子原子中的电子分布 课本 pp266—289； 练习册 第二十单元

§19-8 量子力学简介（2） 定态薛定谔方程 一维定态薛定谔方程 求解定态薛定谔方程，就是在已知势函数的条件下，求出体系可能有的能量值和波函数。

质量为m 的粒子在外场中作一维运动，势能函数为 三 薛定谔方程解一维势阱问题 8 x = 0 x = a V (x ) 质量为m 的粒子在外场中作一维运动，势能函数为 定态薛定谔方程为： 当 x < 0 和 x > a 时，

求解方程（1） (1)式可写成 令 代入上式得： 此方程的通解为： 由于阱壁无限高，所以

由式（1）得 B = 0 ，波函数为： 由式（2）得 ，于是 即: 由此得到粒子的能量En En 称为本问题中能量E 的本征值。势阱中的粒子,其能量是量子化的。

势阱中粒子的能级图 o a x E 当 n = 1, E1即基态能级 n 叫作主量子数

与 E 相对应的本征函数，即本问题的解为： 式中常数Ａ可由归一化条件求得。 得到 最后得到薛定谔方程的解为：

讨论 1 势阱中的粒子的能量不是任意的，只能取分立值，即能量是量子化的。能量量子化是微观世界特有的现象，经典粒子处在势阱中能量可取连续的任意值。 电子(m=9.1×10-31千克)： ①若势阱宽a=10Å，则 En=0.75neV, 量子化明显； ②若a=1cm,则En=0.75×10-14eV ,量子化不明显。 2 能量为En的粒子在 x-x+dx 内被发现的概率:

波函数 几率密度分布 x a x n=4 n=3 n=2 n=1 a

例题：在阱宽为a 的无限深势阱中,一个粒子的状态为 多次测量其能量。问 每次可能测到的值和相应概率？ 能量的平均值？ 解：已知无限深势阱中粒子的波函数和能量为

则 多次测量能量(可能测到的值) 概率各占1/2 能量的平均值

§19-9 氢原子的量子理论 一 氢原子定态薛定谔方程的求解 这里 ，（1）式可写成 氢原子由一个质子和一个电子组成，电子受质子库仑电场作用而绕核运动（质子静止）。电子的状态由波函数描述，波函数满足定态薛定谔方程： 这里 ，（1）式可写成

采用球坐标： 球坐标下： （2）式则为： 分离变量，令

代入方程（3）可得： 分离变量得 和

令 ，（5）再分离变量式为： 即 和 （5b ）的解是 的单值性要求

（5a ）是勒让德方程，其解是勒让德多项式。为了使 和 时， 为有限，必须限定 （4）是径向方程，可写为： 径向方程用级数法求解。 若E>0,能量连续分布，自由电子情形； 但E<0, （束缚态），波函数标准条件要求

主量子数决定着氢原子的能量，E 与n 的依赖关系与波尔理论相同。 量子数的意义： 氢原子只能处在一些分立的状态，用主量子数，角量子数，磁量子数来描述, 取值如下 1 主量子数n 主量子数决定着氢原子的能量，E 与n 的依赖关系与波尔理论相同。 2 角量子数l 角动量有确定值，为 角动量是量子化的，叫轨道角动量。习慣用小写字母表示电子具有某一轨道角动量的量子态，

3 磁量子数ml 由波函数 Rnl(r)Ylm(,) 描写的定态，不但具有确定的能量和角动量的大小，而且具有确定的Lz(角动量在轴方向的分量) 角动量的分量也只能取分立值。

空间取向量子化示意图 L z m = h l . l=0 l=1 l=2 l=3

二 氢原子中电子的径向几率分布 r 1s 2s 3s 4s r 2p 3p 4p r 3d 4d

氢原子中电子的角向几率分布 z y z y z y

斯特恩-盖拉赫实验 1921年，施忒恩（O.Stern）和盖拉赫（W.Gerlach）发现一些处于S 态的原子射线束，在非均匀磁场中一束分为两束。 S 原子炉 N 准直屏 磁 铁

§19-10 多电子原子中的电子分布 1925年，乌仑贝克(G.E.Uhlenbeck)和高德斯密特(S.A.Goudsmit)提出电子自旋假说。由自旋产生的角动量 的大小是量子化的，其值为 s 是自旋量子数，只能取1/2。 还假定自旋角动量的空间取向也是量子化的，即 s 在Z方向的分量为： 是自旋磁量子数。 完全描述电子的运动状态，需要四个量子数：

电子自旋及空间取向量子化 z 2

原子的壳层结构 在多电子的原子中，电子的分布是分层次的，电子的分布层次叫电子壳层。n=1,2,3,4,…,的壳层依次叫K,L,M,N,…壳层。每一壳层上，对应l=0,1,2,3,…可分成s,p,d,f…分壳层。电子在壳层中的分布遵从下面两条基本规律： 1 泡利(W.Pauli)不相容原理 原子中不可能同时有两个或两个以上的电子处于完全相同的状态（原子中不可能同时有两个或两个以上的电子具有四个相同的量子数）。 例：基态氦原子核外两电子都处于1s态，其量子态(n ,l ,ml ,,ms)分别为( 1,0,0,±1/2 )

利用泡利不相容原理可计算各壳层所可能有的最多电子数: 当n给定，l的可取值为0,1,2,…,n-1共n个; 当l给定，ml的可取值为0,±1,±2,…,±l共2l+1个; 当(n,l,ml)给定，ml的可取值为±1/2共2个. 在同一主量子数为n的壳层上，可能有的最多电子数为： 由此可推得多电子的原子中各壳层所可能有的最多电子数（见下表）。

原子壳层和分壳层中最多可能容纳的电子数 l n s 1 p 2 d 3 f 4 g 5 h 6 i Zn 1K 2(1s) 2L 2(2s) s 1 p 2 d 3 f 4 g 5 h 6 i Zn 1K 2(1s) 2L 2(2s) 6(2p) 8 3M 2(3s) 6(3p) 10(3d) 18 4N 2(4s) 6(4p) 10(4d) 14(4f) 32 5O 2(5s) 6(5p) 10(5d) 14(5f) 18(5g) 50 6P 2(6s) 6(6p) 10(6d) 14(6f) 18(6g) 22(6h) 72 7Q 2(7s) 6(7p) 10(7d) 14(7f) 18(7g) 22(7h) 26(7i) 98

2 能量最小原理 原子系统处于正常态时，各个电子趋向于占有最低能级。能级越低，相应壳层离核越近，首先被电子填满，其余电子依次向未被占取的最低能级填充，直到所有 Z 个核外电子分别填入可能占取的最低能级为止。下图给出了一些多电子原子结够的示意图。 L L K K K 8 O 2 He 3 Li M M L L L K K K 11 Na 17 Cl 10 Ne

原子能级除由主量子数n决定外，还与其他量子数有关，所以按能量最小原理排列时，电子不完全按K,L,M…主壳层来排列，而按 原子的最外层电子叫价电子。 原子能级除由主量子数n决定外，还与其他量子数有关，所以按能量最小原理排列时，电子不完全按K,L,M…主壳层来排列，而按 在各个分壳层上排列。 （本次课完）