数学实验之十二 迭代(2)---分形 中国科学技术大学数学系 陈发来.

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2.8 函数的微分 1 微分的定义 2 微分的几何意义 3 微分公式与微分运算法则 4 微分在近似计算中的应用.
2.6 隐函数微分法 第二章 第二章 二、高阶导数 一、隐式定义的函数 三、可微函数的有理幂. 一、隐函数的导数 若由方程 可确定 y 是 x 的函数, 由 表示的函数, 称为显函数. 例如, 可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数, 但此隐函数不能显化. 函数为隐函数. 则称此 隐函数求导方法.
2.5 函数的微分 一、问题的提出 二、微分的定义 三、可微的条件 四、微分的几何意义 五、微分的求法 六、小结.
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数学实验之十二 迭代(2)---分形 中国科学技术大学数学系 陈发来

实验内容 什么是分形? 图形迭代 函数迭代 IFS迭代 分形的应用

1、什么是分形 分形发展简史 欧氏几何、解析几何、微分几何—正则 微积分,复变函数---光滑 反例 1,Cantor集合

Cantor 集合 中点数不可数(比有理数还多!),但其区间长度为零! 反例 2,Weierstrass函数 其中 1<s<2 且 ,W(x) 是处处连续、 处处不可微的函数。对应 s=1.4, 的图象是

反例 3,Van Koch 雪花曲线

大自然的不规则性: 树木花草、山川河流、烟雾云彩等是不 规则的。晶体的生长,分子的运动轨迹等也是不规则的。如何用几何来描述它? B. Mandelbrot 观察到英国海岸线与Van Koch 曲线的关系,提出了一门描述大自 然的几何形态的学科---分形(Fractal) 英国的海岸线有多长?

B. B. Mandelbrot

分形的特性 1、具有无限精细的结构 2、局部与整体的相似性 3、具有非拓扑维数,并且它大于对应的 拓扑维数 4、具有随机性 5、在大多数情况下,分形可以用非常 简单的方法确定,可能由迭代产生。

分形的维数 1、相似维数:设分形 F 是自相似的,即 F 由 m 个子集构成,每个子集放大 c 倍后同 F一样,则定义 F 的维数为 例如,对于Cantor集, 对于Van Koch 雪花曲线,

对于一条直线段,将它等分,每段长度为原来的1/N,共分为N段。 一般地,设一图形可分解为m个与之相似的子图形,每个子图形是原来的1/c. 则图形的维数D满足:c^D=m.

2、盒子维数:设 是有界集合,其中 R 是正方形。将 R 分成边长为 的子正方形。记 为子正方形中包含 F 中点的子正方形的个数。定义 F 的盒子维数为 例如,对于 Weierstrass处处连续、处处不可微的函数,其分形维数为 s.

分形的应用领域 1、数学:动力系统 2、物理:布朗运动,流体力学中的湍流 3、化学:酶的构造, 4、生物:细胞的生长 5、地质:地质构造 6、天文:土星上的光环 其他:计算机,经济,社会,艺术等等

2、图形迭代生成分形 给定初始图形 ,依照某一规则 对图形反复作用 得到图形序列 其极限图形是分形,作用规则 称为生成元。

例如,Cantor 集的生成元是 Van Koch 雪花曲线的生成元是 其它实例

2、Minkowski “香肠”

3、Sierpinski地毯

4、龙曲线

5、Hilbert曲线

6、花草树木(L系统) 生物学家Lindenmayer提出。一个L系统可表示为一个有序的三元素集合: 其中:V是一些运动过程集合, w是初始形状, P是生成式。

例如,F表示向前距离d, +表示左转弯a, -表示右转弯,[表示压栈,]表示出栈。

6、花草树木(L 系统)

3、函数迭代产生的分形 用Z表示复数,定义在复平面上的函数 f(Z)称为复变函数。 任意给定初始复数值 ,定义复数序列 任意给定初始复数值 ,定义复数序列 对于什么样的初始值 ,复数序列 收敛或有界?

Julia集 考虑复变函数迭代 固定复参数 c,使得迭代序列  有界的初值 在复平面上的分布图形称为Julia集,亦即 迭代序列 有界}

Mandelbrot集 固定初值 ,使得迭代序列(2)有界的参数 c 在复平面上的分布图形称为 Mandelbrot集。即 迭代序列 有界} 记 则(2)变为

Julia 集的绘制方法: 1、设定初值 p,q, 最大的迭代次数 N, 图形的大小 a,b, 及使用的颜色数 K. 2、设定区域的界值 3、将区域   分成 的网格,分别以每个网格点为初值 利用(3)做迭代。如果对所有的 都有   ,则将象素(i, j) 置为黑色。如果从某一步 n 开始,    ,则将象素 (i,j)置为颜色 n mod K。

4、IFS迭代产生分形 混沌游戏 给定平面上三点A, B, C。再任意给定初始点 , 做下列迭代 当掷出的硬币呈正面 当掷出的硬币呈反面 当掷出的硬币呈侧面 按上述方式迭代数百次,呈现极不规则的图形。故称为混沌游戏。

IFS迭代 IFS--Iterated Function System 取定 n 个仿射变换 以及 n 个概率 任给初值 ,以概率 选取变换 进行迭代 则点集 的聚点集合称为一个IFS吸引子。

用IFS绘制分形的方法 1、设图形可视区域为 假设采用L 级灰度的图像绘制,总迭代次数为N。 2、将 V 分成   的网格,格点为 用        表示矩形区域。用 表示在N次迭代中落入  中点的个数。记 则象素 (i,j)的灰度为

一些实例 Cantor 树 

龙曲线

利用IFS迭代可以得到图象压缩的有效方法。对给定的图像,利用 IFS 迭代原理,确定一系列仿射变换 ,使得对任给的概率 ,由

5、分形欣赏

分形时装

分形音乐 相关主页: www.geocities.com/ SiliconValley/Haven/4386 http://www.fractal.com.cn/fxiy/index.htm

分形影院 http://www.fractal.com.cn/fxyy/fs/fs005.htm