第3节　空间点、直线、平面的位置关系

最新考纲 1.理解空间直线、平面位置关系的定 义,并了解可以作为推理依据的公理 和定理. 2.以立体几何的定义、公理和定理为 出发点,认识和理解空间 中线面平行、垂直的有关性 质与判定定理. 3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.

编写意图 空间中点、线、面的位置关系是立体几何的基础.本节围绕平面基本性质及其应用,空间点、线、面位置关系及两条异面直线所成角等知识精心选题.重点解决两直线位置关系的判断及求异面直线所成角的方法.了解构造法在分析点、线、面位置关系中的应用.

夯基固本 考点突破 思想方法

夯基固本 抓主干 固双基 知识梳理 1.平面的基本性质及相关公(定)理

2.空间中点、线、面之间的位置关系

质疑探究:分别在两个平面内的直线就是异面直线吗? (提示:不是.异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线,指的是找不出一个平面同时经过这两条直线,分别在两个平面内的直线可以平行,也可以相交或异面)

锐角(或直角) (2)范围: .

基础自测 1.给出下列命题,其中正确命题的个数是( ) B 1.给出下列命题,其中正确命题的个数是(　 　) ①如果线段AB在平面α内,那么直线AB在平面α内;②两个不同的平面可以相交于不在同一直线上的三个点A、B、C;③若三条直线a,b,c互相平行且分别交直线l于A,B,C三点,则这四条直线共面;④若三条直线两两相交,则这三条直线共面.⑤两组对边相等的四边形是平行四边形. (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:显然①③正确.若两平面有三个不共线的公共点,则这两平面重合,故②不正确.三条直线两两相交于同一点时,三条直线不一定共面,故④不正确;两组对边相等的四边形可能是空间四边形,⑤不正确.故选B. B

2.下列命题中,正确命题的个数是(　　) ①平行于同一直线的两直线平行;②垂直于同一直线的两直线平行;③一条直线和两平行线中的一条相交,也必和另一条相交;④若直线a与b相交,b与c相交,则a与c相交;⑤若直线a,b与c成等角,则a∥b. (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 解析:显然①正确,借助正方体知②③④⑤错. 3.若空间三条直线a、b、c满足a⊥b,b∥c,则直线a与c(　 　) (A)一定平行 (B)一定相交 (C)一定是异面直线 (D)一定垂直 解析:若a⊥b,b∥c,则直线a与c可能相交、也可能异面,不可能平行,一定是垂直的. B D

B

5. 如图所示,在这个正方体中,①BM与ED平行;②CN与BM是异面直线;③CN与BE是异面直线;④DN与BM是异面直线 解析:正方体中BM与ED,CN与BM,DN与BM是异面直线,CN与BE是平行直线,故正确命题序号为②④. 答案:②④

考点突破 剖典例 找规律 考点一 平面的基本性质及其应用

反思归纳 (1)证明共面问题主要包括线共面、点共面两种情况,其常用方法如下: ①纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内. ②辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面α,再证明其余元素确定平面β,最后证明平面α、β重合. ③反证法. (2)证明空间点共线问题: ①一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上. ②选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上. (3)证明空间三线共点问题,先证明两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这点,把问题转化为证明点在直线上.

【即时训练】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是AB和AA1的中点.求证: (1)E、C、D1、F四点共面; (2)CE、D1F、DA三线共点.

证明:(1)连接EF、CD1、A1B. ∵E、F分别是AB、AA1的中点, ∴EF∥BA1. 又∵A1B∥D1C, ∴EF∥CD1, ∴E、C、D1、F四点共面. (2)∵EF∥CD1,EF<CD1, ∴CE与D1F必相交,设交点为P, 则由P∈CE,CE⊂平面ABCD, 得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,∴P∈直线DA, ∴CE、D1F、DA三线共点.

考点二 空间两条直线的位置关系 【例2】正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别为棱C1D1、C1C的中点,有以下四个结论: ①直线AM与CC1是相交直线; ②直线AM与BN是平行直线; ③直线BN与MB1是异面直线; ④直线AM与DD1是异面直线. 其中正确的结论为　　　　.(注:把你认为正确的结论的序号都填上)  解析:直线AM与CC1是异面直线,直线AM与BN也是异面直线,所以①②错误.点B、B1、N在平面B1C中,点M在此平面外,所以BN、MB1是异面直线.同理AM、DD1也是异面直线. 答案:③④

【变式】例2中正方体ABCD-A1B1C1D1的棱所在直线中与直线AB是异面直线的有 条. 解析:正方体的12条棱中, 与AB异面的有4条:A1D1,B1C1,DD1,CC1. 答案:4

反思归纳 判定空间直线位置关系的方法 空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行和垂直的判定,对于异面直线,可采用直接法或反证法;对于平行直线,可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理;对于垂直关系,往往利用线面垂直的性质来解决.

【即时训练】已知直线a,b是两条异面直线,直线c平行于直线a,则直线c与直线b(　　) (C)不可能是平行直线 (D)不可能是相交直线 解析:若直线c与直线b平行,又c与a平行,由公理4知a与b平行,这与已知相矛盾,所以直线c与b不可能平行.故选C.

考点三 异面直线所成的角 【例3】如图所示,在四面体ABCD中,E,F分别是AC和BD的中点,若CD=2AB=4,EF⊥AB,求EF与CD所成的角.

【即时训练】已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BB1,CC1的中点,那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为　　　　. 

助学微博 1.平面的基本性质是证明“线共面”与“点共面”、“点共线”问题的依据,“共面问题”的证明要先确定平面,然后证明其余元素也在这个平面内;而“共线”的证明主要是说明点为两平面的公共点,进而得到它们都在两平面的交线上. 2.空间两直线位置关系有三种:平行、异面与相交,注意区分“无公共点的两条直线”、“分别在两个平面内的直线”与异面直线,避免混淆.有时借助构造法(构造平面或正(长)方体等)判断直线的位置关系. 3.求两异面直线所成角就是构造平行线将其转化为两相交直线所成角,进而转化为三角形的内角求解,但要注意异面直线所成角的范围,不能把两角混为一谈.

思想方法 融思想 促迁移 构造法研究空间线、线的位置关系 思想方法 融思想 促迁移 构造法研究空间线、线的位置关系 【典例】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线有　　　　条.  解析:要找出与三条直线都相交的直线,需先在其中两条 直线上任取两点,作出相应直线,调整点的位置,使之与第 三条直线相交即可. 在EF上任意取一点M,直线A1D1与M确定一个平面,这个平面 与CD有且仅有1个交点N,连接MN的直线与直线A1D1一定相交, 当M取不同的位置时就确定不同的平面,从而与CD有不同的 交点N,而直线MN与这3条异面直线都有交点.如图所示.由在 EF上任取M点有无穷多个,所以满足题意的直线有无数条. 答案:无数

方法点晴 本题利用构造平面的方法将问题转化为直线和平面的交点问题,使抽象问题具体化 方法点晴 本题利用构造平面的方法将问题转化为直线和平面的交点问题,使抽象问题具体化.当遇到线面位置关系不好直接判断时,也可构造正(长)方体等特殊几何体判断.

【即时训练】(2014高考广东卷)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是(　　) (A)l1⊥l4 (B)l1∥l4 (C)l1与l4既不垂直也不平行 (D)l1与l4的位置关系不确定 解析:如图所示长方体中,l2⊥l1,l2⊥l3,l3与l4垂直时,l4可以在下底面内任意转动,也可以平移至上底面内, 所以l1与l4的位置关系不确定.故选D.

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