必修四 第一章：三角函数 任意角

问题1： 回忆初中学习角的定义是什么？角的范围是什么？ O A B 由一个顶点出发的两条射线所组成的图形 角的范围（00，3600]

（一）新课讲解 一、 “角”的定义： α （1）由一个顶点发出的两条射线所组成的图形 （2）一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置 角α终边 O A B O A B α 角α始边 （1）由一个顶点发出的两条射线所组成的图形 （2）一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置 所组成的图形.

运动 这些例子所提到的角不仅不在范围[00 ,3600 ） 中，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么办法才能推广到任意角？ 2．生活中很多实例会不在范围[00 ,3600 ) 体操运动员转体720º，跳水运动员向内、向外转体1080º 这些例子所提到的角不仅不在范围[00 ,3600 ） 中，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么办法才能推广到任意角？ 运动

逆时针 定义： 记法：角 或 ，可简记为 正角：按逆时针方向旋转形成的角 任意角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角　 零角：射线不作旋转时形成的角 记法：角 或 ，可简记为

2：角可以任意大小，绝对值大小由旋转次数及终边位置决定 注： 1：角的正负由旋转方向决定 2：角可以任意大小，绝对值大小由旋转次数及终边位置决定

（三）知识提练 三、在坐标系中讨论角——象限角 X Y 角α终边 O α 角α始边

象限角： 坐标轴上的角：（轴线角） 例如：角的终边落在X轴或Y轴上。 1.1.1 角的推广 为了方便，今后我们常在直角坐标系内讨 1.1.1 角的推广 象限角： 为了方便，今后我们常在直角坐标系内讨 论角，并使角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合.那么，角的终边在第几象 限，我们就说这个角是第几象限角. 坐标轴上的角：（轴线角） 如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角 不属于任何一个象限. 例如：角的终边落在X轴或Y轴上。

（三）知识提练 三、在坐标系中讨论角——象限角 O X Y 第二象限角 第一象限角 第三象限角 第四象限角

终边 y 终边 Ⅱ x o 始边 Ⅳ 终边 要点 1)置角的顶点于原点 2)始边重合于X轴的非负半轴 终边落在第几象限就是第几象限角 终边 始边　 终边 x y o 终边 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 终边 终边 Ⅳ 要点 1)置角的顶点于原点 2)始边重合于X轴的非负半轴 终边落在第几象限就是第几象限角

练习： 1、锐角是第几象限的角？ 答：锐角是第一象限的角。 2、第一象限的角是否都是锐角？举例说明 答：第一象限的角并不都是锐角。 3、小于90°的角都是锐角吗？ 答：小于90°的角并不都是锐角，它也有可能是零角或负角。

与ａ终边相同的角的集合形式为 注:（1） K ∈ Z （2） a 是任意角 （3）K·360°与a 之间是“+”号，如K·360°-30 °，应看成K·360 °+（-30 ° ） （4）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍

（三）典例分析 例2、写出满足下列条件的角的集合 ⑴终边在X轴正半轴的角； ⑵终边在X轴负半轴的角； ⑶终边在Y轴正半轴的角； S={β|β=0°+ k·360°,k∈Z} S={β|β=180°+ k·360°,k∈Z} S={β|β=90°+k·360°,k∈Z} S={β|β=270°+ k·360°, k∈Z} 创新练习: 1、终边在第一象限的角； 2、终边在第二象限的角； 3、终边在第三象限的角； 4、终边在第四象限的角；

1.1.1 角的推广 思考与拓展: 第一象限角的集合可表示为 ;

例1、在0到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角？ （1）-120°（2）640 °（3） －950012' 解（1）-120°=-360 °+240 ° 所以与-120 °角终边相同的角是240 °角，它是第三象限角。

（2）640°=360°+280° 所以与640°角终边相同的角是280°角，它是第四象限角。 （3） －950012' = -3×360°+129°48' 所以与－950012'角终边相同的角是129048 '角，它是第二象限角。

例2：写出与下列各角终边相同的角的集s， 并把S中 适合不等式-3600≤ ＜7200 的元素 写出来 （1） 600 （2）-210 （3）363014’

例2 写出终边落在y轴上的角的集合。 解：终边落在ｙ轴正半轴上的角的集合为 S1={β| β=900+K∙3600,K∈Z} ={β| β=900+1800 的偶数倍} 终边落在ｙ轴负半轴上的角的集合为 S2={β| β=2700+K∙3600,K∈Z} ={β| β=900+1800+2K∙1800,K∈Z} ={β| β=900+（2K+1）1800 ，K∈Z} ={β| β=900+1800 的奇数倍}

所以　终边落在ｙ轴上的角的集合为 S=S1∪S2 ={β| β=900+1800 的偶数倍} ∪{β| β=900+1800 的奇数倍} ={β| β=900+1800 的整数倍}　　 ={β| β=900+K∙1800 ，K∈Z}

（五）方法小结 一、角的分类 正角、负角、零角 二、在坐标系中讨论角 轴线角与象限角 三、终边相同的角 结论：所有与α终边相同的角的集合： S={β|β=α+k·360°,k∈Z}

4：在0到360度内找与已知角终边相同的角，方法是：用所给角除以3600。 所给角是正的：按通常的除法进行；所给角是负的：角度除以3600，商是负数，它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大1，以便使余数为正值。 5：判断一个角是第几象限角，方法是： 所给角ａ改写成ａ0+k ·3600 ( K∈Z,00≤ａ0＜3600)的形式，ａ0在第几象限ａ就是第几象限角

作业：课本习题 1、3