数字信号处理 Lecture 3: Representation of Systems 杨再跃 Email: yangzy@zju.edu.cn 玉泉校区工控新楼507 mypage.zju.edu.cn/yangzy

描述系统特性的工具 连续时间系统 时域分析工具：系统冲击响应，微分方程 频域分析工具：频率响应，拉氏变换（传递函数） 离散时间系统 Thursday, November 08, 2018 描述系统特性的工具 连续时间系统 时域分析工具：系统冲击响应，微分方程 频域分析工具：频率响应，拉氏变换（传递函数） 离散时间系统 时域分析工具：系统冲击响应，差分方程 频域分析工具：频率响应，z变换（传递函数）

Thursday, November 08, 2018 LTI系统的冲击响应与线性卷积

LTI系统的冲击响应 可以用不同的方法去描述一个系统，时域内对给定系统，测试系统特性的一个有效方法是对系统施加单位冲击信号； Thursday, November 08, 2018 LTI系统的冲击响应 可以用不同的方法去描述一个系统，时域内对给定系统，测试系统特性的一个有效方法是对系统施加单位冲击信号； 系统冲激响应指当零状态系统输入为单位冲激信号时系统的输出，LTI系统的特性完全可以用冲激响应完全表征： 系统对任意信号的响应，可以通过计算该信号与系统冲激响应的线性卷积来获得；

线性卷积 令 卷积定义： 任意信号的单位冲击序列表示: 假设存在一个线性系统： LTI P48 例2-17 Thursday, November 08, 2018 线性卷积 任意信号的单位冲击序列表示: 假设存在一个线性系统： LTI 令 卷积定义： P48 例2-17

例3.1 已知离散时间系统定义 求系统的单位冲击响应 求系统对给输入定序列的输出 Thursday, November 08, 2018 例3.1 已知离散时间系统定义 求系统的单位冲击响应 求系统对给输入定序列的输出 Solution: (1) 系统为LTI系统（证明略），因此

Thursday, November 08, 2018

例3.2 已知离散时间系统定义 求系统在输入为 时的输出 Solution:

例3.2 已知离散时间系统定义 求系统在输入为 时的输出 求系统在输入为 时的输出 Case 1: if n<0, there is no overlap. Therefore, Case 2: if 0≤n<9, there is a overlap region, [0, n] where both x(n) and h(n) are non-zero. We have Case 3: if n≥9, the overlap is within [0, 9], therefore,

卷积 1. 交换律 2. 分配率

卷积 3. 结合律

Thursday, November 08, 2018 z变换

z变换 假设有离散时间序列x(n)，z变换把时域中的离散序列变换成z域中的复变函数，令 ，如下定义： 将z变换的和式展开有： 收敛域（RoC）：使序列z变换幂级数绝对收敛的z值的集合

z变换 为什么要引入z变换？ 序列的z变换是z平面上的一个函数，平面横轴表示复数变量z的实部，纵轴表示复数变量z的虚部。

例3.3 已知 求序列的z变换： Solution: 单位抽样序列的z变换是个常数，显然无论z取何值，z变换都收敛，因此它收敛域为整个z平面。

例3.4 已知 , 求序列的z变换： Solution: 若 ，则上式收敛，即当 时，有 这个z变换的收敛域为圆外区域

例3.5 已知 求序列的z变换： Solution: 要使上式收敛，必有 ，即 这个z变换的收敛域为圆内区域

z变换的收敛域 x(n)=0 n<N1 or n>N2 1. 有限长序列（Finite Length Sequence） 这里N2>N1 。序列的z变换为: 要使这个和式收敛，在序列x(n)有界的条件下，z变换的收敛域就取决于│z│-n ，n∈[N1, N2]的取值。

z变换的收敛域 1. 有限长序列（Finite Length Sequence） a) N1≥ 0, N2>0, 这时序列z变换为 有限长序列的z变换收敛域为∣z∣>0，即除了z=0外，序列z变换在整个z平面上收敛。 b) N1=N2=0，即x(n)=Aδ(n) ，A为常数，序列的z变换为 它是一个常数，序列的z变换收敛于整个z平面。

z变换的收敛域 1. 有限长序列（Finite Length Sequence） c) N1 <0，N2<0, 序列z变换为 有限长序列的z变换收敛域为∣z∣<∞，即除了z=∞外，在整个z平面上收敛。 d) N1 <0，N2>0, 序列z变换可以写成 有限长序列的z变换收敛域为0<∣z∣<∞，即除了z=0和z=∞外，序列z变换在整个z平面上收敛。

z变换的收敛域 x(n)=0 n<N1 2. 右边序列（ Right-sided Sequence ） 若序列的非零值点仅分布在某一点的右边，即有 x(n)=0 n<N1 则此序列称为右边序列，其z变换为 设序列x(n)为有界序列，假定已知这个序列的z变换X(z)在z=z1处收敛，即有 , 分两种情况讨论这个和式的收敛域

即X(z)至少在|z|≥|z1|的区域内是收敛的，这是一个圆外区域，包含了z=∞处 a). N1≥0时，当|z|≥|z1|时， 即X(z)至少在|z|≥|z1|的区域内是收敛的，这是一个圆外区域，包含了z=∞处 b) N1<0 时, 序列z变换的收敛域为∞>|z|≥|z1| ，这是一个圆外区域，不包括z=∞处

z变换的收敛域 x(n)=0 n>N2 3. 左边序列（ Left-sided Sequence ） 若序列的非零值点仅分布在某一点的左边，即有 x(n)=0 n>N2 称此序列为左边序列。其z变换为 用类似于右边序列的讨论，假定X(z)在z=z2处收敛，即有

a) N2≤0，对所有∣z∣≤∣z2∣ 有 X(z)的收敛域是个圆内区域，且包含了z=0处。 b) N2>0，序列的z变换可以写成 这时序列z变换的收敛域为一个圆内区域，但不包含z=0点。

z变换的收敛域 3. 双边序列（ Two-sided Sequence ） 若序列x(n)的非零值点分布在整个整数集上，则此序列称为双边序列。 第一个和式的收敛域为包括z平面原点的一个圆内区域，设为∣z∣<R+ ; 第二个和式的收敛域为包括无穷远处的一个圆外区域,设为∣z∣>R- 当R+>R－时，两个和式圆环公共的收敛区域：R-<∣z∣<R+ 如果R+<R－，没有公共区域，因此这时双边序列的z变换不存在

例3.6 求序列的收敛域

常用z变换

移位序列的单边z变换 双边z变换： 单边z变换： 移位序列双边z变换

移位序列的单边z变换 1. 右移位序列单边z变换 因果序列：

移位序列的单边z变换 2. 左移位序列单边z变换

逆z变换 逆z变换的定义为： C为收敛域内反时针包围z平面坐标原点的闭合曲线。

例3.7 已知X (z) ，求x(n)。 Solution:

LTI系统(传递)函数 可以由卷积求出: 一个LTI系统对任意输入 ， 输出响应 ， 单位抽样响应为 ， 根据时域卷积定理，在z域中: 输出响应 ， 单位抽样响应为 ， 根据时域卷积定理，在z域中: 被称为系统函数

Thursday, November 08, 2018 差分方程

差分方程 与连续系统的微分方程相对应，离散线性时不变系统可以用差分方程描述其特性： 如果系数aN 不为零，则被称为N阶差分方程 Thursday, November 08, 2018 差分方程 与连续系统的微分方程相对应，离散线性时不变系统可以用差分方程描述其特性： 如果系数aN 不为零，则被称为N阶差分方程 求解差分方程，可以直接得到系统对特定输入的响应结果，方法与求解微分方程类似。

差分方程 求解差分方程的方法： 迭代法； 齐次解+特解； 零输入+零响应； z变换法； Thursday, November 08, 2018 差分方程 求解差分方程的方法： 迭代法； 齐次解+特解； 零输入+零响应； z变换法；

求解差分方程：迭代法 例3.8 用迭代法求解下面的差分方程： 初始条件 输入信号 Solution:

求解差分方程：齐次解+特解 例3.9 求下面的差分方程表示系统输出 其中 step 1: 写出特征方程 step 2: 求解特征根 Thursday, November 08, 2018 求解差分方程：齐次解+特解 其中 例3.9 求下面的差分方程表示系统输出 step 1: 写出特征方程 step 2: 求解特征根 step 3: 写出齐次解 step 4: 求出特解 step 5: 求出全解，根据初值（初始状态）确定待定参数

求解差分方程：齐次解+特解 例3.9 求下面的差分方程表示系统输出 其中 特征方程： 齐次解： 通过观察，可假设特解具有与输入类似的形式： Thursday, November 08, 2018 求解差分方程：齐次解+特解 其中 例3.9 求下面的差分方程表示系统输出 特征方程： 齐次解： 通过观察，可假设特解具有与输入类似的形式： 把特解带入差分方程，得到

求解差分方程：齐次解+特解 例3.9 求下面的差分方程表示系统输出 其中 全解 根据初始状态求得系统初值： Thursday, November 08, 2018 求解差分方程：齐次解+特解 其中 例3.9 求下面的差分方程表示系统输出 全解 根据初始状态求得系统初值：

求解差分方程：齐次解+特解 例3.9 求下面的差分方程表示系统输出 其中 把全解的表达式带入差分方程： 方程的全解为 Thursday, November 08, 2018 求解差分方程：齐次解+特解 其中 例3.9 求下面的差分方程表示系统输出 把全解的表达式带入差分方程： 方程的全解为

用单边z变换求解差分方程 单边z变换 系统初始状态 输入信号若为因果序列，此项为零

求解差分方程：用z变换求解 例3.10 已知一个LTI因果离散时间系统的差分方程为 求：1.系统的单位抽样响应; 2. 单位阶跃响应。 Solution: 1. 对差分方程两边求z变换得： 系统函数为 求逆z变换得系统的单位抽样响应

求解差分方程：用z变换求解 例3.10 已知一个LTI因果离散时间系统的差分方程为 求：1.系统的单位抽样响应; 2. 单位阶跃响应。 Solution: 2. 代入输入信号x(n)=u(n)的z变换 用部分分式法展开 求逆z变换得到单位阶跃响应为

求解差分方程：用z变换求解 例3.11 用z变换法求解下面的差分方程： 初始条件 输入信号 Solution:

Thursday, November 08, 2018 求解差分方程：齐次解+特解 其中 例3.12 求下面的差分方程表示系统输出