第一部分 初等数学方法 第一章 建模示例

第一节 选举中的席位分配 一. 比例代表制 例：有A、B、C、D四个政党，代表50万选民，各政党的选民数为： 要选出5名代表： A党：2席 B党：1席 C党：1席 D党：0席 缺少1席，如何分配这最后一席呢？

第一节 选举中的席位分配 最大余数法 按每10万选民1席分配后，按余数大小排序，多余的席位分给余数较大的各党。 党名 代表选民数 整数席 余 数 余额席 总席数 A 199,000 1 99,000 1 2 B 127,500 1 27,500 0 1 C 124,000 1 24,000 0 1 D 49,500 0 49,500 1 1

第一节 选举中的席位分配 洪德(dHondt)规则 分配办法是：把各党代表的选民数分别被1、2、3、…除，按所有商数的大小排序，席位按此次序分配。即若A党的人数比D党的人数还多，那么给A党3席、给D党0席也是合理的。 除数 A党 B党 C党 D党 1 199,000(1) 127,500(2) 124,000(3) 49,500 2 99,500 (4) 63,750 62,000 24,750 3 66,333 (5) 42,500 41,333 16,500 4 49,750 31,875 － － 总席位 3 1 1 0

第一节 选举中的席位分配 北欧折衷方案 作法与洪德规则类似，所采用的除数依次为1.4、3、5、7、… A党 B党 C党 D党 2 2 1 0 三种分配方案，得到了完全不同的结果，最大余数法显然对小党比较有利，洪德规则则偏向最大的党，北欧折衷方案对最大和最小党都不利

第一节 选举中的席位分配 二．份额分配法(Quota Method) 一种以“相对公平”为标准的席位分配方法，来源于著名的“阿拉巴玛悖论”(Alabama Paradox)。 美国宪法第1条第2款对议会席位分配作了明确规定，议员数按各州相应的人数进行分配。最初议员数只有65席，因为议会有权改变它的席位数，到1910年，议会增加到435席。宪法并没有规定席位的具体分配办法，因此在1881年，当考虑重新分配席位时，发现用当时的最大余数分配方法，阿拉巴玛州在299个席位中获得8个议席，而当总席位增加为300席时，它却只能分得7个议席。这一怪事被称为有名的“阿拉巴玛悖论”。

问题 系别 学生 比例 20席的分配 人数 （%） 比例 结果 甲 103 51.5 10.3 10 乙 63 31.5 6.3 6 三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。 现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。 若增加为21席，又如何分配。 系别 学生 比例 20席的分配 人数 （%） 比例 结果 甲 103 51.5 10.3 10 乙 63 31.5 6.3 6 丙 34 17.0 3.4 4 总和 200 100.0 20.0 20 系别 学生 比例 20席的分配 人数 （%） 比例 结果 甲 103 51.5 乙 63 31.5 丙 34 17.0 总和 200 100.0 20.0 20 系别 学生 比例 20席的分配 人数 （%） 比例 结果 甲 103 51.5 10.3 乙 63 31.5 6.3 丙 34 17.0 3.4 总和 200 100.0 20.0 20 21席的分配 比例 结果 10.815 11 6.615 7 3.570 3 21.000 21 21席的分配 比例 结果 10.815 6.615 3.570 21.000 21 对丙系公平吗 比例加惯例

“公平”分配方法 衡量公平分配的数量指标 当p1/n1= p2/n2 时，分配公平 若 p1/n1> p2/n2 ，对 不公平 A 人数 席位 A方 p1 n1 B方 p2 n2 当p1/n1= p2/n2 时，分配公平 若 p1/n1> p2/n2 ，对 不公平 A p1/n1– p2/n2 ~ 对A的绝对不公平度 p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10 p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100 p1/n1– p2/n2=5 p1/n1– p2/n2=5 虽二者的绝对不公平度相同 但后者对A的不公平程度已大大降低!

“公平”分配方法 将绝对度量改为相对度量 若 p1/n1> p2/n2 ，定义 ~ 对A的相对不公平度 公平分配方案应使 rA , rB 尽量小 类似地定义 rB(n1,n2) 将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即 设A, B已分别有n1, n2 席，若增加1席，问应分给A, 还是B 不妨设分配开始时 p1/n1> p2/n2 ，即对A不公平

应讨论以下几种情况 初始 p1/n1> p2/n2 1）若 p1/(n1+1)> p2/n2 ， 则这席应给 A 2）若 p1/(n1+1)< p2/n2 ， 应计算rB(n1+1, n2) 3）若 p1/n1> p2/(n2+1)， 应计算rA(n1, n2+1) 问： p1/n1<p2/(n2+1) 是否会出现？ 否! 若rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 则这席应给 A 若rB(n1+1, n2) >rA(n1, n2+1), 则这席应给 B

Q 值方法 当 rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 该席给A rA, rB的定义 该席给A 否则, 该席给B 计算 ， 推广到m方分配席位 Q 值方法 该席给Q值最大的一方

三系用Q值方法重新分配 21个席位 按人数比例的整数部分已将19席分配完毕 用Q值方法分配第20席和第21席 第20席 甲系：p1=103, n1=10 乙系：p2= 63, n2= 6 丙系：p3= 34, n3= 3 用Q值方法分配第20席和第21席 第20席 Q1最大，第20席给甲系 同上 Q3最大，第21席给丙系 第21席 Q值方法分配结果 甲系11席，乙系6席，丙系4席 公平吗？

进一步的讨论 Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？ 席位分配的理想化准则 已知: m方人数分别为 p1, p2,… , pm, 记总人数为 P= p1+p2+…+pm, 待分配的总席位为N。 设理想情况下m方分配的席位分别为n1,n2,… , nm (自然应有n1+n2+…+nm=N)， ni 应是 N和 p1, … , pm 的函数，即ni = ni (N, p1, … , pm ) 记qi=Npi /P, i=1,2, … , m, 若qi 均为整数，显然应 ni=qi

记 [qi]– =floor(qi) ~ 向  qi方向取整； [qi]+ =ceil(qi) ~ 向  qi方向取整. qi=Npi /P不全为整数时，ni 应满足的准则： 记 [qi]– =floor(qi) ~ 向  qi方向取整； [qi]+ =ceil(qi) ~ 向  qi方向取整. 1) [qi]–  ni  [qi]+ (i=1,2, … , m), 即ni 必取[qi]– , [qi]+ 之一 2) ni (N, p1, … , pm )  ni (N+1, p1, … , pm) (i=1,2, … , m) 即当总席位增加时， ni不应减少 “比例加惯例”方法满足 1），但不满足 2） Q值方法满足 2）, 但不满足 1）。令人遗憾！

第二节 商业中心的影响范围 问题：一个城市中，商业如何布局才能为大多数市民提供方便？农村中，如何选择集市贸易的地点以便扩大物资交流？这些都要求我们对商业中心的影响作出估计。 若从经营者的角度考虑，一个商店要获得利润就应吸引足够的顾客，应该估计商店能吸引多远的顾客，高峰销售时间的交通是否方便，因此也要估计商店的影响范围。

第二节 商业中心的影响范围 设A、B为两个商业中心，T表示某顾客去商业中心购物的概率，我们应该考虑T应与哪些因素有关？ 一、是顾客到商业中心的距离D， 二、是商业中心的吸引力F。 即T＝f(D,F)。 为了简单起见，假设F1＝3F2。 为了寻找两个中心的影响区域，我们应该确定顾客到每个中心去的可能性相等的点，即等概率点，它由如下方程确定 f(D1,F1)=f(D2,F2)。

第二节 商业中心的影响范围 由T的含义，它随F及D变化。当F增加时，说明中心的吸引力增加，想去的人应该增多，即T应该增大；再根据一般人就近购物的心理，当D增加时，T应该减少。我们取的形式为

第三节 动物的身长和体重 利用类比方法，借助力学的某些结果，建立动物身长和体重间的比例关系。 把四足动物的躯干看作圆柱体，长度、直径、截面积。将躯干与四肢的接触处看作前后两个接触点，这样这种圆柱体的躯干可以类比作一根支撑在四肢上的弹性梁，以便利用弹性力学的一些研究结果。

第三节 动物的身长和体重 b/l已经达到其最合适的数值，应视为与这种动物的尺寸无关的常数

第四节 房屋保温隔热的经济效益核算 问题：房屋的保温隔热是一笔很大的开支，北方漫长的冬季需要保温供暖，南方炎炎夏季需要降温制冷。据研究，房屋内热量散发的途径中30%是通过墙壁，10%通过窗，25%通过屋顶，其余通过地板等途径散发。一般房屋建造时的主要保温隔热措施是在屋顶上采用10cm隔热材料，对墙和窗则没有采用专门的隔热措施，墙中空隙未加填充，而窗仅用4~6mm的单层玻璃。一些改进的办法可以用聚苯乙烯塑料球或尿素甲醛的化学材料填补空隙，或者采用双层玻璃窗以减小房屋保温隔热的费用。有人说：用填充隔热墙的办法所节约的热量是采用双层玻璃窗的5倍。实际情况如何？需建模定量分析。

第四节 房屋保温隔热的经济效益核算 1 问题的分析 房屋的保温隔热问题涉及两个方面：热交换的物理机理和费用的经济学问题。影响热损失的因素有很多：(1) 室内温度；(2) 室外温度；(3) 传热方式：对流、传导和辐射；(4) 墙面积；(5) 窗面积；(6) 墙的传热性质；(7) 窗的传热性质；(8) 墙厚度；(9) 窗厚度；(10) 保温节省的热量。 影响经济学的因素有：(1) 保温措施的费用；(2) 借款的费用(贷款利息)；(3) 燃料费用；(4) 保温所节约的费用；(5) 双层窗的不同品种。其它因素如舒适性、美观性暂不考虑。

第四节 房屋保温隔热的经济效益核算 (1) 热量散失的机理模型 假设： (a) 热辐射的影响可以忽略。 (b) 热量散失不随时间而改变，即达到了稳定状态。 (c) 热量散失是均匀的，不随墙或窗的位置而改变。

第四节 房屋保温隔热的经济效益核算 (2) 费用分析 (3) 建立费用-效益决策模型