第四章 随机变量的数字特征 数学期望 方差 协方差、相关系数 其它数字特征

问题的提出： 在一些实际问题中，我们需要了解随机变量的分布函数外，更关心的是随机变量的某些特征。

在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的是平均产量； 例： 在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的是平均产量； 在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度； 考察杭州市区居民的家庭收入情况，我们既知家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异程度。

例: 谁的技术比较好? 甲射手 乙射手 试问哪个射手技术较好?

解：计算甲的平均成绩： 计算乙的平均成绩： 所以甲的成绩好于乙的成绩。

4.1 数学期望 (一) 数学期望定义 定义：设离散型随机变量X的分布律为 若级数 则称级数 的值为X的数学期望，记为E(X)，即

定义：设连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)，若积分 则称积分 的值为X的数学期望，记为E(X)，即 数学期望简称期望，又称均值。

例1.1 澳门赌场猜大小游戏中有买4点的游戏，游戏规则如下，掷3颗骰子，点数之和为4赌场输，赌场赔率1赔50,否则其押金归赌场所有,问此规则对赌场还是赌客更有利?

解：显然赌客猜中4点的概率为3/216=1/72. 设一赌客押了1元,那么根据规则,他赢50元的概率为1/72, 输1元的概率为71/72. 因此经过一次赌博,他能"期望"得到的金额为: 所以对赌场有利.

例1.2 设随机变量X的分布律为 证明X不存在数学期望. 证明:由于 即该无穷级数是发散的，由数学期望定义知，X不存在数学期望.

例1.3 设随机变量X的概率密度函数为 证明X不存在数学期望. 证明:由于 由数学期望定义知，X不存在数学期望.

例1.7 某厂生产的电子产品,其寿命(单位:年)服从指数分布,概率密度函数为 若每件产品的生产成本为350元,出售价格为500元,并向顾客承诺,如果售出一年之内发生故障,则免费调换一件;如果在三年之内发生故障,则予以免费维修,维修成本为50元.在这样的价格体系下,请问:该厂每售出一件产品,其平均净收入为多少?

解：记某件产品寿命为X(年),售出一件产品的净收入为Y(元)，则

即Y的分布律为 Y -200 100 150 p 因此售出一件产品的平均净收入为

(二) 随机变量函数的数学期望

定理的重要意义在于，求E(Y)时，不必算出Y的分布律或概率密度函数，只利用X的分布律或概率密度函数; 可以将定理推广到两个或两个以上随机变量的函数的情况.

例1.9 设随机变量(X,Y)的联合密度函数为： 求E(X),E(XY).

例1.9 设随机变量(X,Y)的联合密度函数为： 求E(X),E(XY).

例1. 10 某商店经销某种商品，每周进货量X与需求量Y是相互独立的随机变量，都~U[10,20]

例1.11 设按季节出售的某种应时产品的销售量X(单位:吨) 服从[5,10]上的均匀分布. 若销售出一吨产品可盈利C1 = 2万元; 但若在销售季节未能售完,造成积压,则每吨产品将会净亏损C2=0.5万元. 若该厂家需要提前生产该种商品,为使厂家能获得最大的期望利润,问:应在该季生产多少吨产品最为合适?

解：设应在该季生产a吨产品 ，所获利润为Y万元，则Y依赖于销售量X及产量a，

(三) 数学期望的性质 1.设C是常数，则有E(C)=C, 2.设X是随机变量, C是常数,则有E(C X)=CE(X), 3.设X,Y是随机变量, 则有E(X+Y)=E(X)+E(Y), 合起来为E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y) +c. 推广到任意有限个随机变量线性组合：

4.设X,Y是相互独立随机变量, 则有 E(XY)=E(X) E(Y), 推广到任意有限个相互独立随机变量之积：

证明： 下面仅对连续型随机变量给予证明

例1. 13 一专用电梯载着12位乘客从一层上升，最高11层. 假设中途没有乘客进入，每位乘客独立等概率地到达各层 例1.13 一专用电梯载着12位乘客从一层上升，最高11层.假设中途没有乘客进入，每位乘客独立等概率地到达各层.如果没有乘客到达某层楼，电梯在该层就不停.记电梯停留次数为X，求E(X). (设电梯到达11层后乘客全部下完)

解：引入随机变量：

本题是将X分解成数个随机变量之和，然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望之和来求数学期望，这种处理方法具有一定的普遍意义。

4.2 方差 设有一批灯泡寿命为：一半约950小时，另一半约1050小时→平均寿命为1000小时； 另一批灯泡寿命为：一半约1300小时，另一半约700小时→平均寿命为1000小时； 问题：哪批灯泡的质量更好？ 单从平均寿命这一指标无法判断，进一步考察灯泡寿命X与均值1000小时的偏离程度。 方差─正是体现这种意义的数学特征。

(一) 方差的定义 定义 设X是随机变量，若 存在， 则称其为X的方差，记为Var(X)或D(X),即 方差Var(X)刻画了X取值的分散程度，若 X取值比较集中，则Var(X)较小，反之，若X取值比较分散，则Var(X)较大.因此Var(X)是衡量X取值分散程度的一个指标.

对于离散型随机变量X， 对于连续型随机变量X，

此外，利用数学期望的性质，可得方差的计算公式：

例2.1设随机变量X具有0-1分布，其分布律为： 解：

解：X的密度函数为：

例2.4 设随机变量X服从指数分布，其密度函数为：

(二)方差的性质：

推广到任意有限个独立随机变量线性组合的情况

证明：

Xk p 1 1-p

表1 几种常见分布的均值与方差 分布 分布率或 密度函数 0－1分布 p p(1-p) np np(1-p) 数学期望 方差 二项分布B(n,p) np np(1-p) 泊松分布 均匀分布U(a,b) 指数分布 正态分布 数学期望 方差

定义：设随机变量X具有数学期望

4.3 协方差与相关系数 协方差的计算公式： 方差性质的补充：

协方差的性质：

思考题：

定义 称为X与Y的相关系数. 它无量纲的量. 相关系数的性质:

续

续

例3.1 设X,Y服从同一分布，其分布律为： X -1 0 1 p 1/4 1/2 1/4 已知 , 判断X和Y是否不相关？是否独立？

续

4.4 其它数字特征

4.5 多元随机变量的数字特征

利用协方差矩阵，可由二元正态变量的概率密度推广，得到n元正态变量的概率密度。

n元正态变量具有以下四条重要性质：

课件待续! 2018/11/10