第三章 多维随机变量及其分布 §2 边缘分布 边缘分布函数 边缘分布律 边缘概率密度

第三章 多维随机变量及其分布 §2 边缘分布 一、边缘分布函数 1）边缘分布的定义： 边缘分布也称为边沿分布或边际分布．

{ } { } ( ) { } { } ( ) ( ) ( ) y Y P £ = y Y X P £ +¥ < = ， y F ， 第三章 多维随机变量及其分布 §2 边缘分布 2）已知联合分布函数求边缘分布函数 的分布函数为 则分量 X ( ) x F X { } x X P £ = { } +¥ < £ = Y x X P ， ( ) ¥ + = ， x F 的分布函数为 同理，分量 Y ( ) y F Y { } y Y P £ = { } y Y X P £ +¥ < = ， ( ) y F ， ¥ + =

( ) ( ) 例1 y F ， ¥ - = ¥ - = ， x F ø ö ç è æ - + = 2 arctan p C x B A 第三章 多维随机变量及其分布 §2 边缘分布 例1 ø ö ç è æ - + = 2 arctan p C x B A ( ) ¥ - = ， x F ø ö ç è æ + - = 3 arctan 2 y C B A p ( ) y F ， ¥ - =

( ) ( ) ø ö ç è æ + = 2 arctan 1 x p 的边缘分布函数为 ⑵ X ¥ = ， x F 由以上三式可得， p 第三章 多维随机变量及其分布 §2 边缘分布 ． ， 2 1 p = C B A 由以上三式可得， p ø ö ç è æ + = 3 arctan 2 1 ) , ( y x F 则 的边缘分布函数为 ⑵ X ( ) ¥ = ， x F X ø ö ç è æ + = +¥ ® 3 arctan 2 1 lim y x p ø ö ç è æ + = 2 arctan 1 x p ( ) ¥ + - Î ， x

( ) ( ) y F ， ¥ = ø ö ç è æ + = 3 arctan 2 1 y p ¥ + - Î ， y 的边缘分布函数为 第三章 多维随机变量及其分布 §2 边缘分布 的边缘分布函数为 同理， Y ( ) y F Y ， ¥ = ø ö ç è æ + = +¥ ® 3 arctan 2 1 lim y x p ø ö ç è æ + = 3 arctan 2 1 y p ( ) ¥ + - Î ， y

{ } å { } { } { } å å å x X P p = = y Y x X P ， y Y P p = = p 的分布律为： 第三章 多维随机变量及其分布 §2 边缘分布 二、已知联合分布律求边缘分布律 的分布律： 现求随机变量 X { } i x X P p = . { } å = j i y Y x X P ， å = j ij p 的分布律为： 同理，随机变量 Y å = i ij p { } j y Y P p = . { } å = i j y Y x X P ，

第三章 多维随机变量及其分布 §2 边缘分布

{ } { } { } ( ) j Y i X P p = ， 时， 当 j i < 解： 时，由乘法公式，得 当 j i ³ j Y 第三章 多维随机变量及其分布 §2 边缘分布 例 2 ( ) 分布律． 各自的边缘 及 的联合分布律与 ， 试求 记为 中随机地取出一个数， 到 再从 个数中随机取出一个， 这 从 Y X 1 4 3 2 解： ， 的可能取值都是 与 4 3 2 1 Y X ， 而且 Y X ³ { } j Y i X P p ij = ， 时， 当 j i < 时，由乘法公式，得 当 j i ³ { } j Y i X P p ij = ， i 4 1 = { } i X j Y P =

å å ( ) 例 2（续） = p = 及 p 的边缘分布律为 及 与 ， 可得 Y X 再由 第三章 多维随机变量及其分布 第三章 多维随机变量及其分布 §2 边缘分布 例 2（续） å = j ij i . p å = i ij . j p 及 再由 ( ) 的边缘分布律为 及 与 ， 可得 Y X

ò ( ) ( ) ( ) ( ) { } ú û ù ê ë é = du dy y u f ， x f x X P F £ = 由 ¥ 第三章 多维随机变量及其分布 §2 边缘分布 三、已知联合密度函数求边缘密度函数 的边缘密度函数： 求随机变量 X ( ) x f X ( ) { } x X P F £ = 由 ( ) ¥ + = ， x F ( ) ò ¥ - +¥ ú û ù ê ë é = x du dy y u f ，

ò ( ) ( ) ( ) { } ú û ù ê ë é = dv dx v x f ， y F ， ¥ + = y Y P F £ = 第三章 多维随机变量及其分布 §2 边缘分布 同理，由 ( ) { } y Y P F £ = ( ) y F ， ¥ + = ( ) ò ¥ - +¥ ú û ù ê ë é = y dv dx v x f ，

第三章 多维随机变量及其分布 §2 边缘分布 例 3 y o y=x y=x2 1 D

ò ( ) ( ) î í ì Ï Î = D y x f ， 6 ø ö ç è æ - = x = dy dx A 3 1 2 - = 第三章 多维随机变量及其分布 §2 边缘分布 例 3（续） 解： 的面积为 区域 ⑴ D 1 3 2 ø ö ç è æ - = x ò = x dy dx A 2 1 3 1 2 - = 6 1 = ( ) 的联合密度函数为 ， 所以，二维随机变量 Y X y ( ) î í ì Ï Î = D y x f ， 6 y=x D y=x2 o x 1

( ) ò ò ( ) ( ) ( ) = dy 6 6 x - = 的边缘密度函数为 随机变量 ⑵ X = dy y x f ， 所以， 第三章 多维随机变量及其分布 §2 边缘分布 例 3（续） 的边缘密度函数为 随机变量 ⑵ X 时， 当 1 < x ( ) î í ì Ï Î = D y x f ， 6 ( ) ò +¥ ¥ - = dy y x f X ， ò = x dy 2 6 ( ) 2 6 x - = y y=x 所以， ( ) î í ì < - = . , 1 6 2 其它 x f X y=x2 o 1 x

( ) ò ò ( ) ( ) = dx 6 y - = 6 = dx y x f ， 时， 当 1 < y î í ì < - 第三章 多维随机变量及其分布 §2 边缘分布 例 3（续） 的边缘密度函数为 同理，随机变量 Y 时， 当 1 < y ( ) ò +¥ ¥ - = dx y x f Y ， ò = y dx 6 y ( ) y - = 6 所以， ( ) î í ì < - = . , 1 6 其它 y f Y o x 1

ò ò ( ) ( ) ( ) = dxdy y x f ， 1 = dx cxe dy 的边缘密度函数． 及 ⑵ Y X ； 常数 第三章 多维随机变量及其分布 §2 边缘分布 例 4 ( ) 的联合密度函数为 ， 设二维连续型随机变量 Y X ( ) î í ì +¥ < = - 其它 ， y x cxe f ； 常数 试求：⑴ c 的边缘密度函数． 及 ⑵ Y X 解： 由密度函数的性质，得 ⑴ ( ) ò +¥ ¥ - = dxdy y x f ， 1 ò - +¥ = y dx cxe dy

ò ò ò ( ) ( ) ( ) = xe = dy e y c 时， 当 > x = dy y x f ， î í ì £ 第三章 多维随机变量及其分布 §2 边缘分布 例 4（续） ò +¥ - = 2 dy e y c . 2 c = . 1 = c 所以， ( ) î í ì +¥ < = - 其它 ， y x xe f (2) 时， 当 > x ( ) ò +¥ ¥ - = dy y x f X ， ò +¥ - = x y dy xe x xe - = 的边缘密度函数为 所以， X ( ) î í ì £ > = - x xe f X

ò ò ( ) ( ) ( ) e = 1 = dx xe 时， 当 ⑶ > y = dx y x f ， 的边缘密度函数为 所以， 第三章 多维随机变量及其分布 §2 边缘分布 例 4（续） ( ) î í ì +¥ < = - 其它 ， y x xe f 时， 当 ⑶ > y ( ) ò +¥ ¥ - = dx y x f Y ， ò - = y dx xe y e - = 2 1 的边缘密度函数为 所以， Y ( ) ï î í ì £ > = - 2 1 y e f Y

( ) ( ) 的边缘密度函数． 及 试求 Y X 的联合密度函数为 ， Y X 解： 例 5 r N Y X ， 设二维随机变量 ~ s 第三章 多维随机变量及其分布 §2 边缘分布 例 5 ( ) r N Y X ， 设二维随机变量 2 1 ~ s m 的边缘密度函数． 及 试求 Y X 解： ( ) 的联合密度函数为 ， Y X

第三章 多维随机变量及其分布 §2 边缘分布 ( ) ò +¥ ¥ - = dy y x f X ，

第三章 多维随机变量及其分布 §2 边缘分布 所以，

第三章 多维随机变量及其分布 §2 边缘分布

第三章 多维随机变量及其分布 §2 边缘分布 结 论 1: ( ) , ~ 2 1 r N Y X ， 即若 s m 结 论 2:

( ) ( ) ( ) ~ r N Y X ， s m 的分布相同， 与 但是 X 的分布相同． 与 Y ~ r N Y X ， s m 第三章 多维随机变量及其分布 §2 边缘分布 结 论 3: ( ) 1 2 ~ r N Y X ， s m ( ) 2 1 ~ r N Y X ， s m ）， （其中 2 1 r ¹ ( ) 的分布不相同， ， 与 则 2 1 : Y X 的分布相同， 与 但是 2 1 X 的分布相同． 与 2 1 Y 说明：边缘分布可由联合分布唯一确定，反之不然， 即：不能由边缘分布确定联合分布。

1 二维随机变量的边缘分布与联合分布的关系： 第三章 多维随机变量及其分布 §2 边缘分布 小结： 1 二维随机变量的边缘分布与联合分布的关系： 边缘分布可由联合分布唯一确定，但不能由边 缘分布确定联合分布。 2 二维正态分布的性质。 难点：求边缘分布时如何确定积分区域及边缘 密度不为零的范围。

第三章 多维随机变量及其分布 §2 边缘分布 作业：P84-85: 1, 3， 5, 7, 9