第一章 晶体结构 第二章 晶体的结合 第三章 晶格的热振动 第四章 金属电子论 第五章 电子的能带论 第六章 半导体电子论 第七章 固体磁性 第八章 固体超导 1 布洛赫定理与布洛赫波 2 近自由电子近似方法 3 紧束缚近似方法 4 其他方法 5 能带电子的态密度 6 布洛赫电子的准经典运动 7 布洛赫电子在恒定电场中的准经典运动 8 布洛赫电子在恒定磁场中的准经典运动 9 能带论的局限性

两个具体近似方案 近自由电子近似：晶体势场的周期起伏比较弱，周期势能可以看成是对自由电子情况的微扰。 紧束缚近似：晶体势场的周期起伏很大，晶体中的电子比较紧地束缚于某一原子附近，周期势场可以看成是对原子势场的微扰。

2 近自由电子近似 纯光学方法处理 没有具体势能形式的推导 重要实例：1d Kronig-Penney model严格解 1d 3d 微扰论 2 近自由电子近似 纯光学方法处理 没有具体势能形式的推导 1d 3d 微扰论 能带结构，能隙 与布洛赫定理的吻合 重要实例：1d Kronig-Penney model严格解 新的思路：从傅里叶分解的第一个开始做起！

推导的故事梗概 1d， H = H0 + V, H0 为自由电子, 解为平面波, 能谱 E0(k) ~ k 2 非简并微扰论在1st BZ边界出了问题？？？能量修正出现发散！！ 分析：问题在于 k = n p /a 与 k’= - n p /a 能级发生简并， 这两个能量态 |k>, |k’> 会强烈混合 在BZ边界附件使用简并微扰法，得到能级劈裂结果，发现能隙！ 分析及讨论发现的能带结构，能隙是多少？（波函数暂略） 2d, 3d, 照此办理，区别在于：有3个方向，可能发生能带交叠 找一个有严格解的实例 (Kronig-Penny model)，让思路更加完美

一维周期场中电子运动的近自由电子近似 1. 模型和微扰计算 近自由电子近似模型 —— 金属中电子受到原子 实周期性势场的作用 —— 金属中电子受到原子 实周期性势场的作用 —— 假定势场的起伏较小 零级近似 —— 用势场平均值代替原子实产生的势场 周期性势场的起伏量作为微扰来处理

1）零级近似下电子的能量和波函数 —— 空格子中电子的能量和波函数 一维N个原子组成的金属，金属的线度 零级近似下 薛定谔方程 波函数和能量本征值

满足周期边界条件 —— l 为整数 k 在第一布里渊区(1st BZ) ！ 波函数满足 正交归一化 2）微扰下电子的能量本征值 哈密顿量

根据微扰理论，电子的能量本征值 一级能量修正

二级能量修正 —— —— 按原胞划分写成 —— 引入积分变量

利用势场函数的周期性 i) ii)

将 和 代入

二级能量修正式

计入微扰后电子的能量

3）微扰下电子的波函数 电子的波函数 波函数的一级修正

计入微扰电子的波函数

令 可以证明 电子波函数 —— 具有布洛赫函数形式

 电子波函数的意义 i) 电子波函数和散射波 — 波矢为k的前进的平面波 — 平面波受到周期性势场作用产生的散射波 散射波的波矢 相关散射波成份的振幅

入射波波矢 散射波成份的振幅 波函数一级修正项 —— 非简并微扰法不再适用了

ii) 电子波函数和不同态之间的相互作用 在原来的零级波函数 中 掺入与它有微扰矩阵元的其它零级波函数 —— 它们的能量差越小 掺入的部分就越大

当 时 —— 两个状态具有相同的能量 —— 导致了波函数的发散

 电子能量的意义 二级能量修正 当 —— 电子的能量是发散的 —— k和k’两个状态具有相同的能量，k和k’态是简并的

4）电子波矢在 附近的能量和波函数 —— 简并微扰问题中，波函数由简并波函数线性组合构成 状态 —— 是一个小量 周期性势场中，对其有主要影响的状态 —— 只考虑影响最大的状态，忽略其它状态的影响

状态 对状态 的影响

简并波函数 薛定谔方程 考虑到 得到

分别以 或 从左边乘方程，对 x 积分 利用 线性代数方程 a, b有非零解 能量本征值

i) 波矢k离 较远，k状态的能量和状态k’差别较大 将 按 泰勒级数展开

—— k和k’能级相互作用的结果是原来能级较高的k’提高 —— 量子力学中微扰作用下，两个相互影响的能级，总是 原来较高的能量提高了，原来较低的能量降低了 —— 能级间“排斥作用”

ii) 波矢k非常接近 ，k状态的能量和k’能量差别很小 将 按 泰勒级数展开

结果分析 i) 两个相互影响的状态k和k’微扰后，能量变为E+和E-，原来能量高的状态 ，能量提高；原来能量低的状态 能量降低

两个相互影响的状态k和k’微扰后，能量变为E+和E-

ii) 当   0 时 ——  > 0,  < 0 两种情形下完全对称的能级图 —— A和C、B和D代表同一状态 —— 它们从>0, <0两个方向当0的共同极限

2. 能带和带隙（禁带） —— 零级近似下，将电子看作是自由粒子，能量本征值曲线为抛物线 —— 微扰情形下：电子的k不在n/a附近时，与k状态相互作用的其它态的能量与k状态的零级能量相差大 即满足 —— k状态不计二级能量修正 —— 抛物线

当电子的 和 两种情形时 存在一个的态 ，和 状态能量相同 在 存在一个的态 ，和 状态能量相近 —— 微扰计算中，只考虑以上两种状态之间的相互作用 由于周期性势场的微扰，能量本征值在 处断开 能量的突变

能量本征值在 断开 两个态的能量间隔 —— 禁带宽度

电子波矢取值 —— 对于一个l，有一个量子态k 能量本征值 —— 当N很大时，Ek视为准连续 能量本征值在 处断开 —— 由于晶格周期性势场的影响，晶体中电子准连续的能级分裂为一系列的能带

 结果分析讨论 1) 能带底部，能量向上弯曲；能带顶部，能量向下弯曲

2) 禁带出现在波矢空间倒格矢的中点处

3) 禁带的宽度 —— 取决于金属中势场的形式

 能带及一般性质 自由电子的能谱是抛物线型 —— 晶体弱周期性势场的微扰，电子能谱在布里渊边界 —— 发生能量跃变 产生了宽度 的禁带 —— 在远离布里渊区边界，近自由电子的能谱和自由电子的能谱相近

—— 每个波矢k有一个量子态，当晶体中原胞的数目趋于无限大时，波矢k变得非常密集，这时能级的准连续分布形成了一系列的能带 —— 各能带之间是禁带, 在完整的晶体中，禁带内没有允许的能级

—— 一维布喇菲格子，能带序号、能带所涉及波矢k的范围 和布里渊区的对应关系 第一布里渊区 第二布里渊区 第三布里渊区

一维布喇菲格子，能带序号、波矢k和布里渊区对应关系

—— 每个能带中包含的量子态数目 波矢k的取值 — k的数目 每个能带对应 k 的取值范围 各个能带k的取值数目 —— 原胞的数目 —— 计入自旋，每个能带中包含2N个量子态

 电子波矢和量子数－简约波矢的关系 平移算符本征值量子数k（简约波矢，计为 ）和电子波矢k之间的关系 简约波矢 的取值范围 —— 第一布里渊区 近自由电子中电子的波矢 —— l 为整数 在一维情形中 —— m为整数

电子的波函数 可以表示为 —— 晶格周期性函数

将 代入

—— 晶格周期性函数 晶体中电子的波函数 —— 利用电子波矢和简约波矢的关系，电子在周期性势场中的波函数为布洛赫函数

 用简约波矢来表示能级 —— 电子的能级 —— m为整数

—— 简约波矢的取值被限制在简约布里渊区，要标志一个状态需要表明： 1)  它属于哪一个能带（能带标号） 2)  它的简约波矢 是什么？ 第一能带位于简约布里渊区，其它能带可以通过倒格矢 移到简约布里渊区 —— 每一个能带在简约布里渊区都有各自的图像，得到所有能带在简约布里渊区的图像

电子波矢 k 和简约波矢 的关系

——　周期性势场的起伏只使得不同能带相同简约波矢 的状态之间相互影响 —— 对于一般的 （远离布里渊区边界）这些状态间的能量相差较大，在近自由电子近似的微扰计算中，采用非简并微扰

简约波矢 及其 附近，存在两个能量相同或能量相近的态，需要简并微扰理论来计算 结果表明在 和 不同能带之间出现带隙— 禁带

 用简约波矢来表示零级波函数 零级波函数 将 代入得到 —— 与用简约波矢表示能带一样，必须指明波函数属于哪一个能带

三维周期场中电子运动的近自由电子近似 1. 模型和微扰计算 —— 电子受到粒子周期性势场的作用，势场的起伏较小, 零级近似，用势场的平均值代替离子产生的势场 势场的平均值 周期性势场起伏量 —— 微扰来处理 电子的波动方程 晶格周期性势场函数

零级近似下电子的能量和波函数 —— 空格子中电子的能量和波函数 金属 —— 个原胞构成，体积 零级哈密顿量 薛定谔方程 电子的波函数 能量本征值

—— 周期性边界条件 电子的波矢 —— 在 空间中均匀分布的点 每个代表点的体积 状态密度

电子的零级本征波函数 满足正交归一化条件

 微扰时电子的能量和波函数 —— 近自由电子近似模型 微扰的情形 微扰后电子的能量 电子的波函数

电子的能量 一级能量修正 二级能量修正

电子的波函数 一级修正 矩阵元 的计算 引入积分变量

应用

当上式中 —— 为整数 则有 任意一项不满足 则有

波函数一级修正 电子的波函数

波函数 因为 波函数 —— 不变 波函数可以写成自由电子波函数和晶格周期性函数乘积

微扰后电子的能量

当 和 的零级能量相等 —— 一级修正波函数和二级能量修正趋于无穷大

—— 三维晶格，波矢在倒格矢垂直平分面上以及附近的值，非简并微扰不再适用

简单立方晶格中的倒格子空间 A和A’两点相差倒格矢 —— 两点零级能量相同 —— 四点相差一个倒格矢，零级能量相同 —— 三维情形中，简并态的数目可能多于两个

2. 布里渊区和能带 简单立方晶格k空间的二维示意图 —— 在k空间把原点和所有倒格矢中点的垂直平分面画出，k空间分割为许多区域 —— 每个区域内E~k是连续变化的，而在这些区域的边界上能量E(k)发生突变，这些区域称为布里渊区

—— 属于同一个布里渊区的能级构成一个能带 —— 不同的布里渊区对应不同的能带 —— 每一个布里渊区的体积相同，为倒格子原胞的体积 —— 每个能带的量子态数目：2N （计入自旋） —— 三维晶格中，不同方向上能量断开的取值不同，使得不同的能带发生重叠

二维正方格子 —— 第一布里渊区在k方向上能量最高点A，k’方向上能量最高点C —— C点的能量比第二布里渊区B点高

—— 第一布里渊区和第二布里渊区 能带的重叠

用简约波矢 表示能量和波函数 能量和波函数 —— 必须同时指明它们属于哪一个能带

3. 几种晶格的布里渊区 1) 简单立方格子 正格子基矢 倒格子基矢 —— 简单立方格子 —— 第一布里渊区为原点和6个近邻格点的垂直平分面围成的立方体

—— 第一布里渊区

2) 体心立方格子 —— 正格子基矢 —— 倒格子基矢 — 边长 的面心立方格子 —— 第一布里渊区为原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体

—— 第一布里渊区 原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体

体心立方格子第一布里渊区各点的标记

3) 面心立方格子 —— 正格子基矢 — 边长 的体心立方格子 —— 倒格子基矢 —— 第一布里渊区为原点和8个近邻格点连线的垂直平分面围成的正八面体，和沿立方轴的6个次近邻格点连线的垂直平分面割去八面体的六个角，形成的14面体

—— 第一布里渊区 —— 八个面是正六边形 —— 六个面是正四边形

—— 第一布里渊区为十四面体 —— 布里渊区中某些对称点和若干对称轴上的点能量较为容易计算，这些点的标记符号 布里渊区原点 六方面的中心 计为 轴 —— 方向 四方面的中心 计为 轴 —— 方向

—— 将零级近似下的波矢k移入简约布里渊区，能量变化的图像，图中定性画出了沿轴的结果

Kronig–Penney model 能谱？ Particle in a one-dimensional lattice - Wikipedia, the free encyclopedia.pdf 能谱？