第 9 章 弯 曲 §9-1 剪力和弯矩. 剪力和弯矩图 §9-2 剪力图和弯矩图的进一步研究 §9-3 弯曲正应力 第 9 章 弯 曲 §9-1 剪力和弯矩. 剪力和弯矩图 §9-2 剪力图和弯矩图的进一步研究 §9-3 弯曲正应力 §9-4 惯性矩的平行移轴公式 §9-5 弯曲切应力 §9-6 梁的强度条件 §9-7 挠度和转角 §9-8 斜弯曲 §9-9 弯曲应变能 §9-10 超静定梁

§9-1 剪力和弯矩. 剪力和弯矩图 梁：在外力作用下主要发生弯曲变形的杆件。 l F A B

l F A B a b m x FA FB x y FB l-x A FA FS M F

由上图可知，其横截面上的内力根据截面一边分离体的平衡条件有：位于横截面平面内的剪力FS 和位于纵向平面内的弯矩M。 x y FB l-x A FA FS M F 由上图可知，其横截面上的内力根据截面一边分离体的平衡条件有：位于横截面平面内的剪力FS 和位于纵向平面内的弯矩M。 现分析如何求解剪力FS和弯矩M。

分析梁左段任意横截面m－m上的剪力，由 ∑Fy = 0 ，FA - FS = 0 得 FS = FA 而弯矩，则由 x y FB l-x A FA FS M F m 分析梁左段任意横截面m－m上的剪力，由 ∑Fy = 0 ，FA - FS = 0 FS = FA 得 而弯矩，则由 ∑MC(F) = 0，M - FA ·x =0 得 M = FA· x =Fbx / l

也可取横截面的右边一段梁作为分离体计算，结果相同，但稍复杂。 正负号 根据变形情况来确定。 剪 力 以使梁的微段发生左上右下的错动者为正；反之为负。 FS d x 左上右下错动 左下右上错动

以使梁的微段发生上凹下凸的变形，即梁的上部受压而下部受拉时为正；反之为负。 弯 矩 以使梁的微段发生上凹下凸的变形，即梁的上部受压而下部受拉时为正；反之为负。 d x M 上凹下凸的变形 d x M 上凸下凹的变形

试求下图所示悬臂梁之任意横截面m-m上的剪力和弯矩。 思考题9-1 试求下图所示悬臂梁之任意横截面m-m上的剪力和弯矩。 x l F A B m (a) M0 (b)

思考题9-1参考答案： FS= - F M= - Fx (a) (b) FS= 0 M=MO x l F A B m (a) M0 (b)

例题 9-1 试求图示截面上（1-1、2-2、3-3）的剪力和弯矩。 解：本题可从右边开始求解，也可从左边开始求 解。从右边开始可先不求支座A处的反力。 1m A B 2 kN 2 kN·m 1 2 3 取右段分析，考虑1-1截 面，有 B FS1 M1 2 kN ∑Fy=0，FS1 - 2 =0，FS1 = 2 kN ∑MC1（F）=0，-M1 - 2·1= 0 M1 = - 2 kN·m

例题 9-1 取右段分析，考虑2-2截面，有 ∑Fy=0， FS2 - 2 =0， FS2 = 2 kN ∑MC2（F）=0， A B 2 kN 2 kN·m 1 2 3 ∑Fy=0， FS2 - 2 =0， FS2 = 2 kN B 2 kN 2 kN·m FS2 M2 ∑MC2（F）=0， -M2 - 2 - 2·1= 0 M2 = - 4 kN·m

例题9-1 取右段分析，考虑3-3截面，有 ∑Fy=0， FS3 - 2 =0， FS3 = 2 kN ∑MC3（F）=0， A B 2 kN 2 kN·m 1 2 3 ∑Fy=0， FS3 - 2 =0， FS3 = 2 kN B 2 kN 2 kN·m FS3 M3 3 ∑MC3（F）=0， -M3 - 2 - 2·2= 0 M3 = - 6 kN·m

例题 9-1 为了验证结果的正确性，可从左边开始进行分析。 先求A处的支座约束力，有 ∑Fx=0，FAx= 0 例题 9-1 为了验证结果的正确性，可从左边开始进行分析。 先求A处的支座约束力，有 ∑Fx=0，FAx= 0 ∑Fy=0，FAy - 2 = 0 1 m B 2 kN 2 kN·m 1 2 3 FAy FAx MA A FAy = 2 kN ∑MA（F）=0， MA - 2 - 2·2= 0 MA = 6 kN·m 下面以左段为研究对象，分析3-3截面上的剪力和弯矩。

例题 9-1 ∑ Fx=0，FAx= 0 ∑Fy=0，FAy – FS3 = 0 FS3=FAy = 2 kN ∑MA（F）=0， B 2 kN 2 kN·m 1 2 3 ∑ Fx=0，FAx= 0 ∑Fy=0，FAy – FS3 = 0 FS3=FAy = 2 kN ∑MA（F）=0， MA +M3= 0 M3=-MA = - 6 kN·m 1 m B 2 kN 2 kN·m 1 2 3 FAy FAx MA A 此结果与取右段分析的结果相同。 FAx FAy MA FS3 M3

从上例看到，梁的横截面上的内力，一般而言，在不同的横截面上有不同的数值。因此有必要作出梁的内力图——剪力图和弯矩图，以直观地表示这些内力随横截面位置变化的情况。 试作图示梁的剪力图和弯矩图。 例题 9-2 解：取轴x与梁的轴线重 合，坐标原点取在梁的左端。以坐标x表示横截面的位置。只要求得x处横截面上的剪力方程和弯矩方 程，即可画出其内力图。 x q l A B

例题 9-2 根据左段分离体的平衡条件便可列出剪力方程和弯矩方程。有 FS(x)=-qx (0≤x＜l) 例题 9-2 x q l A B 根据左段分离体的平衡条件便可列出剪力方程和弯矩方程。有 FS(x)=-qx (0≤x＜l) FS O x ql M (x)=-q x2/2 (0≤x＜l) 由此可根据方程作图，剪力为x的一次函数，即剪力图为一斜直线，而弯矩则为x的二次函数，弯矩图为二次抛物线。 x M 2 ql2 O l/2 ql2/8

例题 9-3 右图所示为一受满布均布荷载的简支梁，试作剪力图和弯矩图。 解：此梁的支座约束力根据对称性可知： FA=FB=ql/2 x FA FB 解：此梁的支座约束力根据对称性可知： FA=FB=ql/2 梁的剪力方程和弯矩方程分别为 FS(x)=ql/2-qx (0＜x＜l) M(x)=qlx/2-qx2/2 (0＜x＜l)

例题 9-3 q l A B x FA FB FS ql/2 x M x ql2/8

例题 9-4 图示为一受集中荷载F作用的简支梁。试作其剪力图和弯矩图。 解：根据整体平衡，求得支座约束力 FA=Fb/l, FB=Fa/l 例题 9-4 l A B x FA FB a b F C 解：根据整体平衡，求得支座约束力 FA=Fb/l, FB=Fa/l 梁上的集中荷载将梁分为AC和CB两段，根据每段内任意横截面左侧分离体的受力图容易看出，两段的内力方程不会相同。 FA FS(x) M(x) F FA FS(x) M(x)

例题 9-4 AC段： FS(x)=FA=Fb/l (0＜x＜a) M(x)=Fbx/l (0≤x≤a) CB段： FS(x)=Fb/l-F 例题 9-4 AC段： FS(x)=FA=Fb/l M(x)=Fbx/l (0＜x＜a) (0≤x≤a) FA FS(x) M(x) CB段： FS(x)=Fb/l-F = - Fa/l (a＜x＜l) M(x)=Fbx/l - F(x - a) =Fa(l-x)/l (a≤x≤L) F FA FS(x) M(x)

例题 9-4 AC段： FS(x)=FA=Fb/l (0＜x＜a) M(x)=Fbx/l (0≤x≤a) CB段： FS(x)=Fb/l-F 例题 9-4 l A B x FA FB a b F C AC段： FS(x)=FA=Fb/l M(x)=Fbx/l (0＜x＜a) (0≤x≤a) x FS Fb/l Fa/l CB段： FS(x)=Fb/l-F = - Fa/l (a＜x＜l) M(x)=Fbx/l - F(x - a) =Fa(l-x)/l (a≤x≤L) x M Fab/l

例题 9-4 从剪力图上看到，在集中力作用处剪力发生突变，突变的值等于集中力的大小。 例题 9-4 l A B x FA FB a b F C 发生这种情况是由于把实际上分布在很短区间内的分布力，抽象成了作用于一点的集中 力。 x FS Fb/l Fa/l M Fab/l 如下图所示。

例题 9-4 若将集中力F看为Dx区间上均匀的分布荷载，如左图所示，则在Dx梁段内，剪力从Fb/l沿斜直线过度到 - Fa/l，不存在突变现象。 F Fa/l Fb/l

例题 9-5 简支梁如图所示。试作该梁的剪力图和弯矩图。 解：先求支座约束力 ∑MB(F)=0, 例题 9-5 解：先求支座约束力 FA×0.6+10×0.4×0.2- 2 = 0 ∑MB(F)=0, FA= 2 kN A B C x 0. 2 m 0. 4 m 2 kN·m 10 kN/m FA FB ∑MA(F)=0, FB×0.6-10×0.4×0.4- 2 = 0 FB= 6 kN

例题 9-5 分段列出剪力方程和弯矩方程： AC段： FS(x)= -FA = -2 (0＜x≤0.2 m) 例题 9-5 A B C x 0. 2 m 0. 4 m 2 kN·m 10 kN/m FA FB 分段列出剪力方程和弯矩方程： AC段： FS(x)= -FA = -2 (0＜x≤0.2 m) M(x)= -FA x= -2x FA FS(x) M(x) CB段： FS(x)= -2-10(x-0.2)= -10x (0.2 m≤ x ＜ 0.6m) (0.2 m＜x≤0.6 m) M(x)= -2x+2-10(x-0.2)2 /2 =-5x 2+1.8 FA FS(x) M(x) 2 kN·m 10 kN/m

例题 9-5 AC段： FS(x)= -FA = -2 (0＜x≤0.2 m) M(x)= -FA x= -2x CB段： 2 kN·m 10 kN/m FA FB 例题 9-5 AC段： FS(x)= -FA = -2 (0＜x≤0.2 m) M(x)= -FA x= -2x 2 6 FS /kN x O CB段： FS(x)= -2-10(x-0.2)= -10x (0.2 m≤ x ＜ 0.6m) (0.2 m＜x≤0.6 m) M(x)= -2x+2-10(x-0.2)2 /2 =-5x 2+1.8 x M /kN.m 0.4 1.6 O

例题 9-5 由弯矩图看到，在集中力偶作用处弯矩值发生突变，突变量等于集中力偶之矩。 A B C x 0. 2 m 0. 4 m 2 kN·m 10 kN/m FA FB 例题 9-5 由弯矩图看到，在集中力偶作用处弯矩值发生突变，突变量等于集中力偶之矩。 2 6 FS /kN x O x M /kN.m 0.4 1.6 O

思考题9-2 通过以上四个例题的分析，你能否总结一些画剪力图和弯矩图的规律吗？

试判别下述剪力图和弯矩图是否正确？ 思考题9-3 q 3a A B qa2 2a 5qa/3 qa/3 5qa/3 qa/3 x FS M

思考题9-3参考答案： 剪力图正确， 弯矩图错误。 弯矩图改正 如图所示。 q 3a A B qa2 2a qa/3 5qa/3 qa/3 x FS x M 25qa2/18 4qa2 /3 qa2/3

试求图示各指定的横截面上的剪力和弯矩，并作其剪力图和弯矩图。 思考题9-4 试求图示各指定的横截面上的剪力和弯矩，并作其剪力图和弯矩图。 q A B a 1 2 3 4

思考题9-4参考答案： FS1=0, M1=0 FS2= - qa , M2 = -qa2/2 B a 1 2 3 4

思考题9-4参考答案： q A B a 1 2 3 4 x FS qa x M qa2 2 3 qa2

思考题9-5 求图示折杆中各指定的横截面上的内力。 10kN A B 2m 1m C 1 2 3

思考题9-5参考答案： 1-1 截面 F1=10 kN FS1=0 M1= -10 kN· m 2-2 截面 A B 2m 1m C 1 2 3 1-1 截面 F1=10 kN FS1=0 M1= -10 kN· m 2-2 截面 F2=10 kN , FS2=0 , M2= -10 kN· m 3-3 截面 F3=0, FS3=10kN , M3= -10 kN· m

思考题9-6 作剪力图和弯矩图。 1.2 m 1 m 4 kN 3 kN·m

1.2 m 1 m 4 kN 3 kN·m 思考题9-6参考答案： x FS /kN 4 M /kN· m 3 1

§9-2 剪力图和弯矩图的进一步研究 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系 1. 微分关系的推导 2. 载荷集度、剪力图、弯矩图之间的规律应用

1. 微分关系的推导 载荷集度q(x)是x的连续函数。 规定载荷集度q(x)向上为正。 dx段载荷集度分布均匀。 FS(x)+dFS (x) 1. 微分关系的推导 y A m n B x dx q(x) 载荷集度q(x)是x的连续函数。 规定载荷集度q(x)向上为正。 FS(x) dx M(x)+dM(x) FS(x)+dFS (x) q(x) M(x) C dx段载荷集度分布均匀。

FS(x) + q(x) dx - [FS(x) + dFS (x)] = 0 ΣFy＝0 FS(x) + q(x) dx - [FS(x) + dFS (x)] = 0 —— (1) Σ Mc = 0 M(x) + dM(x) - M(x) - FS (x) dx – [q(x) dx] dx / 2 = 0 FS(x) dx M(x)+dM(x) FS(x)+dFS (x) q(x) M(x) C —— (2) —— (3)

2. 载荷集度、剪力图、弯矩图之间的规律 A B C D E F G H I Fs F1 F2 MO F3 q <0 >0 + 2. 载荷集度、剪力图、弯矩图之间的规律 A B C D E F G H I Fs F1 F2 MO F3 q <0 >0 + _

归 纳： (1) 图 形 规 律 FS q <0 为 直 线 段 =0 >0 M

(2) 突 变 规 律 (a) 在有集中力作用处,剪力图突变,弯矩图有折转。 (b) 在有集中力偶作用处,剪力图无变化,弯矩图有突变。 (3) 绝对值最大的弯矩既可能发生在剪力为零的极值点处,也可能发生在集中力和集中力偶作用处。

3. 应用分析 已知: F=2 kN，M =10 kN · m q =1 kN/m。 求: 梁ABCDE的剪力图及弯矩图。 解： 3. 应用分析 已知: F=2 kN，M =10 kN · m q =1 kN/m。 求: 梁ABCDE的剪力图及弯矩图。 4 m 3 m A B C D E q F M 解： (1) 求约束力 (2) 利用微分关系作图 （kN） FS 7 3 1 2 5m （kN · m） M 20 20.5 16 6

思考题 9-1 下面的剪力图和弯矩图有无错误，请改正。 A B C q 2a a FS + M +

思考题9-1答案 A B C q 2a a FS + M +

思考题 9-2 下面的剪力图和弯矩图有无错误，请改正。 qa a 3a 2qa q FS x + qa M x +

思考题9-2答案 qa a 3a 2qa q FS x qa + M x +

§9-2 弯曲正应力 9.2.1 横力弯曲与纯弯曲的概念 横力弯曲 M 0 FS 0 弯曲正应力 弯曲切应力 FS z (-) M §9-2 弯曲正应力 9.2.1 横力弯曲与纯弯曲的概念 横力弯曲 M 0 FS 0 弯曲正应力 弯曲切应力 FS M z y (-) (+)

先观察下列各组图 (a) l A B a b F FS x Fb/l Fa/l + M x Fab/ l + 既有剪力又有弯矩

l A B a (b) F + x O F M x Fa + O 某一区段内无剪力只有弯矩

l A B Me (c) FS x O M x O + Me 整个梁内只有弯矩而无剪力

(b)、(c)图中这种梁段和这种梁的弯曲(横截面上只有弯矩而无剪力）称为纯弯曲。 (a)图中这种梁段和这种梁的弯曲(横截面上 既有弯矩又有剪力）称为横力弯曲。 M=0, FS =0 纯弯曲 Pure Bending 纯弯梁

9.2.2 单一材料的弯曲正应力 1. 分析模型： (1) 单一材料窄高矩形截面梁（h b） ； (2) 细长梁（l／h  10）； 9.2.2 单一材料的弯曲正应力 1. 分析模型： (1) 单一材料窄高矩形截面梁（h b） ； (2) 细长梁（l／h  10）； (3) 荷载作用在纵向对称平面内。 l x b h y z

2. 实验研究 纵向对称平面 平衡条件: y x y z O Longitudinal Symmetrical Plane m n a b 2. 实验研究 x y z O 纵向对称平面 Longitudinal Symmetrical Plane m n a b M y b/2 h z 平衡条件:

(1)各横向周线仍各在一个平面内，只是各自绕着与弯曲平面垂直的轴转动了一个角度； x y z M y b/2 h z (1)各横向周线仍各在一个平面内，只是各自绕着与弯曲平面垂直的轴转动了一个角度； (2) 纵向线段变弯，但仍与横向周线垂直； (3) 部分纵向线段伸长，部分纵向线段缩短。

直梁纯弯曲时的平面假设： 直梁纯弯曲时，原为平面的横截面仍保持为平面，且仍垂直于弯曲后梁的轴线，只是相邻横截面各自绕着于弯曲平面垂直的某一根横向轴——中性轴作相对转动。 M z y 中性轴

M 受压区 受拉区 c 中性层 Neutral Layer 

纯弯曲 正应力 切应力=0 沿截面宽度方向均匀分布 正应力沿高度方向如何分布

3. 弯曲正应力的计算 (1) 几何方程: (1) (2) 物理方程: (2)  + - Neutral Layer max z y y

y z A See p72*(5-5) 所以，中性轴通过截面的形心

(b) 物理方面：各纵向纤维间互不挤压，材料在线弹性范围内工作，材料在拉伸和压缩时的弹性模量相等。 y z A EIz为抗弯刚度 公式的适用条件： (a) 几何方面：平面假设； (b) 物理方面：各纵向纤维间互不挤压，材料在线弹性范围内工作，材料在拉伸和压缩时的弹性模量相等。

回顾： 等直梁纯弯曲正应力的计算 正应力公式 通过截面形心 中性轴位置 s=Ey/r 单向应力状态下的胡克定律s=Ee s变化规律 e=y/r 平面假设 e变化规律 结果 依据 项目

线应变 + － max 正应力 + － max 截 面 z y

4. 轴惯性矩（二次矩） z y dy b h 空心矩形的惯性矩？ 圆的惯性矩？

如图所示，当梁在水平面内弯曲时，中性轴是哪个轴？截面对此轴的惯性矩表达式是什么？ 思考题 9-3 如图所示，当梁在水平面内弯曲时，中性轴是哪个轴？截面对此轴的惯性矩表达式是什么？ z y dy b h

小 结： 1. 线弹性, 小变形, 外力作用在纵向对称平面内; 2. 线应变和正应力在横截面上的分布规律; 3. 弯曲正应力的计算。

5. 轴惯性矩及抗弯截面系数 (1) 实心矩形的惯性矩及抗弯截面系数 对中性轴z 的抗弯截面系数 （单位为:mm3或m3） b h z dy 5. 轴惯性矩及抗弯截面系数 (1) 实心矩形的惯性矩及抗弯截面系数 z y dy b h 对中性轴z 的抗弯截面系数 （单位为:mm3或m3）

(2) 空心矩形的惯性矩及抗弯截面系数 z y b H h B C

(3) 实心圆截面的惯性矩及抗弯截面系数 d c z y dA

(4) 空心圆截面的惯性矩 D c z y d

6. 纯弯曲理论的简单回顾 (1) 公式 的适用条件： (a) 几何方面：平面假设； (b) 物理方面：各纵向纤维间互不挤压，材料在线弹性范围内工作，材料在拉伸和压缩时的弹性模量相等。 (2) 等直梁纯弯曲正应力的计算见下表。

等直梁纯弯曲正应力的计算 正应力公式 通过截面形心 中性轴位置 s=Ey/r 单向应力状态下的胡克定律s=Ee s变化规律 e = y/r 平面假设 e变化规律 结果 依据 项目

7. 纯弯曲理论的推广 横力弯曲时，由于切应力的存在,梁的横截面将发生翘曲。此外在与中性层平行的纵截面上,还有由横向力引起的挤压应力。工程中的梁,当跨高比较大时，按纯弯曲理论计算误差不大。

例题 9-1 对于图示 T形截面梁,求横截面上的最大拉应力和最大压应力.已知:Iz=290.6×10-8m4 8 kN 80 3 kN C 例题 9-1 对于图示 T形截面梁,求横截面上的最大拉应力和最大压应力.已知:Iz=290.6×10-8m4 3 A B 1 3 kN 8 kN C 2 y z 80 65 20 35 单位: mm x M 2.5 kN·m 3 kN·m

例题 9-1 x M 2.5 kN·m 3 kN·m 3 A B 1 3 kN 8 kN C 2 解： B 截面上： C 截面上：

例题 9-1 C 截面上： B截面上： 3 kN·m x 2.5 kN·m M 80 20 36.1 MPa 30.2 MPa 35 z 例题 9-1 x M 2.5 kN·m 3 kN·m y z 80 65 20 35 单位: mm 30.2 MPa 56.0 MPa C 截面上： 36.1 MPa 67.1 MPa B截面上：

若例9-1中的梁截面为工字形，则横截面的最大拉应力与最大压应力是否一定在弯矩绝对值最大的横截面上？ 思考题 9-4 若例9-1中的梁截面为工字形，则横截面的最大拉应力与最大压应力是否一定在弯矩绝对值最大的横截面上？ 3 A B 1 3 kN 8 kN C 2 y z x M 2.5 kN·m 3 kN·m

如何快捷地计算组合图形对任意轴的惯性矩？ y z 若图中两个矩形对其过形心的水平轴的惯性矩I1已知，它对Z轴的惯性矩I2与I1有何关系？ 可利用平行移轴公式。

§9-3 求惯性矩的平行移轴公式 z y C a b dA yc zc O 同理可得：

例 一T形截面，求其对中性轴 z的截面二次矩。

(1) 根据求惯性矩的平行移轴公式，是否可得如下结论：图形对于形心轴的惯性矩是图形对于与该形心轴平行的轴之惯性矩中的最小者？ 思考题 9-5 (1) 根据求惯性矩的平行移轴公式，是否可得如下结论：图形对于形心轴的惯性矩是图形对于与该形心轴平行的轴之惯性矩中的最小者？ (2) 求图示截面对于形心轴z的惯性矩。 y z 80 65 20 35 单位: mm

横力弯曲的切应力特点：上下表面无切应力， §9-4 弯曲切应力 横力弯曲 M 0 FS  0 弯曲正应力 弯曲切应力 FS M z y (-) (+) 横力弯曲的切应力特点：上下表面无切应力， 横截面上的切应力不是均匀分布。 假想一下切应力的分布规律

9.4.1 单一材料矩形截面梁的弯曲切应力 1. 分析模型： (1) 单一材料窄高矩形截面梁（h b） ； 9.4.1 单一材料矩形截面梁的弯曲切应力 1. 分析模型： (1) 单一材料窄高矩形截面梁（h b） ； (2) 细长梁（l／h  10）； (3) 荷载作用在纵向对称平面内。 l x b h y z

2. 分离体平衡分析： FS(x) Me F q(x) l h b x y z m n dx M(x) M(x)+dM(x) dx m n 2. 分离体平衡分析： Me F q(x) l h b x y z m n dx FS(x) M(x) M(x)+dM(x) dx m n dx (x)+ d(x) (x) 微小单元体上无分布力

dx (x) y z (x)+ d(x) x (x)+ d(x) dx (x) FS y z

(3) 对h>b的截面而言，此假设为合理的。 3. 应力分布的合理假设: (1) 应力与侧边方向平行； (2) 应力沿截面宽度方向均匀分布。 (3) 对h>b的截面而言，此假设为合理的。 FS y z

答：根据应力互等定理可知关于应力方向的假设是合理的。又对于狭长矩形应力沿宽度的变化不可能大，所以假设应力沿宽度不变是合理的。 思考题 9-6 为什么关于切应力分布的假设是合理的？ 答：根据应力互等定理可知关于应力方向的假设是合理的。又对于狭长矩形应力沿宽度的变化不可能大，所以假设应力沿宽度不变是合理的。 FS y z

问题：上式中，Sz*与图中哪个部分对应？ x dx  (x)  (x)+ d (x) 得到 由平衡方程 dx b 得 y z y* FS dA 问题：上式中，Sz*与图中哪个部分对应？ 该式可求什么位置的切应力？

Sz* 过所求切应力点作中性轴的平行线，将横截面分为两部分，其中任意一部分对中性轴的静矩。 切应力计算公式: y z FS 其中： FS  所求切应力截面上的剪力 Iz  整个截面对中性轴的惯性矩 b  所求切应力点处横截面的宽度 Sz*  过所求切应力点作中性轴的平行线，将横截面分为两部分，其中任意一部分对中性轴的静矩。 注意：实际计算中直接由剪力FS的方向确定t 的方向。

4. 单一材料矩形截面梁的切应力分布与计算: b h y z FS  max * 计算式： 发生在中性轴处 发生在上下边缘处

5. 切应力分析方法小结: 应力分布假设 分离体平衡 纵截面上的剪力 切应力互等定理 纵截面上的应力 横截面上的应力

对矩形截面梁所作的切应力分布假设依然适用。 9.4.2 Ｔ型截面梁 对矩形截面梁所作的切应力分布假设依然适用。 y z b h t d

1. 腹板部分　　　　　　　　　　　　　 (x)+ d(x) (x) dx y z dx FS(x) M(x) M(x)+dM(x) y z d f max

(a) 切应力分布假设对顶板竖直切应力不再适用； 2. 顶板部分　　　　　　　　　　　　　 (1) 竖直切应力分析 　　　　　　　　　　　　 (a) 切应力分布假设对顶板竖直切应力不再适用； (b) 对顶板竖直切应力大小的判断 (Ⅰ)根据切应力互等定理 y d z (Ⅱ)根据腹板承受的剪力判断 结论：顶板部分竖直切应力分量很小。　 　　　　　　　　　　　　

(2) 水平切应力分析 　　　　　　　　　　　　 y d z t dx FS(x) M(x)+dM(x) M(x) y d z

见李庆华编《材料力学（第三版）》（本校出版） y d z  h t yimax y d z yi max f max 3. Ｔ型截面梁的切应力分布 见李庆华编《材料力学（第三版）》（本校出版）

§9-5 梁的强度条件 1. 纯弯曲的梁最大弯曲正应力： smax≤ [ s ] (1) 等截面直梁，中性轴为横截面对称轴 §9-5 梁的强度条件 smax≤ [ s ] 1. 纯弯曲的梁最大弯曲正应力： (1) 等截面直梁，中性轴为横截面对称轴 Wz —— 抗弯截面系数 故由smax≤ [s] 得

(2) 中性轴不是横截面对称轴，且材料拉压强度不相等 则 容许拉应力 容许压应力

(3)利用正应力的强度条件可以对梁进行三种不同形式的强度计算： (a) 校核强度 (b) 选择截面尺寸或型钢号 (c) 确定许可荷载

2. 横力弯曲的梁 smax≤ [s] 另还要满足 tmax≤ [t ] 对于等截面直梁，则有： b —— 中性轴处截面之宽度

注意： (1) 一般的梁，其强度主要受到按正应力的强度条件控制，所以在选择梁的截面尺寸或确定许可荷载时，都先按正应力强度条件进行计算，然后按切应力强度条件校核。 (2) 在弯矩为最大的横截面上距中性轴最远点处有最大正应力；在剪力为最大的横截面的中心轴上各点处有最大切应力。

例题 9-5 如图，已知q=3.6kN/m，梁的跨长l=3m，梁的横截面为b×h=120mm×180mm的矩形，梁的材料为松木。由于该梁长期处于潮湿状态，故容许应力取得很低，容许弯曲应力[s ]=7 MPa,容许切应力 [t ]=0.9MPa。试校核此梁的强度 A B q

A B q FA FB 例题 9-5 FS（kN） x + - + M（kN·m） x 4.05

例题 9-5 此梁之最大弯矩发生在跨中的横截面上 抗弯截面系数为 则 此梁的最大剪力出现在梁的支座处横截面上,其值为

例题 9-5 又 以上两方面强度条件均能满足,故此木梁是安全的。

图示矩形截面钢杆受矩为T=3 kN·m的一对外力偶作用；已知材料的剪切弹性模量 G=8×104 MPa。求： 思考题 9 -10 图示矩形截面钢杆受矩为T=3 kN·m的一对外力偶作用；已知材料的剪切弹性模量 G=8×104 MPa。求： (1) 杆内最大切应力； (2) 横截面短边中点处的切应力； (3) 单位长度杆的扭转角。 T 60 90

思考题9-10参考答案(p149) (1) m=h/b=90/60=1.5 查表有： (2) (3)

§9-6 挠度和转角 挠度：直梁发生弯曲变形时，其横截面的形心在垂直于弯曲前的轴线方向所产生的线位移，如下图所示。 转角 挠度曲线 A B §9-6 挠度和转角 挠度：直梁发生弯曲变形时，其横截面的形心在垂直于弯曲前的轴线方向所产生的线位移，如下图所示。 A B x y 挠曲线 v（+） θ（+） 转角 挠度曲线

(1) 对梁作刚度校核，即检查梁弯曲时的最大挠度是否超过按要求所规定的容许值； 在小变形情况下 1. 研究梁的挠度和转角的目的： (1) 对梁作刚度校核，即检查梁弯曲时的最大挠度是否超过按要求所规定的容许值； (2) 解超静定梁。如下图所示梁。 A B C F1 F2 FA FC FB

根据挠曲线的近似微分方程式通过积分求挠度方程： 2. 求梁位移的基本方法 根据挠曲线的近似微分方程式通过积分求挠度方程： v=v(x) 和转角方程： 具体分析，在纯弯曲情况下： A B x y Me 观察下梁

若考虑上图坐标，则正值的M所对应的挠曲线其曲率1/r为负，即 (1) 对于下图横力弯曲的梁 A B x y F1 F2

有 则 (2) 由解析几何知识知：一根平缓的曲线v = v(x)，其曲率1/r 近似地等于v(x)对于x的二阶导函数，即 (3) 将(3)代入(2)，有

因此，对于某根具体的梁，只要列出它的弯矩方程M = M(x)，将其代入上式，对x连续积分后有： 在利用梁的位移条件确定式中的积分常数后，就得转角方程q =q (x) = v′(x)和挠度方程 v = v (x) ，从而也就可以求某个具体横截面处的转角和挠度了。

例题 9-7 求图示悬臂梁的转角方程q =q (x)和挠度方程 v=v(x) ，并求最大转角qmax及最大挠度 fmax。梁在竖直平面内弯曲时的抗弯刚度EI为已知。 F θ max x y l fmax

例题 9-7 F θmax x y l fmax 解： (1) (2) (3) (4)

例题 9-7 (3) 固定端处转角为零, 即 将x = 0, v′= 0代入(3)式有 C1 = 0 固定端处挠度为零, 即 例题 9-7 (3) 固定端处转角为零, 即 将x = 0, v′= 0代入(3)式有 C1 = 0 固定端处挠度为零, 即 x = 0, v = 0 将之代入(4)式得 C2 = 0 则将C1=0，C2=0代入(3)、(4)式有

例题 9-7 (4)

3. 按叠加原理计算 如果每一种梁的挠度和转角都要具体计算，则比较麻烦。故为工程上方便，列出了一些计算公式。 梁在线性弹性范围内工作，且变形较微小 利用这些公式可按叠加原理较方便地计算某些复杂情况下梁的挠度和转角。

例题 9-8 求 fC 和 qB。 A B Me l/2 c q A B q θBq fCq A B θBMe fCMe Me

例题 9-8 A B q θBq fCq A B θBMe fCMe Me 已知： 由叠加原理得

思考题 9-11 求下图B处的挠度和转角。 A B F Me

4. 斜弯曲 z y  F Fy Fz x l-x l 问题：最大拉应力发生在何处？

(1) 当IyIz时， ，发生斜弯曲; 横截面上的最大正应力发生在角点 z y  f fy fz  F (1) 当IyIz时， ，发生斜弯曲;

当Iy=Iz（如圆形和正多边形截面）时 ， =，发生平面弯曲; f fy fz  F 当Iy=Iz（如圆形和正多边形截面）时 ， =，发生平面弯曲; z y f F 中性轴过坐标原点 中性轴 得：

进一步的分析表明，横截面具有一个对称轴的梁，当横向外力（与梁的轴线正交的外力）垂直于对称轴作用时，也产生平面弯曲。至于横截面没有对称轴的梁，当横向外力作用于两个相互垂直特定方向之任何一个时也产生平面弯曲。

§9-7 弯曲应变能 前面讲述： 拉压应变能 扭转应变能 弯曲应变能 U=？

l A B Me 在线弹性范围内： q与Me的线性关系。 Me θ O 外力功：

根据应变能的大小等于外力偶所作的功，则有 亦即： 对于横力弯曲：由弯曲变形与剪切变形可以得到弯曲应变能和剪切应变能 应注意： 工程中h/l比值小于1/10时，剪切应变能较小，可忽略。横力弯曲情况下：

例题 9-9 求图示简支梁内的弯曲应变能，并求跨中截面C的挠度fC。 l 0.5l y x A B F C

例题 9-9 解： l 0.5l y x A B F C (1) 由对称性知 于是整个梁之弯曲应变能为：

例题 9-9 (2) 外荷载所作的功： 因为 W = U， 故 得 此结果与采用积分法求解所得的结果一致！ l 0.5l y x A B F 例题 9-9 (2) 外荷载所作的功： l 0.5l y x A B F C 因为 W = U， 故 得 此结果与采用积分法求解所得的结果一致！

§9-8 超静定梁 工程实际中，为减少梁内的应力和位移需要附加多余约束，这样就会产生多余未知力，如下图所示： §9-8 超静定梁 工程实际中，为减少梁内的应力和位移需要附加多余约束，这样就会产生多余未知力，如下图所示： A B C D 上图为二次超静定问题，亦即其不可单由平衡方程得出结果。

上图为“一次超静定问题”，其解同样也不能单由平衡方程求解得到，也要位移协调条件，即： 再如： B l A 上图为“一次超静定问题”，其解同样也不能单由平衡方程求解得到，也要位移协调条件，即：

例题 9-11 求下图所示超静定梁A、B处的约束力及 qB、fC，并画出该梁的剪力图和弯矩图。 解：(1) 求A、B处的约束力补充方程： 即 例题 9-11 求下图所示超静定梁A、B处的约束力及 qB、fC，并画出该梁的剪力图和弯矩图。 B l l/2 A y C x 解：(1) 求A、B处的约束力补充方程： (1) 即

例题 9-11 (查P375) (2) 又： (3) 将(2)，(3)式代入方程(1)有：

例题 9-11 由 得 由 得 ( )

例题 9-11 (2) 绘剪力图和弯矩图： FS 5l/8 5ql/8 3ql/8 x + x M ql2 /8 9ql2 /128 +

例题 9-11 (3) 求: (叠加原理) (a) ( )

例题 9-11 (b) A B l/2 C q MA= ql2 /8 利用相当系统 则 从而有：

思考题9-12 如下图所示梁，已知：E，I。求 。 A B F C l1 l

思考题 9-12参考答案 解：

思考题 9-13 作剪力图和弯矩图。 qa2 3a A B a q FB FA

思考题9-13参考答案： qa2 3a A B a q FB FA 由 得

思考题9-13参考答案： qa2 3a A B a q FB FA x FS

A1B梁用A2C梁加固，两梁的EI相同，试求两接触处的压力。 思考题 9-14 A1B梁用A2C梁加固，两梁的EI相同，试求两接触处的压力。 F B l1 l A1 A2 C A2 C XC A1 P XC B C

思考题9-14参考答案: 上梁C处： 因 为： 即： 求解得到：

思考题9-14参考答案: *没有加固梁时设为 加固梁后设为

思考题9-14参考答案:

荷载F 作用在梁AB及CD的连接处。试求每个梁在连接 处受多大的力。设已知它们的跨长比和刚度比分别为 。 思考题 9-15 荷载F 作用在梁AB及CD的连接处。试求每个梁在连接 处受多大的力。设已知它们的跨长比和刚度比分别为 。 F A B C D l1 l2 F FB A B FC C D

思考题 9-15参考答案： FC C D F FB A B 查表有： 协调条件： 则： 求解：

例题 9-12 一悬臂梁长为90 mm，在自由端受一集中力F的作用。此梁由三块 50 mm×100 mm的木板胶合而成，如图所示，图中正轴为中心轴。胶合逢的容件切应力为[t ]=0.35MPa。试按胶合逢的切应力强度求容许荷载F，并求在此荷载作用下，梁的最大弯曲应力。 解：

例题 9-12

第九章结束