第二章 数控编程中的数值计算 §2.1 数值计算的一般内容计算 §2.2 平面轮廓切削点的计算 §2.3 平面轮廓刀具中心位置的计算 第二章 数控编程中的数值计算 §2.1 数值计算的一般内容计算 §2.2 平面轮廓切削点的计算 §2.3 平面轮廓刀具中心位置的计算 §2.4 空间曲线曲面加工的数值计算 思考与练习 主页面 退出

§2.1 数值计算的一般内容计算 数控机床的控制系统主要进行的是位置控制，即控制刀具的切削位置。数控编程的主要工作就是把加工过程中刀具移动的位置按一定的顺序和方式编写成程序单，输入机床的控制系统，操纵加工过程。刀具移动位置是根据零件图纸，按照已经确定的加工路线和允许的加工误差（即容差：用插补线段逼近实际轮廓曲线时允许存在的误差）计算出来的。这一工作称为数控加工编程中的数值计算。数值计算主要用于手工编程时的轮廓加工

数控加工编程中的数值计算主要包括： 工件零轮廓中几何元素的基点 插补线段的节点 刀具中心位置 辅助计算等内容

基点 基点就是构成零件轮廓的各相邻几何元素之间的交点或切点。如两直线的交点、直线与圆弧的交点或切点、圆弧与二次曲线的交点或切点等等，均属基点。一般来说，基点的坐标根据图纸给定的尺寸，利用一般的解析几何或三角函数关系不难求得。

节点 节点是在满足容差要求条件下用若干插补线段（如直线段或圆弧段等）去逼近实际轮廓曲线时，相邻两插补线段的交点。节点的计算比较复杂，方法也很多，是手工编程的难点。有条件时，应尽可能借助于计算机来完成，以减少计算误差并减轻编程人员的工作量。 一般称基点和节点为切削点，即刀具切削部位必须切到的点。

刀具中心位置 刀具中心位置是刀具相对于每个切削点刀具中心所处的位置。因为刀具都有一定的半径，要使刀具的切削部位切过轮廓的基点和节点，必须对刀具进行一定的偏置。对于没有刀具偏置功能的数控系统，应计算出相对于基点和节点的刀具中心位置轨迹。对于具有刀具偏置功能的数控系统，加工某些内腔型面时，往往也要求计算出刀具中心轨迹的坐标数据。

辅助计算 辅助计算包括以下内容： 1）增量计算 对于增量坐标的数控系统，应计算出后一节点相对前一节点的增量值。 1）增量计算 对于增量坐标的数控系统，应计算出后一节点相对前一节点的增量值。 2）脉冲数计算 通常数值计算是以毫米为单位进行的，而数控系统若要求输入脉冲数，故应将计算数值换算为脉冲数。 3）辅助程序段的数值计算 对刀点到切入点的程序段，以及切削完毕后返回到对刀点的程序均属辅助程序段。在填写程序单之前，辅助程序段的数据也应预先确定。

§2.1 平面轮廓切削点的计算 基点的计算 节点的计算 

一零件轮廓如图2-1所示，其中A、B、C、D、E、F为基点， A、B、C、D、可直接由图中所设工件坐标系中得知，而E点是直线DE与EF的交点，F是直线EF与圆弧AF的切点。分析可知，OF与X轴的夹角为30°，EF与X轴夹角为120°，则 FX = 20 cos30°=17.321 FY = 20 sin30°= 10 ∵ EY = 30 ∴ EX = FX -（EY - FY ）/ tg60°= 5.774

二、  节点的计算 大多数铣床或加工中心都具有直线及圆弧插补功能，因此在加工由直线、圆弧组成的平面轮廓时，只需进行各基点的数值计算，不涉及节点计算问题。但若零件轮廓不是直线和圆弧组合而成，则要用直线段或圆弧段去逼近轮廓曲线，故要进行相应的节点计算。 节点计算的方法很多，一般可根据轮廓曲线的特性、数控系统的插补功能及加工要求的精度而定。一般有三种方法，即切线逼近法、割线逼近法和弦线逼近法等。 

几种常用插补方法中节点坐标的计算： 直线插补圆弧 等步长插补法 等误差插补法 圆弧插补法

1.直线插补圆弧 在只有直线插补功能的数控系统中，加工圆弧要靠直线插补来实现。直线插补圆弧是用直线作弦或切线去逼近圆弧。如图2-3所示，一圆弧AB的半径为R，起始角为α，终止角为β，圆心位于（x0，y0），若插补容差为δ，则插补节点的计算步骤如下：

n取∣β -α∣/θ截去小数部分的整数值。 3）求插补节点坐标 xi = x0 + R cos（α± iθ） 1）求插补线段所对应的圆心角θ θ = 2 arccos（（R –δ）/ R） 2）求插补节点数 n ≤ ∣β -α∣/θ n取∣β -α∣/θ截去小数部分的整数值。 3）求插补节点坐标 xi = x0 + R cos（α± iθ） yi = y0 + R sin（α± iθ） 式中，i = 1，2，…，n ；沿逆时针方向插补圆弧时取“+”号、沿顺时针方向插补圆弧时取“-”号。 演示

2．等步长插补法 等步长是指插补的直线段长度相等，而插补误差则不一定相同。计算插补节点时，必须使产生的最大插补误差δmax小于或等于容许的插补误差δ，以满足加工精度的要求。图2-4所示为一段轮廓曲线。设曲线方程为 y = f（x），则等步长插补节点的计算步骤为： 演示

dR / dx ={ 3（y″）2 y′[1+（y′）2]1/2 - [1+（y′）2]3/2 y″′ } /（y″）2 1)求曲线段的最小曲率半径Rmin 最大插补误差δmax必在最小曲率半径Rmin处产生，已知曲线曲率半径为： R = [ 1+（y′）2 ] 3/2 / ∣y″∣ （2-1） 欲求最小曲率半径，应将式（2-1）对x求一阶导数，即 dR / dx ={ 3（y″）2 y′[1+（y′）2]1/2 - [1+（y′）2]3/2 y″′ } /（y″）2 令dR / dx = 0，得 3(y″）2y′-[1+（y′）2]y″′= 0 （2-2） 由此可求出最小曲率半径处的x值。将此值代入式(2-1)，可得Rmin 。 图 演示

2）求插补步长ｈ 在三角形△ofg中，有 （ｈ/ 2）2 = R2 – （R –δmax ）2 R = Rmin ，则插补步长ｈ为 h ≈ √ 8Rminδ 图 演示

3）求插补节点 步长ｈ确定之后，以曲线的起点a（x0，y0）为圆心，步长ｈ为半径作圆，该圆与曲线的交点b，即为第一个插补节点。即联立方程 y = f（x） （x – x0）2 + （y – y0）2 = 8 Rminδ 的解（x1，y1），即为b的坐标。再以b点为圆心，重复3），即可求得下一插补节点。依此类推，可求得y = f（x）的全部插补节点。 图 演示

例 一轮廓曲线方程为x2 = 4ay起点为（0，0）。则 y′= x / 2a y″= 1 / 2a y″′ = 0 代入式（2-2） 3(y″）2y′-[1+（y′）2]y″′= 0 ， 再将所的结果x = 0 代入式（2-1） R = [ 1+（y′）2 ] 3/2 / ∣y″∣ 可得 Rmin = 2a ， 将Rmin代入式（2-3），得 ｈ≈ √ 16aδ 最后由式（2-4）解联立方程：

x2 = 4 a y x 2 + y 2 = 16 aδ 即可得第一个插补节点。重复步骤3），可求得其余插补节点。 等步长插补法，计算过程比较简单，但因步长取决于最小曲率半径，致使曲率半径较大处的节点过多过密，所以等步长法只对于曲率半径变化不是太大的的曲线加工较为有利。

3.等误差插补法 等误差法可使各插补直线段的插补误差小于或等于容许的插补误差，其插补线段可长可短。该插补法适用于轮廓曲率变化比较大、形状比较复杂的工件，是插补线段最少的方法。如图2-5所示，设轮廓曲线方程为y = f（x），插补容差为δ，则等误差法插补节点的计算步骤为：

1）以曲线起点（x0 ，y0）为圆心，δ为半径作圆，圆方程为 （x – x0）2 + （y – y0）2 = δ2 2）作该圆与轮廓曲线y = f（x）的公切线，得到两切点（ξ0 ，η0），（ξ1 ，η1），满足下列联立方程： 对曲线 f ′ （ξ1）=（η1 -η0）/ （ξ1 -ξ0） f （ξ1）= η1 对圆 F ′（ξ0）=（η1 -η0）/ （ξ1 -ξ0） F （ξ0）= η0 式中，y = F（x）表示圆方程。由此可求得公切线得斜率k k = （η1 -η0）/ （ξ1 -ξ0）

3）过（x0 ，y0）点作公切线的平行线 y – y0 = k（x – x0） 4）将平行线方程与轮廓曲线方程联立，可求得第一个节点坐标（x1 ，y1）。 y = f（x） 依此类推，再以（x1 ，y1）点为圆心重复上述步骤，可求其余插补节点。

4．圆弧插补法 用圆弧段逼近轮廓曲线是一种精度较高的插补方法。用这种方法插补轮廓曲线时，需计算出各插补圆弧段半径、圆心及圆弧段的起点和终点（即轮廓曲线上的插补节点）。如图2-6所示，设轮廓曲线方程为y = f（x），插补容差为δ，圆弧插补节点的计算步骤如下：

1）求曲线起点（x1 ，y1）处的曲率半径R1 R1 = [ 1+（y′）2 ] 3/2 / |y″|  2）求（x1 ，y1）处的曲率圆的圆心坐标（ζ1 ，η1） ζ1 = x1 – y′[1 +（y′）2 ] / y″ η1 = y1 + [1 +（y′）2] / y″

3）以（ζ1 ，η1）为圆心，R1±δ为半径的圆弧与曲线y = f（x）交点（x2 ，y2），即插补节点。解联立方程 （x –ζ1）2 + （y –η1）2 = （R1±δ）2 式中，当轮廓曲线的曲率递减时，取R1+δ为半径；当轮廓曲线的曲率递增时，取R1 -δ半径。解上述联立方程得到的（x ，y），即为圆弧与曲线的交点（x2 ，y2）。曲线y = f（x）在（x1 ，y1）和（x2 ，y2）两节点间的线段是以此为起、终点的圆弧替代的。

4）插补圆弧的圆心（λ1 ，μ1） 插补圆弧的圆心是这样求得的：分别以x1 ，y1）和（x2 ，y2）为圆心，以R1为半径作两段相交的圆弧，两圆弧的交点即为所求的圆心。故须解下列联立方程： （x1 –λ1）2 + （y1 –μ1）2 = R12 （x2 –λ1）2 +（y2 –μ1）2 = R12 求得的（λ1 ，μ1）即为插补圆弧段的圆心。 重复上述过程，再从（x2 ，y2）处开始，可求得曲线y = f（x）在（x2 ，y2）处的曲率半径R2 和曲率圆圆心（ζ2 ，η2）及插补圆弧段的圆心（λ2 ，μ2）。依此类推，可完成全部插补节点、插补圆弧半径及插补圆弧圆心的计算。

§2.3平面轮廓刀具中心位置的计算 机床数控系统在控制刀具进行切削加工时，是按刀具中心（立铣刀是指刀具端面的中心位置）在工件坐标系中的位置进行控制的。显然刀具中心不能落在切削点上，因为刀具都有一定的尺寸，要使刀具的切削表面始终相切地经过工件轮廓的切削点，必须对刀具进行一定的偏置。刀具偏置又称刀具半径补偿或刀具半径偏移。 

具有刀具中心自动偏置功能的数控机床，可直接按零件轮廓切削点的位置进行编程，其刀具半径偏置由数控系统自动调用预先存储在刀具半径补偿地址中的数值来实现。但对于没有刀具自动偏置功能的数控系统，则需要计算出相对于切削点的刀具中心位置的坐标作为编程数据。在平面轮廓加工中，常用立铣刀，设刀具半径为R，若切削点的坐标为（x ，y），切削点的法矢为n（n x ，n y），则相应与切削点的刀具中心位置为： x刀 = x + R n x y刀 = y + R n y 由此可见，刀具一经选定，只要求出各刀具切削位点的单位法矢，就可算出刀具中心的偏置位置，从而求得刀具中心规迹。这里主要给出三种切削点单位法矢的计算方法： 直线段的单位法矢 圆弧段上某切削点的单位法矢 平面曲线上某切削点的单位法矢

直线段的单位法矢 设ab 为平面轮廓上一直线段，起点为a（ x a , y a ）， 终点为b （ x b , y b ），该定向直线段的单位矢量为： xb – xa yb - ya τ = {τx , τy } = L ， L 式中 L = √（ x b – x a ）2 +（ y b – y a）2 为直线段的长度。

显然，直线上任一点处的单位矢量都是相同的。所以，直线 ab 上各点的单位法矢 n 也都是相同的。即 n = { nx ，ny } = {干τy ，±τx } 式中正负号的选取规定如下：顺时针方向走刀时，刀具始终位于工件轮廓的左侧（左偏置）或逆时针方向走刀时，刀具始终位于工件轮廓的右侧（右偏置）取上方符号；顺时针方向走刀时，刀具始终位于工件轮廓的右侧（右偏置）或逆时针方向走刀时，刀具始终位于工件轮廓的左侧（左偏置）取上方符号取下方符号。

圆弧段上某切削点的单位法矢 设P为半径为R、圆心为C的圆弧上任一切削点，圆弧在P点处的单位法矢即为圆心C到P有向联线的单位矢量。即 x p – x c y p – y c n = { n x ，n y } = ± R , ± R 当刀具外偏置（刀具始终在圆弧的外侧）时，两分量均取上面正号；当刀具内偏置（刀具始终在圆弧内侧）时，两分量均取下面负号。

平面曲线上某切削点的单位法矢 设P为曲线f（x）上的任一切削点，则在该点的斜率为 tgα = f ′（x p） 其单位切矢为 τ = {τx , τy } = { cosα，sinα} 相应的单位法矢为 n = { n x ，n y } = { 干τy ，±τx } 式中正负号选取规则同前：顺时针方向走刀时，刀具始终位于工件轮廓的左侧或逆时针方向走刀时，刀具始终位于工件轮廓的右侧取上方符号；顺时针方向走刀时，刀具始终位于工件轮廓的右侧或逆时针方向走刀时，刀具始终位于工件轮廓的左侧取上方符号取下方符号。

§2.4 空间曲线曲面加工的数值计算 规则立体型面加工的数值计算 自由空间曲线曲面加工的数值计算 三维加工中刀具中心位置的计算 

一、规则立体型面加工的数值计算 规则的三坐标立体型面是机械加工中经常遇到的零件型面。如在具有相互垂直移动的三坐标铣床上加工此类零件，可用“层切法”加工。此时，把立体型面看作由无数条平面曲线所叠成。根据表面粗糙度允许的范围，将立体型面分割成若干“层”，每层都是一条平面曲线，可采用平面曲线零件的轮廓切削点的计算方法计算每层的切削点的刀具轨迹。 

如图2-7所示零件轮廓曲面，其母线是一条与 Z 轴夹角为θ的直线，轨迹是一个椭圆。以某一直线为母线，沿轨迹运动而形成的立体型面叫作简单立体型面。加工这种立体型面一般采用球头铣刀。数值计算的目的是求出球头铣刀球心的运动轨迹。

如前述，立体型面可看作有无数条平面曲线相叠形成，在XOY 平面内的椭圆曲线方程为 x 2/a 2 + y 2/b 2 = 1 以一系列平形于XOY，而相互距离为适当行距dz 的平面，将上述型面分割为若干层，每层都是一个椭圆。一层加工完毕，铣刀在Z 轴方向移动一个dz的行距，再加工下一层。这样，立体型面加工就成了平面曲线轮廓的连续加工问题，其平面轮廓曲线上切削点的数值计算方法与与§2.1中讲述的方法是一样的。 

二、空间自由曲线曲面插补节点的数值计算 对于自由曲面零件，如涡轮及螺旋浆叶片、飞机机翼、汽车覆盖件的模具等，不管是通过计算机辅助设计或是通过实验手段测定，这种型面反应在图样上的数据是列表数据（或由各种截面曲线构成的自由曲面 ）。因此，对这类零件进行数控加工编程时，常常都是以三维坐标点（x i ，y i ，z i）表示的。 当给出的列表点已密到不影响曲线精度的程度时，可直接在相邻列表点间用直线段或圆弧段逼近。但往往给出的只是很少稀疏点，为保证精度，就要增加新的节点。为此，处理列表曲线或曲面的一般方法是根据已知列表点导出拟合方程，再根据拟合方程通过细化参数求得新的插补节点。

∑W i P i N k , i（u） P （u）= ∑W i N k , i（u） 0 ≤ u ≤ 1 自由曲线、曲面的拟合方法很多，有Bezier方法，B样条方法，Coons法,Fergusoon法等。目前最常用的是非均匀有理B样条拟合法。如非均匀有理B样条曲线的描述形式为 ∑W i P i N k , i（u） P （u）= ∑W i N k , i（u） 0 ≤ u ≤ 1 式中，u为拟合曲线参数；P（u）为空间曲线上任一位置矢量；P i 为拟合曲线的控制点（ i = 0，… ，m ）；N k , i（u）为k次B样条基函数，W i 是相应控制点P i 的权因子。其插补节点的算法为： 通过细化参数u，把由m个控制点确定的空间曲线段分割成若干子曲线段，当各子曲线段所对应的弦的最大距离满足容差δ要求时，即可用直线段——弦代替子曲线段，细化的参数值u所对应的分割点即为所求的节点。

例如，构成空间曲线的m个控制点若是均匀分部的， 根据容差要求，u可取值为 （0，0.2, 0.4, 0.6, 0.8,1） 或（0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9，1） 分别代入上式，即可求出空间曲线上的切削点。

∑∑ W ij P ij N i,k（u）N j,k（v） 同样，若非均匀有理B样条曲面是由（m + 1）×（n + 1）个空间点阵拟合而成的。其描述形式为： ∑∑ W ij P ij N i,k（u）N j,k（v） S（u ，v）= ∑∑ W ij N i,k（u）N j,k（v） 0 ≤ u ，v ≤ 1 式中，u ，v为拟合曲面参数，P ij 是矩形域上特征网格控制点阵，W ij 是相应控制点的权因子，N i,k（u）和N j,k（v）是 k 阶的B 样条基函数，S（u ，v）是曲面上任一点的位置矢量。其插补节点的计算方法与自由曲线的处理方法类似：细化两个方向参数 u 和 v，把曲面分割成子曲面片集，细化的程度由用子平面片代替曲面片能满足容差要求而定，然后再把细化好的子曲面片分割成两个三角形，各三角形的形心即为所求的插补节点。自由曲面加工的刀位规迹就是将这些小三角形的形心顺序连起来形成的，见图2-8。

这种处理方法的优点是，不管曲面多么复杂，都可以用单一的算法生成刀具规迹。从图2-8中可以看出，（a）、（b）中的刀具规迹均不理想，前者走刀行距不均匀，切削量忽大忽小，加工质量不高；后者在切削过程中不断改变切削方向，这将对机床不利。由于细化参数的方法是一种逼近法 a) c) b)

因此，只要满足加工容差要求，在细化的小三角形平面中可以有选择地使用。如图2-8（c）所示，只取同一四边形内两个三角形之一的形心作为插补节点，就可以解决切削行距不均和沿折线走刀的问题。 自由曲线和自由曲面插补节点的计算量是手工难以承受的，最好能借助于计算机完成。

三、三维加工中刀具中心位置的计算 不论是规则立体型面的加工或是空间自由曲线或曲面的加工，都存在着刀具中心的偏置问题。三维型面加工常用的刀具有球头刀或平头圆角刀（见图2-9）。平头圆角刀的刀具半径为R，圆角半径为r，则球头刀的圆角半径r = R 。若球头刀和平头圆角刀的刀具中心均指的是刀具端部的中心，对于切削加工时刀具主轴始终平行于Z轴的数控机床，其刀具中心的偏置方法可遵循下列规则： 1.先使刀具中心沿切削点处法线方向偏移 r 距离； 2.再沿与刀轴垂直的方向平移R – r 距离； 3.最后使刀具中心沿刀轴方向下移 r 距离。 

若点P是某一空间曲线或曲面上的切削点，其坐标为（xp ，yp，zp）曲线或曲面在该点处的单位法矢为 n = { nx，ny，nz } 其中nx，ny，nz 为单位法矢在工件坐标系三坐标轴上的分量。根据上述三条规则，与切削点相对应的刀具中心位置为： x刀 = xp + rnx + （R – r）nx = xp + Rnx y刀 = yp + rny + （R – r）ny = yp + Rny z刀 = zp + rnz - r

空间曲面上某切削点单位法矢的求法，视曲面描述方程的形式而异。若曲面的描述方程为F（x，y，z）= 0 ，则曲面上切削点（x0，y0，z0）处的法线方程为 （x – x0） （y – y0） （z – z0） F′x（x0，y0，z0） F′y（x0，y0，z0） F′z（x0，y0，z0） 式中，F′x（x0，y0，z0）、F′y（x0，y0，z0）、F′z（x0，y0，z0）为F（x，y，z）在（x0，y0，z0）处的偏导数，即曲面在该点法线的方向数。所以，曲面在该点的单位法矢为 n = {nx，ny，nz} =｛ F′x（x0，y0，z0）, F′y（x0，y0，z0）, F′z（x0，y0，z0）} / k 其中 k = [ F′x2（x0，y0，z0）+ F′y2（x0，y0，z0）+ F′z2（x0，y0，z0）]1/2

i j k 2）曲面为非均匀有理B 样条曲面，曲面S（u，v）上任一点（u0，v0）处的单位法矢可用下式求得： S′u× S′v n = { n x ，n y ，n z } = |S′u × S′v| 式中，S′u 为曲面相对于参数u的偏导矢，S′v 为曲面相对于参数v的偏导矢， | S′u × S′v|为矢量S′u × S′v 的模，S′u × S′v为曲面在S （u0，v0）处的法矢，且 i j k S′u × S′v= S′ux S′uy S′ uz S′vx S′vy S′vz

思考与练习 1. 数控编程的数值计算包括哪些内容？ 2. 基点和节点有什么区别？何为切削点？ 3. 等步长法插补轮廓曲线，其插补节点的计算步骤是什么？试述其特点和适用范围。 4. 等误差法插补轮廓曲线，其插补节点的计算步骤是什么？试述其特点和适用范围。 5. 试述弦线插补圆弧段时插补节点的计算方法。 6. 试述圆弧插补轮廓曲线时插补圆弧的计算方法。 7. 为什么要计算刀具中心位置？ 8. 刀具在尖角过渡时应考虑什么问题？ 9. 平面轮廓加工时，立铣刀的偏置规则是什么？

10．空间型体加工时，球头刀和平头圆角刀的偏置规则是什么？ 11．加工空间自由曲线、曲面时，插补节点的计算方法是什么？ 12．在图2-10所示的工件坐标系中，试给出各零件轮廓各基点的坐标。 13．一半径R = 20mm、圆心位于坐标原点的圆弧，起点坐标为（-10，17.32），终点坐标为（12.856，15.32），若用弦线插补该圆弧，当容差分别为0.1mm、0.01mm、0.001mm时，各需要计算多少插补节点？ 14. 如果用切线逼近圆弧，使导出切线段插补圆弧的节点计算公式。 15. 在如图2-11所示的加工中，试导出未加工部分面积与刀径及所包角度α的关系表达式。 16. 用直径Φ6的立铣刀加工曲线y = 3 x 2 + 4 x – 8，当刀具与曲线相切于点（1，-1）时，如果曲线一直在刀具的左侧，求此时刀具中心的位置。 17. 求出加工图2-12所示零件平面轮廓所需要的切削点及刀具中心位置坐标。可用圆弧插补，其他曲线可用直线逼近（刀具为Φ10的立铣刀）。