3.2.1 直线的方向向量 与平面的法向量
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用. 研究 广东省阳江市第一中学周如钢 从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用.
为了用向量来研究空间的线面位置关系，首先我们要用向量来表示直线和平面的“方向”。那么如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢？ 一、直线的方向向量 直线l上的向量 以及与 共线的向量叫做直线l的方向向量。 A B
二、平面的法向量 给定一点A和一个向量 ,那么过点A,以向量 为法向量的平面是完全确定的. 由于垂直于同一平面的直线是互相平行的, 所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”。 平面的法向量：如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ,记作 ⊥ ，如果 ⊥ ，那 么 向 量 叫做平面 的法向量. 给定一点A和一个向量 ,那么过点A,以向量 为法向量的平面是完全确定的. l 几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互相平行; 3.向量 是平面的法向量，向量 是 与平面平行或在平面内，则有 A
由两个三元一次方程组成的方程组的解是不惟一的，为方便起见，取z=1较合理。其实平面的法向量不是惟一的。
平面的法向量不惟一，合理取值即可。
例3. 在空间直角坐标系内，设平面 经过 点 ，平面 的法向量为 ， 为平面 内任意一点，求 满足的关系式。 解：由题意可得
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系. 那么如何用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角呢？如何用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小呢？ 例1
三、平行关系： 例1答案
z y x 例4 如图，已知矩形 和矩形 所在平面互相垂直，点 分别在对角线 上，且 求证： A B C D E F x y z M N 简证：因为矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，所以AB，AD，AF互相垂直。以 为正交基底，建立如图所示空间坐标系， 设AB,AD,AF长分别为3a，3b，3c， 则可得各点坐标，从而有 又平面CDE的一个法向量是 因为MN不在平面CDE内 所以MN//平面CDE
四、垂直关系： 例1答案2
基底，建立如图所示坐标系D-xyz，则可得： CD中点，求证：D1F 例5.在正方体 中，E、F分别是BB1,， 平面ADE 证明：设正方体棱长为1， 为单位正交 基底，建立如图所示坐标系D-xyz，则可得： A1 x D1 B1 A D B C C1 y z E F 所以
巩固性训练1 1.设 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下 列条件,判断l1,l2的位置关系. 平行 垂直 平行
巩固性训练2 1.设 分别是平面α,β的法向量,根据 下列条件,判断α,β的位置关系. 垂直 平行 相交
巩固性训练3 1、设平面 的法向量为(1,2,-2),平面 的法向量为(-2,-4,k),若 ，则k= ；若 则 k= 。 2、已知 ，且 的方向向量为(2,m,1)，平面的法向量为(1,1/2,2),则m= . 3、若 的方向向量为(2,1,m),平面 的法向量为(1,1/2,2),且 ，则m= .
练习:用空间向量来解决下列题目 1．如图，正方体 中， E为 的中点， 证明： //平面AEC 2、在正方体AC 中，E、F、G、P、 1．如图，正方体 中， E为 的中点， 证明： //平面AEC 2、在正方体AC 中，E、F、G、P、 Q、R分别是所在棱AB、BC、BB AD 、D C 、DD的中点， 求证：⑴平面PQR∥平面EFG。 ⑵ BD⊥平面EFG A B C D A B C D F Q E G R P
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