自动控制理论 黄山学院机电工程学院 自动化专业

第三章 线性系统的时域分析法 第一节 系统时间响应的性能指标 第二节 一阶系统的时间分析 第三节 二阶系统的时间分析 第三章　线性系统的时域分析法 第三章 线性系统的时域分析法 第一节 系统时间响应的性能指标 第二节 一阶系统的时间分析 第三节 二阶系统的时间分析 第四节 高阶系统的时间分析 第五节 线性系统的稳定性分析 第六节 线性系统的稳态误差计算

第一节 系统时间响应的性能指标 第三章 线性系统的时域分析法 一、时域分析法的特点 第三章　线性系统的时域分析法 第一节 系统时间响应的性能指标 一、时域分析法的特点 它根据系统微分方程，通过拉氏变换，直接求出系统的时间响应。依据响应的表达式及时间响应曲线来分析系统控制性能，并找出系统结构、参数与这些性能之间的关系。 这是一种直接方法，而且比较准确，可以提供系统时间响应的全部信息。

第一节 系统时间响应的性能指标 二、典型输入信号 1. 典型初始状态 通常规定控制系统的初始状态为零状态。 即在外作用加于系统之前，被控量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零，系统处于相对平衡状态。

ò 第一节 系统时间响应的性能指标 2. 典型外作用 t f(t) î í ì < ³ = t 1 ) ( f 其拉氏变换为： s î í ì < ³ = t 1 ) ( f 其拉氏变换为： s dt e F )] [ L st ò ¥ - 其数学表达式为：

ò 第一节 系统时间响应的性能指标 t ②单位斜坡函数 ) ( 1 f < ³ î í ì = . 其拉氏变换为： s dt e F ) ( 1 f < ³ î í ì = . 其拉氏变换为： 2 st s dt e F )] [ L ò ¥ - f(t) 其数学表达式为：

第一节 系统时间响应的性能指标 ③抛物线函数（等加速度函数） 它的数学表达式为 曲线如图所示。当A=1时，称为单位抛物线函数。

ò 第一节 系统时间响应的性能指标 ④单位脉冲函数 ) ( = ¹ î í ì ¥ t f d 其数学表达式为： 其拉氏变换为： 1 ) ( )] [ = s F t f L ò +¥ ¥ - = 1 ) ( dt t d 定义： 图中1代表了脉冲强度。单位脉冲作用在现实中是不存在的，它是某些物理现象经数学抽象化的结果。

ò 第一节 系统时间响应的性能指标 ⑤正弦函数 f(t) 其数学表达式为： 其拉氏变换为： sin ) ( < ³ î í ì = t sin ) ( < ³ î í ì = t ωt f 其数学表达式为： 其拉氏变换为： 2 sin ) ( )] [ ω s dt e ω t F t f L st + = ò ¥ -

第一节 系统时间响应的性能指标 三、动态过程与稳态过程 （1）动态过程 系统在典型信号输入下，系统的输出量从初始状态到最终状态的响应过程。 （2）稳态过程 系统在典型信号输入下，当时间t趋于无穷时，系统输出量的表现方式。

第一节 系统时间响应的性能指标 四、动态性能与稳态性能 （1）动态性能 定义：稳定的系统在单位阶跃函数作用下，动态过程随时间t的变化状况的指标。 动态性能指标如下图：

第一节 系统时间响应的性能指标 超调量σ% = A B 100% A 峰值时间tp 时间tr 上 升 B 调节时间ts

第一节 系统时间响应的性能指标 调节时间 ts 上升时间tr

第一节 系统时间响应的性能指标 σ%= 100% B A A B tr tp ts

ess 是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。 第一节 系统时间响应的性能指标 （2）稳态性能 稳态误差ess :当时间t趋于无穷时，系统输出响应的期望值与实际值之差。 ess 是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。

根据系统的输出响应求取系统的性能指标,从而分析系统的性能，是时域分析法分析系统性能的基本方法。 第三章　线性系统的时域分析法 第二节 一阶系统的时域分析 根据系统的输出响应求取系统的性能指标,从而分析系统的性能，是时域分析法分析系统性能的基本方法。 一、一阶系统的数学模型 二、一阶系统的时域响应及性能分析

一、一阶系统的数学模型 当控制系统的数学模型为一阶微分方程时,称其为一阶系统. 一阶系统的动态结构图 闭环传递函数为 C(s) 1 第二节 一阶系统的时域分析 一、一阶系统的数学模型 当控制系统的数学模型为一阶微分方程时,称其为一阶系统. 一阶系统的动态结构图 1 TS - R(s) E(s) C(s) 闭环传递函数为 1 Ts+1 Ф(s)= C(s) R(s) = 时间常数

二、一阶系统时域响应及性能分析 1．单位阶跃响应 单位阶跃响应曲线 一阶系统没有超调，系统的动态性能指标为调节时间: 单位阶跃响应: 第二节 一阶系统的时域分析 二、一阶系统时域响应及性能分析 1．单位阶跃响应 单位阶跃响应曲线 一阶系统没有超调，系统的动态性能指标为调节时间: 单位阶跃响应: 系统在单位阶跃信号作 用下的输出响应. c(t) t 1 R(s)= 1 s 0.98 一阶系统单位阶跃响应: 0.95 0.86 1 s C(s)= Ф(s)· • 1 Ts+1 = s 0.632 = 1 s+ s - T ts = 3T (±5%) ts = 4T (±2%) T 2T 3T 4T 拉氏反变换： c(t)=1-e-t/T

第二节 一阶系统的时域分析 性能指标 1. 平稳性： 非周期、无振荡，  ＝0 2. 快速性ts： 3.准确性 ess：

c(t)=g(t)= e-t/T 2．单位脉冲响应 R(s)=1 单位脉冲响应曲线 1 C(s)= = Ф(s) Ts+1 c(t) = 第二节 一阶系统的时域分析 2．单位脉冲响应 R(s)=1 单位脉冲响应曲线 1 Ts+1 = C(s)= Ф(s) = s+ 1 T c(t) t T 1 单位脉冲响应为: c(t)=g(t)= e-t/T T 1

3．单位斜坡响应 R(s)= 1 s2 单位斜坡响应为: 1 Ts+1 = s2 C(s)=Ф(s)• 1 s2 T = s s+1/T - 第二节 一阶系统的时域分析 3．单位斜坡响应 R(s)= 1 s2 单位斜坡响应为: 1 Ts+1 = • s2 C(s)=Ф(s)• 1 s2 T = s s+1/T - 1 s2 + c(t)=t-T+Te-t/T 单位斜坡响应曲线 系统的误差： h(t) t e(t)= [r(t) -c(t)] =t-(t-T+Te-t/T ) r(t) c(t) T =T(1-e-t/T ) t→∞ ess= lim e(t) =T

第二节 一阶系统的时域分析 4.单位加速度响应 设系统的输出信号为单位加速度函数，则求得一阶系统的单位加速度响应为： 系统的跟踪误差为：

c(t)= e-t/T c(t)=t-T+Te-t/T c(t)=1-e-t/T 根据一阶系统三种响应的输入输出信号: 1 第二节 一阶系统的时域分析 根据一阶系统三种响应的输入输出信号: c(t)= e-t/T T 1 r(t)=δ(t) c(t)=1-e-t/T r(t)=1(t) c(t)=t-T+Te-t/T r(t)=t 1 r(t)=－t2 2 系统输入信号导数的输出响应，等于该输入信号输出响应的导数；根据一种典型信号的响应，就可推知于其它。 可知:

第二节 一阶系统的时域分析 例 一阶系统的结构如图，试求系统的调节时间t s (±5%),如果要求 t s= 0.1s，求反馈系数。 - KH Kk s C(s) R(s) E(s) Kk= 100 KH= 0.1 解： 闭环传递函数 = 0.01 s+1 KH 1 Ф(s)= 1+ s 100KH 100 = 1+ s KkKH Kk t s=3T=3×0.1 得: Ф(s)= C(s) R(s) =0.3 若要求: t s=3×0.01/KH=0.1 100 = s+10 10 = 0.1s+1 则: t s=0.1 s KH =0.3

第三节 二阶系统的时域分析 一、二阶系统的数学模型 二、二阶系统的单位阶跃响应 三、欠阻尼二阶系统的动态过程分析 第三章　线性系统的时域分析法 第三节 二阶系统的时域分析 一、二阶系统的数学模型 二、二阶系统的单位阶跃响应 三、欠阻尼二阶系统的动态过程分析 四、过阻尼二阶系统的动态过程分析 五、二阶系统的单位斜坡响应 六、改善二阶系统性能的措施

第三节 二阶系统的时域分析 一、二阶系统的数学模型 二阶系统的微分方程一般式为：

第三节 二阶系统的时域分析 二阶系统的反馈结构图

第三节 二阶系统的时域分析 二阶系统的传递函数 开环传递函数： 闭环传递函数：

s1,s2完全取决于 ，n两个参数。 第三节 二阶系统的时域分析 二阶系统的特征方程为 解方程求得特征根： 当输入为阶跃信号时，则微分方程解的形式为： 式中 为由r(t)和初始条件确定的待定的系数。

第三节 二阶系统的时域分析 ①特征根分析— (欠阻尼） 此时s1,s2为一对共轭复根，且位于复平面的左半部。

第三节 二阶系统的时域分析 ②特征根分析— （临界阻尼） 此时s1,s2为一对相等的负实根。 s1=s2=-n

第三节 二阶系统的时域分析 ③特征根分析— （过阻尼） 此时s1,s2为两个负实根，且位于复平面的负实轴上。

第三节 二阶系统的时域分析 ④特征根分析— （零阻尼） 此时s1,s2为一对纯虚根，位于虚轴上。 S1,2= jn

第三节 二阶系统的时域分析 ⑤特征根分析— （负阻尼） 此时s1,s2为一对实部为正的共轭复根，位于复平面的右半部。

第三节 二阶系统的时域分析 ⑥特征根分析— （负阻尼） 此时s1,s2为两个正实根，且位于复平面的正实轴上。

二、二阶系统的单位阶跃响应 ω n2 n ζ (s2+2 s+ ) = s 1 C(s)=Ф(s)R(s) ω n ζ s2+2 s+ n2 第三节 二阶系统的时域分析 二、二阶系统的单位阶跃响应 ω n2 n ζ (s2+2 s+ ) = • s 1 C(s)=Ф(s)R(s) ω n ζ s2+2 s+ n2 =0 ω n ζ s1.2 = ± -2 2 (2 )2-4 ω n ζ =- ± 2 -1 ζ值不同，两个根的性质不同，有可能为实数根、复数根或重根。相应的单位阶跃响应的形式也不相同。下面分别讨论。

e e s1.2 ω n ζ =- 2 -1 1. 0<ζ<1 欠阻尼 ω n ζ (s+ s + d2 )2 = - 1 s+ 第三节 二阶系统的时域分析 s1.2 ω n ζ =- ± 2 -1 1. 0<ζ<1 欠阻尼 ω n ζ (s+ s + d2 )2 = - 1 s+ d ω 2 = n 1- ζ d 令： — 阻尼振荡频率 s1.2 ω n jω ζ =- ± d 则： C(s)= ω n2 n ζ (s2+2 s+ ) • s 1 2 单位阶跃响应： 拉氏反变换： c(t)=1-e cos e ζ ωnt - t- d ω n sin t ω n ζ s2+2 s+ n2 = ω n ζ s2+2 s+ n 2 ( ) -( + n2 另： ω n ζ (s+ + n2 )2 = (1- 2 ) ω n ζ (s+ + d2 )2 = =1- [ ζ t+ sin d ω t] e ωnt - 2 1- cos ω n2 n ζ (s+ s + d2 )2 C(s)= • 1 ω n ζ (s+ s + d2 )2 = 1 -(s+ ) 2 得：

e e e 系统参数间的关系: ω = 2 1- ζ ω n sin β - = 2 1- ζ c(t) t = ζ ω n cos β = 第三节 二阶系统的时域分析 系统参数间的关系: j ω S1 单位阶跃响应曲线 = 2 1- ζ ω n sin β 1 ω - ζ 2 n = 2 1- ζ ω n c(t) t = ζ ω n cos β β = ζ ω - ζ n σ 1 2 1- ζ ω n β -1 =tg -1 ζ =tg 2 1- ζ<1 1 ω - ζ 2 n S2 c(t)=1- [ ζ t+ sin d ω t] e ωnt - 2 1- cos 根据: 衰减系数 阻尼振荡频率 =1- [ t+ sin d ω t] e ζ ωnt - 2 1- cos β 得: =1- t+ ) e ζ ωnt - 2 1- d ω sin( β 瞬态分量 稳态分量

s1.2 ω n ζ =- 2 -1 2. ζ=0 无/零阻尼 ω n ζ (s2+2 s+ n2 ) s 1 C(s)= 2 = n ω 第三节 二阶系统的时域分析 s1.2 ω n ζ =- ± 2 -1 2. ζ=0 无/零阻尼 ω n ζ (s2+2 s+ n2 ) • s 1 C(s)= 2 = n ω ±j 注意： 当 将不复存在 ω n (s2+ ) = • s 1 2 单位阶跃响应曲线 c(t) t s (s2+ ω n ) = - 1 2 ζ=0 1 单位阶跃响应: n ω c(t)=1-cos t 无阻尼振荡频率

t) s1.2 ω n ζ =- 2 -1 3.ζ=1 临界阻尼 =- n ω ω n ζ (s2+2 s+ n2 ) s 1 C(s)= 第三节 二阶系统的时域分析 s1.2 ω n ζ =- ± 2 -1 3.ζ=1 临界阻尼 =- n ω ω n ζ (s2+2 s+ n2 ) • s 1 C(s)= 2 两相等负实数根 = ω n (s+ )2 1 s • 2 1 = s - ω n (s+ )2 s+ n ω c(t)=1- e - t (1+ t) c(t) t 单位阶跃响应曲线 输出响应无振荡和超调。ζ=1时系统的响应速度比ζ>1 时快。 1 ζ=1

系统输出无振荡和超调，输出响应最终趋于稳态值1。 ζ>1 第三节 二阶系统的时域分析 s1.2 ω n ζ =- ± 2 -1 4. ζ>1 过阻尼 ω n ζ (s2+2 s+ n2 ) • s 1 C(s)= 2 两不相等 负实数根 s(s-s1)(s-s2) ω n 2 = A1 = s s-s1 + A2 A3 s-s2 c(t)=A1+A2es1t+A3es2t c(t) t 单位阶跃响应曲线 1 系统输出无振荡和超调，输出响应最终趋于稳态值1。 ζ>1

从以上结果可知:ζ值越大，系统的平稳性越好；ζ值越小，输出响应振荡越强。 第三节 二阶系统的时域分析 不同ζ值时系统的单位阶跃响应 y(t) c(t) t ζ=0 ζ<1 1 ζ>1 ζ=1 单位阶跃响应（ 0<<1 ） 从以上结果可知:ζ值越大，系统的平稳性越好；ζ值越小，输出响应振荡越强。

例 已知二阶系统的闭环传递函数,求系统 的单位阶跃响应. C(s) s2+3s+2 2 R(s) = 2 ω n ζ =3 解： 第三节 二阶系统的时域分析 例 已知二阶系统的闭环传递函数,求系统 的单位阶跃响应. C(s) s2+3s+2 2 R(s) = 2 ω n ζ =3 解： ζ>1 2 = 2 ω n A1 = s s+1 + A2 A3 s+2 C(s)= s(s+1)(s+2) 2 1 = s s+1 - 2 s+2 + 拉氏反变换 c(t)=1-2e-t+e-2t

e 例 已知二阶系统的闭环传递函数,求系统 的单位阶跃响应. C(s) s2+s+4 4 R(s) = 2 ω n ζ =1 解： =2 ω 第三节 二阶系统的时域分析 例 已知二阶系统的闭环传递函数,求系统 的单位阶跃响应. C(s) s2+s+4 4 R(s) = 2 ω n ζ =1 解： =2 ω n 2 = 4 ω n ζ=0.25 =0.5 ω n ζ 得： =1.9 d ω = n 2 ζ 1- =75o -1 ζ =tg β 2 1- 将参数代入公式: c(t)=1- t+ ) e ζ ωnt - 2 1- d ω sin( β =1-1.03e-0.5tsin(1.9t+75o)

三、二阶系统的性能指标 主要对欠阻尼二阶系统的性能指标进行讨论和计算。其单位阶跃响应曲线： 性能指标有： 1. 上升时间tr 第三节 二阶系统的时域分析 三、二阶系统的性能指标 主要对欠阻尼二阶系统的性能指标进行讨论和计算。其单位阶跃响应曲线： 性能指标有： t c(t) 1. 上升时间tr ess σ% 2. 峰值时间tp 1 3. 超调量σ% 4. 调节时间ts tr tp ts 5. 稳态误差ess 性能指标求取如下

e e 1. 上升时间tr 根据定义有 c(tr )=1- tr+ ) 2 1- d ω sin( β =1 tr =0 tr+ ) 2 第三节 二阶系统的时域分析 1. 上升时间tr t c(t) 根据定义有 1 c(tr )=1- tr+ ) e ζ ωntr - 2 1- d ω sin( β =1 tr =0 tr+ ) e ζ ωntr - 2 1- d ω sin( β 即 得: =0 tr+ ) d ω sin( β tr= d ω π β - 2 1- ζ π β - ω n = 则 ω d tr+ β =0,π,2π… -1 ζ =tg β 2 1- 其中: ω d tr+ β =π

e e e e 2. 峰值时间tp c(t)=1- t+ ) 2 1- d ω sin( β dc(tp) dt =0 根据定义有 tp ζ 第三节 二阶系统的时域分析 2. 峰值时间tp t c(t) c(t)=1- t+ ) e ζ ωnt - 2 1- d ω sin( β 1 dc(tp) dt =0 根据定义有 tp ζ -1 tp+ ) e ωntp - 2 1- d ω sin( β dc(tp) dt = [- n ζ tp+ ) d ω sin( β = cos( 2 1- =tg β tp+ ) d ω tg( 则 ]=0 + tp+ ) e ζ ωntp - d ω cos( β ζ - tp+ ) e ωntp 2 1- d ω sin( β = [ n ]=0 cos( ω d tp =0,π,2π… ω d tp = π tp= d ω π 2 1- ζ π ω n = ζ tp+ ) d ω sin( β =0 cos( - 2 1- 即

3. 超调量σ% σ%= c(tp)- c( ) ∞ tp= d ω π 代入公式： c(tp )=1- tp+ ) e 2 1- d ω 第三节 二阶系统的时域分析 3. 超调量σ% t c(t) σ%= c(tp)- 100% c( ) ∞ σ% 1 tp= d ω π 代入公式： c(tp )=1- tp+ ) e ζ ωntp - 2 1- d ω sin( β tp 另 ) =1- + 2 1- ζ sin( β π e - )=- + 2 1- ζ sin( β π =1+ e - ζ π 1- 2 则 100% c(tp)-1 1 σ%= = e - ζ π 1- 2 100%

e 4. 调节时间ts c(t)=1- t+ ) 2 1- d ω sin( β 可用近似公式： ts ±5%误差带 ±2%误差带 第三节 二阶系统的时域分析 4. 调节时间ts t c(t) 误差带 c(t)=1- t+ ) e ζ ωnt - 2 1- d ω sin( β 1 可用近似公式： ts ±5%误差带 ±2%误差带

e 5. 稳态误差ess 根据稳态误差的定义 e(t)= [r(t) -c(t)] ess= lim e(t) r(t)=I(t) 第三节 二阶系统的时域分析 5. 稳态误差ess t c(t) 根据稳态误差的定义 ess =0 e(t)= [r(t) -c(t)] 1 t→∞ ess= lim e(t) r(t)=I(t) c(t)=1- t+ ) e ζ ωnt - 2 1- d ω sin( β t→∞ lim c(t)=1 欠阻尼二阶系统的稳态误差: ess= 1-1=0

第三节 二阶系统的时域分析 以上为欠阻尼二阶系统在单位阶跃输入作用下性能指标的求取。过阻尼二阶系统其性能指标只有调节时间和稳态误差。 c(t)=A1+A2es1t+A3es2t t→∞ ess= lim [ r(t) -c(t)] 稳态误差的计算： 调节时间是根据特征根中绝对值小的来近似计算： T1= s1 -1 设 |s1|<|s2| ts≈3T1 ±5%误差带 ts≈4T1 ±2%误差带

ζ的增加和ωn的减小虽然对系统的平稳性有利，但使得系统跟踪 斜坡信号的稳态误差增加。 ζ太小或太大,快速性均变差。 第三节 二阶系统的时域分析 由以上分析归纳出二阶系统性能分析要点： 1）平稳性： 主要由ζ决定。 ζ↑→σ%↓→平稳性越好。 由ζ和 决定。 ω n 2）快速性： ω n 一定时,若ζ较小,则ζ↓→ts↑。 ζ = 0 时,系统等幅振荡,不能稳定工作。 由ζ和 ω n 决定。 3）准确性： ω n↑→ d↑, 系统平稳性变差。 ζ一定时 当ζ >0.707之后又有ζ↑→ ts↑。 ζ的增加和ωn的减小虽然对系统的平稳性有利，但使得系统跟踪 斜坡信号的稳态误差增加。 ζ太小或太大,快速性均变差。 综合考虑系统的平稳性和快速性，一般取ζ= 0.707为最佳。

第三节 二阶系统的时域分析 四、二阶系统的单位斜坡响应 当输入信号为单位斜坡信号时

第三节 二阶系统的时域分析 稳态分量： 瞬态分量：

第三节 二阶系统的时域分析 误差响应： 稳态误差： 对误差响应求导，并令其为0，得到误差峰值时间： 误差峰值：

第三节 二阶系统的时域分析 误差最大偏离量可以表示为： 误差的调节时间——误差进入稳态值5%误差带 所需时间：

第三节 二阶系统的时域分析 （2）临界阻尼单位斜坡响应

第三节 二阶系统的时域分析 （3）过阻尼单位斜坡响应 稳态误差为：

第三节 二阶系统的时域分析 五、改善二阶系统性能的措施 系统的平稳性和快速性对系统结构和参数的要求往往是矛盾的,工程中通过在系统中增加一些合适的附加装置来改善二阶系统的性能。 常用附加装置有比例微分环节和微分负反馈环节，通过附加的装置改变系统的结构,从而达到改善系统性能的目的.

1．比例微分控制 比例微分控制二 阶系统结构图 开环传递函数: 对二阶系统性能的改善 G(s)= n ) ( s(s+2 ζ τ s+1 2 第三节 二阶系统的时域分析 1．比例微分控制 比例微分控制二 阶系统结构图 - R(s) τ s+1 n C(s) s(s+2 ζ 2 ) ω 定性分析的结论： 可引起阻尼比增大,使超调量 %下降; 调节时间缩短; 不影响稳态误差（开环增益不变)和自然振荡频率n 。 开环传递函数: 对二阶系统性能的改善 G(s)= n ) ( s(s+2 ζ τ s+1 2 ω 闭环传递函数: c(t) t Φ(s)= ω n ζ s2+(2 + 2 ) ( τ s+1 )s+ 二阶系统 1 n ́ ω ζ =2 + τ 2 s+ = ω n ζ s2+2 2 ) ( τ s+1 ́ 加比例微分 ζ ́ = 2 + τ n ω 得

2．微分负/测速反馈控制 加微分负反馈系统: 开环传递函数 G(s)= ω n ζ s2+2 + s τ 2 对二阶系统性能的改善 第三节 二阶系统的时域分析 2．微分负/测速反馈控制 τ s - R(s) n C(s) s(s+2 ζ 2 ) ω 加微分负反馈系统: 开环传递函数 G(s)= ω n ζ s2+2 + s τ 2 对二阶系统性能的改善 闭环传递函数 加入测速反馈后会减小系统开环增益（增加稳态误差）； 使增大，因而可降低超调量%；不改变n。 c(t) t n ́ ω ζ =2 + τ 2 二阶系统 Ф(s)= ω n ζ s2+(2 + 2 τ )s+ 1 ζ ́ = 2 + τ n ω s+ = ω n ζ s2+2 2 ́ 加微分负反馈

3、比例微分控制与微分反馈的比较 1、增加阻尼的来源不同：两者都增大了系 统阻尼，但来源不同； 2、对于噪声和元件的敏感程度不同； 第三节 二阶系统的时域分析 3、比例微分控制与微分反馈的比较 1、增加阻尼的来源不同：两者都增大了系 统阻尼，但来源不同； 2、对于噪声和元件的敏感程度不同； 3、对开环增益和自然振荡角频率的影响不 同； 4、对动态响应的影响不同。

第三节 二阶系统的时域分析 （1）增加阻尼的来源 比例微分的阻尼来自误差信号的速度； 输出微分反馈的阻尼来自输出响应的速度； 因此对于给定的开环增益和指令速度，输出微分的稳态误差更大；

第三节 二阶系统的时域分析 （2）对于噪声和元件的敏感程度 比例微分控制对于噪声具有明显的放大作用，输入噪声大，不宜使用； 输出微分反馈对输入的噪声具有滤波作用，对噪声不敏感； 比例微分控制加在误差后，能量一般较小，需要放大器放大倍数较大，抗噪声能力弱； 输出微分反馈输入能量一般很高，对元件没有特殊要求，适用范围更广；

第三节 二阶系统的时域分析 （3）开环增益和自然振荡角频率的影响 比例微分控制对于开环增益和自然振荡角频率都没有影响； 输出微分反馈影响自然振荡角频率，但开环增益会明显减小——本章最后一节； 使用输出微分反馈要求开环增益较大，导致自然振荡角频率随之增大，容易和高频噪声产生共振；

第三节 二阶系统的时域分析 （4）对动态性能的影响 比例微分控制在闭环系统中引入了零点，加快了系统的响应速度——第4章； 相同阻尼比的情况下，比例微分控制引起的超调大于输出微分反馈系统的超调。

第四节 高阶系统的时域分析 第三章 线性系统的时域分析法 一、三阶系统的单位阶跃响应 可改写为： 第三章　线性系统的时域分析法 第四节 高阶系统的时域分析 在控制工程中,几乎所有系统都是高阶系统,其动态一般比较复杂。但满足一定条件时,可用一阶或二阶系统近似分析,此时采用了高阶系统闭环主导极点的概念. 可改写为： 一、三阶系统的单位阶跃响应 典型三阶系统是最简单的高阶系统，是在典型二阶系统基础上增加一个惯性环节构成，其传递函数为：

第三章 高阶系统的时域分析 单位阶跃响应为： 设 0<  <1 引入： 特点: 第三章　高阶系统的时域分析 单位阶跃响应为： 设 0<  <1 引入： 特点: 增加极点将使超调量减小，调节时间增加。当增加的极点远离虚轴（ >>1）时，其影响逐渐减小。 如果增加的极点位于共轭复数极点的右侧（即<1），则系统响应趋于平缓，响应特性类似于过阻尼情况的二阶系统。

第三章 高阶系统的时域分析 二、高阶系统的单位阶跃响应 1．高阶系统的单位阶跃响应 一般高阶系统的方框图如右图所示 传递函数为： 第三章　高阶系统的时域分析 二、高阶系统的单位阶跃响应 1．高阶系统的单位阶跃响应 一般高阶系统的方框图如右图所示 传递函数为： 有理分式表示为: 零极点形式为： K*=b0/a0为闭环传递函数写为闭环零、极点时的系数

（1）若系统闭环稳定，上式的指数项和阻尼正弦项均趋 第三章　高阶系统的时域分析 其阶跃响应为： 高阶系统的响应特征： （1）若系统闭环稳定，上式的指数项和阻尼正弦项均趋 向零，稳态输出为常数项； （2）系统响应的类型取决于闭环极点的性质，响应曲线 的形状与闭环零点有关（主要体现在影响留数的大 小和符号）。

虚轴 最近的极点而且周围没有闭环零点，其它的 闭环极点又远离虚轴，这个（对）极点所对应的 响应分量，其衰减得最慢，在系统的响应中起主 第三章　高阶系统的时域分析 三、闭环主导极点 稳定的高阶系统，在所有的闭环极点中，距 虚轴 最近的极点而且周围没有闭环零点，其它的 闭环极点又远离虚轴，这个（对）极点所对应的 响应分量，其衰减得最慢，在系统的响应中起主 导作用，所以这个（对）极点称为闭环主导极 点。其它极点称为非主导极点。

若高阶系统能找到这样的闭环主导极点，可以 第三章　高阶系统的时域分析 若高阶系统能找到这样的闭环主导极点，可以 用二 阶系统的动态性能指标来估算高阶系统的动态 性能。 在实际运用中，在用二阶系统动态性能进行估 算时，还需要考虑其它非主导极点、闭环零点的影 响。

第五节 线性系统的稳定性分析 分析系统的稳定性并提出改善系统稳定的措施是自动控制理论的基本任务之一。 一、稳定性的基本概念 第三章　线性系统的时域分析法 第五节 线性系统的稳定性分析 分析系统的稳定性并提出改善系统稳定的措施是自动控制理论的基本任务之一。 一、稳定性的基本概念 二、系统稳定的充分必要条件 三、稳定性判据

一、稳定性的基本概念 第五节 线性系统的稳定性分析 (a) (b) A B 图(a)表示小球在一个凹面上，原来的平衡位置为A，当小球受到外力作用后偏离A,例如到B,当外力去除后，小球经过几次振荡后，最后可以回到平衡位置，所以，这种小球位置是稳定的；反之，如图 (b)就是不稳定的。

稳定性的定义 第五节 线性系统的稳定性分析 稳定性是系统的固有特性，对线性系统来说，它只取决于系统的结构、参数，而与初始条件及外作用无关。 任何系统在扰动的作用下都会偏离原平衡状态产生初始偏差。所谓稳定性就是指当扰动消除后，由初始状态回复原平衡状态的性能；若系统可恢复平衡状态，则称系统是稳定的，否则是不稳定的。 稳定性是系统的固有特性，对线性系统来说，它只取决于系统的结构、参数，而与初始条件及外作用无关。

二、系统稳定的充分必要条件 n≥m 稳定性： A0 = s s-s1 + A1 An s-sn … 第五节 线性系统的稳定性分析 二、系统稳定的充分必要条件 稳定性： A0 = s s-s1 + A1 An s-sn … 系统受外作用力后,其动态过程的振荡倾向和系统恢复平衡的能力。 r(t) t c(t) 稳定 系统单位阶跃响应： c(t)=A0+A1es1t+…+Anesnt 不稳定 稳定的系统其瞬态 分量应均为零。 传递函数的一般表达式： 即： lim esit→0 t → ∞ Ф(s)= = b0sm+b1sm-1+···+bm-1s+bm a0sn +a1sn-1+···+an-1s+an R(s) C(s) n≥m 系统稳定的充分与必要条件： 系统输出拉 氏变换： 系统所有特征根的实部小于零,即特征方程的根位于S左半平面。 · C(s)= 1 s K0(s –z1)(s –z2)···(s –zm) (s –s1)(s –s2)···(s –sn)

三、稳定性判据 根据稳定的充分与必要条件,求得特征方程的根,就可判定系统的稳定性.但对于高阶系统求解方程的根比较困难。 第五节 线性系统的稳定性分析 三、稳定性判据 根据稳定的充分与必要条件,求得特征方程的根,就可判定系统的稳定性.但对于高阶系统求解方程的根比较困难。 判据之一：赫尔维茨（Hurwitz)稳定判据 系统稳定的充分必要条件是：特征方程的赫尔维茨行列式Dk（k＝1,2,3,…，n）全部为正。

第五节 线性系统的稳定性分析 系统特征方程的一般形式为： （一般规定 ） 各阶赫尔维茨行列式为：

第五节 线性系统的稳定性分析 举例： 系统的特征方程为： 试用赫尔维茨判据判断系统的稳定性。

解： 第五节 线性系统的稳定性分析 第一步：由特征方程得到各项系数 10 ２ １ ３ ５ 第二步：计算各阶赫尔维茨行列式 系统不稳定。 结论：

判据之二：林纳德－奇帕特（Lienard-Chipard)判据 第五节 线性系统的稳定性分析 判据之二：林纳德－奇帕特（Lienard-Chipard)判据 必要条件 系统稳定的充分必要条件为： １．系统特征方程的各项系数大于零，即 ２．奇数阶或偶数阶的赫尔维茨行列式大于零。即 或

劳斯稳定判据是根据闭环传递函数特征方程式的各项系数,按一定的规则排列成劳斯表，根据表中第一列系数正负符号的变化情况来判别系统的稳定性。 第五节 线性系统的稳定性分析 判据之三：劳斯(Routh)判据 劳斯稳定判据是根据闭环传递函数特征方程式的各项系数,按一定的规则排列成劳斯表，根据表中第一列系数正负符号的变化情况来判别系统的稳定性。

第一列元素符号改变的次数等于不稳定根的个数。 b31a5 -b33a1 s0 bn+1 b42= b31 第五节 线性系统的稳定性分析 设系统的特征方程为 a0sn +a1sn-1 + …+an-1s+an=0 根据特征方程的各项系数排列成劳斯表： a1a2 -a0a3 系统稳定的条件： sn a0 a2 a4 … b31= a1 (1) 特征方程式各项 系数都大于零。 sn-1 a1 a3 a5 … a1a4 -a0a5 b32= a1 b31 b32 b33 … sn-2 (2) 劳斯表中第一列 元 素均为正值。 b31a3 -b32a1 … sn-3 b41 b42 b43 b41= b31 … 第一列元素符号改变的次数等于不稳定根的个数。 b31a5 -b33a1 s0 bn+1 b42= b31

第五节 线性系统的稳定性分析 注意：劳斯表的每一行右边要计算到出现零为止；总行数应为n+1;如果计算过程无误，最后一行应只有一个数，且等于an；可用一个正整数去乘以或除去劳斯表中的任意一行，不改变判断结果。 劳斯判据： (ai>0) 劳斯表中第一列的所有计算值均大于零，则系统稳定。反之，如果第一列中出现小于或等于零的数，系统不稳定。而且第一列各系数符号的改变次数，等于特征方程正实部根的数目。

s4+2s3+3s2+4s+5=0 解： 劳斯表如下： 2*3 -1*4 b31= 2 s4 1 3 5 2*5 -1*0 b32= s3 第五节 线性系统的稳定性分析 例 已知系统的特征方程，试判断该系统 的稳定性。 s4+2s3+3s2+4s+5=0 解： 劳斯表如下： 2*3 -1*4 b31= =1 2 s4 1 3 5 2*5 -1*0 b32= = 5 s3 2 4 2 b31 b32 1*4 -2*5 s2 1 5 b41= =-6 1 s1 b41 -6 -6*5 -1*0 b51= = 5 -6 s0 b51 5 有两个正实部根，系统不稳定。

例 系统如图所示，试确定系统稳定放大倍数K的取值范围。 第五节 线性系统的稳定性分析 例 系统如图所示，试确定系统稳定放大倍数K的取值范围。 K s(0.1s+1)(0.25s+1) - R(s) C(s) 解： 闭环传递函数 Ф(s)= s(0.1s+1)(0.25s+1)+K K 特征方程: s3+14s2+40s+40K=0 劳斯表: 14*40 -1*40K s3 1 40 b31= >0 14 s2 14 40K 系统稳定的条件: s1 b31 560-40K>0 b41 14>K>0 s0 40K 40K>0

如果劳斯表中某行的第一个元素为零，表示系统中有纯虚根，系统不稳定。 第五节 线性系统的稳定性分析 劳思判据的特殊情况一 如果劳斯表中某行的第一个元素为零，表示系统中有纯虚根，系统不稳定。 该行中其余各元素不等于零或没有其他元素，将使得劳斯表无法排列。 此时，可用一个接近于零的很小的正数ε来代替零，完成劳斯表的排列。 下面举例说明:

ε 例 已知系统的特征方程，试判断系 统的稳定性。 s3+2s2+s+2=0 解： 劳斯表为: 2*1 -2*1 ( ) b31= =0 2 第五节 线性系统的稳定性分析 例 已知系统的特征方程，试判断系 统的稳定性。 s3+2s2+s+2=0 解： 劳斯表为: 2*1 -2*1 ( ε ) b31= =0 2 s3 1 1 2* ε -2*0 b41= =2 ε s2 2 2 通过因式分解验证: s1 b31 ε s3+2s2+s+2=0 s0 b41 2 (s+2)(s2+1)=0 系统有一对纯虚根 不稳定 s1=-2 s2.3=±j

ε 例 已知系统的特征方程,试用劳斯判据确定 s3-3s+2=0 解： 方程中的系数有负值，系统不稳定。 ε -2 -3 劳斯表为: = - 第五节 线性系统的稳定性分析 例 已知系统的特征方程,试用劳斯判据确定 方程的根在s平面上的分布。 s3-3s+2=0 解： 方程中的系数有负值，系统不稳定。 ε -2 -3 劳斯表为: = - ∞ b31= s3 1 -3 ε →0 b31 → - ∞ ε s2 0 2 第一列元素的符号变化了 两次,有一对不稳定根。 s1 b31 - ∞ b41 s0 2 s3-3s+2 =(s-1)2(s+2)=0 通过因式分解验证: s1.2=1 s3=-2

如果劳斯表中某一行的元素全为零，表示系统中含有不稳定的实根或复数根。系统不稳定。 第五节 线性系统的稳定性分析 劳思判据的特殊情况二 如果劳斯表中某一行的元素全为零，表示系统中含有不稳定的实根或复数根。系统不稳定。 此时，应以上一行的元素为系数，构成一辅助多项式，该多项式对s求导后，所得多项式的系数即可用来取代全零行。同时由辅助方程可以求得这些根。 下面举例说明:

劳斯表中某行同乘以某正数，不影响系统稳定性的判断。 s1 8/3 s0 16 第五节 线性系统的稳定性分析 例 已知控制系统特征方程,判断系统稳定性。 s6 +2s5 +8s4+12s3+20s2+16s+16=0 解： 劳斯表为: 由为零上一行的元素 组成辅助多项式： s6 1 8 20 16 s5 2 12 16 P(s)=2s4+12s2+16 s4 2 dP(s) ds 12 16 =8s3+24s s3 8 24 代入 系统有虚根,不稳定。 s2 6 16 劳斯表中某行同乘以某正数，不影响系统稳定性的判断。 s1 8/3 s0 16

调整系统的参数无法使其稳定，则称这类系统为结构不稳定系统。 第五节 线性系统的稳定性分析 劳斯稳定判据的应用： 调整系统的参数无法使其稳定，则称这类系统为结构不稳定系统。 K s2(Ts+1) - R(s) C(s) 如： 闭环传递函数： Ф(s)= Ts3+s2+K K 特征方程是式： Ts3+s2+K=0 由于特征方程中少了s项，无论K取何值系统总是不稳定。 解决的方法有以下两种：

1．改变环节的积分性质 1+ s 劳斯表: 1 s+1 = s3 T 1 G(s)= s(Ts+1)(s+1) K s2 1+T K 第五节 线性系统的稳定性分析 1．改变环节的积分性质 积分环节外加单位负反馈,系统结构图为: 1 1+ s K s(Ts+1) - R(s) 1 s C(s) 劳斯表: 1 s+1 = s3 T 1 G(s)= s(Ts+1)(s+1) K s2 1+T K 系统的闭环传递函数为 1+T-TK 1+T s1 C(s) R(s) = s(Ts+1)(s+1)+K K s0 K 系统稳定的条件 特征方程式: 1+T-TK>0 >K>0 1+T T Ts3+(1+T)s2+s+K=0 K>0

τ τ τ τ 2．加入比例微分环节 系统中加入比例微分环节结构图 G(s)= ) ( K τ s+1 s2(Ts+1) 劳斯表: 第五节 线性系统的稳定性分析 2．加入比例微分环节 系统中加入比例微分环节结构图 G(s)= ) ( K τ s+1 s2(Ts+1) K s2(Ts+1) R(s) τ s+1 - C(s) 劳斯表: 系统的闭环传递函数: T K τ Ф(s)= Ts3+s2+K s+1) K( s+K τ s3 s2 1 K 系统稳定的条件: K( -T) τ s1 -T>0 τ >T τ 即 s0 K K>0 K>0

稳定裕度的检验 第五节 线性系统的稳定性分析 应用劳斯判据不仅可以判断系统稳定与否，即相对稳定性。也可以判断系统的是否具有一定的稳定裕度，即相对稳定性。这时可以移动S平面的坐标系，然后再应用劳斯判据。如图： 将上式代入原方程，得到以Z为变量的新的特征方程，再检验其稳定性。此时系统如果仍然稳定，则说系统具有稳定裕度α。

第五节 线性系统的稳定性分析 例：系统特征方程为 判断系统是否有根在右半平面，并验有几个根在s=-1的右边。 将s=z-1代入原方程得： ROUTH’S TABLE： NEW ROUTH’S TABLE： 故S右半平面无根。 故有一个根在s=-1的右边。

第六节 线性系统的稳态误差计算 一、误差与稳态误差 二、系统类型 三、稳态误差与静态误差系数 四、动态误差系数 五、扰动作用下的稳态误差 第三章　线性系统的时域分析法 第六节 线性系统的稳态误差计算 一、误差与稳态误差 二、系统类型 三、稳态误差与静态误差系数 四、动态误差系数 五、扰动作用下的稳态误差 六、减小或消除稳态误差的措施

一.误差与稳态误差 第六节 线性系统的稳态误差计算 1、从输入端定义的稳态误差 。 输入量与反馈量之差称为误差。 误差信号为 对应的时间函数 第六节 线性系统的稳态误差计算 一.误差与稳态误差 1、从输入端定义的稳态误差 。 输入量与反馈量之差称为误差。 误差信号为 对应的时间函数 稳态误差定义为 在实际系统中，输入误差可以直接测量得到，因此由输入端定义的误差在实际中应用较多。

第六节 线性系统的稳态误差计算 2、从输出端定义的稳态误差 。 系统输出量的希望值与实际值之差。 系统的实际稳态输出为 则稳态误差为 第六节 线性系统的稳态误差计算 2、从输出端定义的稳态误差 。 系统输出量的希望值与实际值之差。 系统的实际稳态输出为 则稳态误差为 输入端定义的稳态误差与输出端定义的稳态误差关系 α为反馈通道的传输系数 单位反馈时为

第六节 线性系统的稳态误差计算 3、稳态误差的计算 误差传递函数的定义： 系统误差的计算： 系统的稳态误差= 误差的稳态分量 第六节 线性系统的稳态误差计算 3、稳态误差的计算 误差传递函数的定义： 系统误差的计算： 系统的稳态误差= 误差的稳态分量 利用拉普拉斯变换的终值定理求误差信号的稳态分量：

第六节 线性系统的稳态误差计算 注： 在计算系统误差的终值(稳态误差)时，遇到的误差函数E(s)一般是s 的有理分式函数，这时当且仅当sE(s)的极点均在左半面，就可保证 存在，式 就成立。 sE(s)的极点均在左半面的条件中，蕴涵了闭环系统稳定的条件。

对应于υ为0、1、2的系统，分别称为0型、I型和II型系统。 essr=lim er(t) =lim s·Er(s) 根据终值定理得: 第六节 线性系统的稳态误差计算 二.系统类型 _ H(s) G1(s) G2(s) R(s) C(s) + D(s) E(s) B(s) 对应于υ为0、1、2的系统，分别称为0型、I型和II型系统。 essr=lim er(t) t→∞ s→0 =lim s·Er(s) 根据终值定理得: 控制系统的 典型结构 输入信号表示为: R(s) 1+G(s)H(s) s→0 =lim s· 下面分别讨论不同输入信号作用下系统的稳态误差。 R(s)= A s N 系统误差： 输入信号阶次 开环传递函数表示为: 稳态误差可表示为： e(t)=r(t)-b(t) 稳态误差： ess=lim e(t) t→∞ essr=lim s A s K 1+ s→0 υ N m G(s)H(s)= s j=1 υ Π(Tjs+1) n- KΠ( i=1 τ is+1) 开环增益 R(s)作用时 设D(s)=0 n≥m Er(s)= R(s) 1+G1(s)G2(s)H(s) = R(s) 1+G(s)H(s) 积分环节个数 时间常数 系统的稳态误差与N、A、K、υ有关。

三.稳态误差与静态误差系数 1、阶跃输入 设 设静态位置误差系数: R(s)= R s Kp=lim G(s)H(s) 第六节 线性系统的稳态误差计算 三.稳态误差与静态误差系数 1、阶跃输入 设 r(t)=R 1(t) 设静态位置误差系数: R(s)= R s Kp=lim G(s)H(s) s→0 essr=lim s· 1+G(s)H(s) s→0 R s K s =lim υ s→0 1+limG(s)H(s) s→0 R = = R 1+Kp υ=0 essr= R 1+K Kp=K G(s)H(s)= s j=1 υ Π(Tjs+1) n- m KΠ( i=1 τ is+1) υ≥1 Kp=∞ essr=0

阶跃输入时不同型别系统响应曲线 (a)υ= 0 (b)υ≥ 1 r(t) t c(t) r(t) t c(t) r(t) ess=0 第六节 线性系统的稳态误差计算 阶跃输入时不同型别系统响应曲线 (a)υ= 0 (b)υ≥ 1 r(t) t c(t) r(t) t c(t) r(t) ess=0 r(t) ess c(t) c(t) essr= R0 1+K essr=0

结论 第六节 线性系统的稳态误差计算 由于0型系统无积分环节，其阶跃输入时的稳态误差为与K有关的一定值，因此常称为有差系统。 第六节 线性系统的稳态误差计算 结论 由于0型系统无积分环节，其阶跃输入时的稳态误差为与K有关的一定值，因此常称为有差系统。 为减小稳态误差，可在稳定条件允许的前提下，增大K值。 若要求系统对阶跃输入的稳态误差为零，则应使系统的类型高于I型。

R R R R R 2、斜坡输入 设 r(t)= t 设静态速度误差系数: R(s)= s2 υ K =lim sG(s)H(s) 第六节 线性系统的稳态误差计算 2、斜坡输入 设 r(t)= R t 设静态速度误差系数: R(s)= s2 R υ K =lim sG(s)H(s) s→0 essr=lim s· 1+G(s)H(s) s→0 2 s R -1 K s =lim υ s→0 υ = K R 可得： lim sG(s)H(s) s→0 = R essr=∞ υ=0 K υ=0 G(s)H(s)= s j=1 υ Π(Tjs+1) n- m KΠ( i=1 τ is+1) essr= K R υ=1 K υ=K υ≥ 2 K υ=∞ essr=0

υ 斜坡输入时不同型别系统响应曲线 (a)υ= 0 (b)υ= 1 t ess t ess essr= K essr=∞ ess t 第六节 线性系统的稳态误差计算 斜坡输入时不同型别系统响应曲线 (a)υ= 0 (b)υ= 1 r(t) t c(t) ess r(t) t c(t) ess r(t) r(t) c(t) c(t) essr= K υ essr=∞ ess r(t) t c(t) c(t) r(t) (c)υ≥ 2 essr=0

结论 第六节 线性系统的稳态误差计算 可见，0型系统不能跟踪斜坡输入信号。随时间的推移,误差越来越大； 第六节 线性系统的稳态误差计算 结论 可见，0型系统不能跟踪斜坡输入信号。随时间的推移,误差越来越大； I型系统可以跟踪斜坡输入信号。但具有与K有关的稳态误差，可用增加K的方法提高稳态精度； II型及以上系统可完全跟踪斜坡输入信号，即稳态误差为零。

3、抛物线输入 r(t)= 1 2 Rt2 设 设静态加速度误差系数 R(s)= s3 R Ka=lim s2G(s)H(s) R 第六节 线性系统的稳态误差计算 3、抛物线输入 r(t)= 1 2 Rt2 设 设静态加速度误差系数 R(s)= s3 R Ka=lim s2G(s)H(s) s→0 R essr=lim s· 1+G(s)H(s) s→0 3 s -2 K s =lim υ s→0 可得： R lim s2G(s)H(s) s→0 = R Ka = υ≤1 Ka=0 essr=∞ essr= K R G(s)H(s)= s j=1 υ Π(Tjs+1) n- m KΠ( i=1 τ is+1) υ=2 Ka=K υ≥ 3 Ka=∞ essr=0

抛物输入时不同型别系统响应曲线 (a)υ≤1 (b)υ= 2 r(t) ess r(t) ess c(t) c(t) r(t) r(t) 第六节 线性系统的稳态误差计算 抛物输入时不同型别系统响应曲线 (a)υ≤1 (b)υ= 2 r(t) t c(t) ess r(t) t c(t) ess r(t) r(t) c(t) c(t) essr= K a0 essr=∞

结论 对于Ⅲ型系统及以上系统： 第六节 线性系统的稳态误差计算 可见，I型及以下系统不能跟踪抛物线输入，误差越来越大； 第六节 线性系统的稳态误差计算 结论 对于Ⅲ型系统及以上系统： 可见，I型及以下系统不能跟踪抛物线输入，误差越来越大； II型系统可以跟踪抛物线输入信号。但具有与K有关的稳态误差，可 用增加K的方法提高稳态精度； III型及以上系统可完全跟踪斜坡输入信号，即稳态误差为零。

根据前面的分析可得出典型结构的系统，稳态误差与系统输入和型号的关系为： 第六节 线性系统的稳态误差计算 根据前面的分析可得出典型结构的系统，稳态误差与系统输入和型号的关系为： R(s) υ s2 R s3 R R s R 1+K 0型 ∞ ∞ K R ∞ I型 K R II型 输入的阶次越高，稳态误差越大。系统的型号越高，稳态误差越小。

例 已知系统的结构如图所示。求系统 的稳态误差。 1 R(s)= + s s2 解： 开环传递函数为 - 5 100×0.5 第六节 线性系统的稳态误差计算 例 已知系统的结构如图所示。求系统 的稳态误差。 + R(s)= s 1 s2 开环传递函数为 0.5 100 s(s+10) - R(s) C(s) 解： G(s)H(s)= 100×0.5 s(s+10) s(0.1s+1) 5 = R(s)= s 1 s2 1 R(s)= ess1=0 ess2=0.2 Kp=lim G(s)H(s) s→0 υ K =lim sG(s)H(s) s→0 =lim s→0 s(0.1s+1) 5 =lim s→0 s(0.1s+1) 5 s =∞ =5 essr=ess1+ess2 =0.2

例 位置随动系统的稳态误差分析。 解： (1) 典型随动系统 开环传递函数为 K s(Tms+1) G(s)= θ r(s)= s 1 第六节 线性系统的稳态误差计算 例 位置随动系统的稳态误差分析。 解： (1) 典型随动系统 K s(Tms+1) - θ r(s) c(s) 开环传递函数为 K s(Tms+1) G(s)= θ r(s)= s 1 当输入信号 Kp=∞ essr=0 s2 θ r(s)= 1 essr= K 1 当输入信号 K υ=K

τ ess=limsE(s) τ τ τ= (2) 随动系统前加入比例微分环节 系统为非典型结构,闭环传递函数 Ф(s)= 第六节 线性系统的稳态误差计算 (2) 随动系统前加入比例微分环节 K s(Tms+1) - θ r(s) c(s) τ s+1 系统为非典型结构,闭环传递函数 Ф(s)= Tms2 +s+K K( τ s+1) E(s)= θ r(s)- c(s) = θ r(s)[1- ] Tms2 +s+K K( τ s+1) s2 θ r(s)= 1 当输入信号 ess=limsE(s) s→0 = Tms2 +s+K Tms2 +s+K-K-K τ s θ r(s) Tms2 +s+K Tms2+s-K τ s 1 =lims s→0 × s2 = K 1-K τ τ= K 1 essr=0

τ (3) 前向通道中加入比例微分环节 s) K(1+ s(Tms+1) G(s)= 开环传递函数为 θ r(s)= s 1 当输入信号 第六节 线性系统的稳态误差计算 (3) 前向通道中加入比例微分环节 K s(Tms+1) - θ r(s) c(s) τ s+1 s) τ K(1+ s(Tms+1) G(s)= 开环传递函数为 θ r(s)= s 1 当输入信号 Kp=∞ essr=0 essr= K 1 s2 θ r(s)= 1 当输入信号 K υ=K 开环零点对稳态误差没有影响

将误差传递函数在s=0的领域内展开为泰勒级数 第六节 线性系统的稳态误差计算 四.动态误差系数 利用静态误差系数求稳态误差，实际上是计算在t时系统误差的极限值。它不能反映误差随时间变化的规律。 为此,引入动态误差系数的概念 ,用于分析误差随时间变化的规律。 将误差传递函数在s=0的领域内展开为泰勒级数

第六节 线性系统的稳态误差计算 误差信号可表示为如下级数： 定义：动态误差系数

第六节 线性系统的稳态误差计算 通常使用以下求动态误差系数的方法： （1）将已知开环传递函数写成分子、分母多项式的比值形式 第六节 线性系统的稳态误差计算 通常使用以下求动态误差系数的方法： （1）将已知开环传递函数写成分子、分母多项式的比值形式 （2）写出多项式比值形式的误差传递函数（按s的升幂排列写） （3）使用多项式除法，得到一个S的升幂级数 （4）得到用动态误差系数表示的E(s)

五.扰动信号作用下的稳态误差 R(s)=0 D(s)作用下的系统结构图 Ed(s)= -G2(s)H(s) 1+G1(s)G2(s)H(s) 第六节 线性系统的稳态误差计算 五.扰动信号作用下的稳态误差 R(s)=0 D(s)作用下的系统结构图 + D(s) G1(s) G2(s) -H(s) E(s) Ed(s)= -G2(s)H(s) 1+G1(s)G2(s)H(s) ·D(s) essd= lim s -G2(s)H(s)D(s) 1+G1(s)G2(s)H(s) s→0

例 已知系统的传递函数， 求系统的稳态 误差。 r(t)=2t d(t)=0.51(t) G1(s)= s+5 10 s(3s+1) 5 第六节 线性系统的稳态误差计算 例 已知系统的传递函数， 求系统的稳态 误差。 r(t)=2t d(t)=0.51(t) G1(s)= s+5 10 s(3s+1) 5 G2(s)= s(0.2s+1)(3s+1) s(3s+1) 1+ 20 5×2 s 0.5 s→0 =lim s - · H(s)=2/s =-0.25 解： 系统的开环传递函数为 G1(s)G2(s)H(s)= 50×2 s(s+5)(3s+1) s(0.2s+1)(3s+1) 20 = ess=essr+essd =0.1-0.25=-0.15 R(s)= s2 2 2 essr= K υ 2 K = 2 20 = =0.1 essd= lim s -G2(s)H(s)D(s) 1+G1(s)G2(s)H(s) s→0 D(s)= 0.5 s

增加积分环节可提高系统精度等级，增加放大系数可减小有限误差。采用补偿的方法，则可在保证系统稳定的前提下减小稳态误差。 第六节 线性系统的稳态误差计算 六.减小或消除稳态误差的措施 增加积分环节可提高系统精度等级，增加放大系数可减小有限误差。采用补偿的方法，则可在保证系统稳定的前提下减小稳态误差。 但一般系统的积分环节不能超过两个，放大倍数也不能随意增大，否则将使系统暂态性能变坏，甚至造成系统不稳定。因此稳态精度与暂态性能、稳定性始终存在矛盾。在保证系统稳定的前提下，为实现提高稳态精度的目的，可采用以下措施：

第六节 线性系统的稳态误差计算 1、在增大开环增益和扰动作用点前系统前向通道增益K1的同时，附加校正装置，以确保稳定性。 2、增加系统前向通道积分环节个数的同时，也要对系统进行校正，以防止系统失去稳定，并保证具有一定的瞬态响应速度。 3、采用复合控制。在按输出反馈控制的基础上，再增加按给定作用或主要扰动而进行的补偿控制，构成复合控制系统。

1．引入输入补偿 输入补偿复 合控制系统 系统的稳态误差: E(s)=R(s)-C(s) =R(s)-R(s) 1+G1(s)G2(s) 第六节 线性系统的稳态误差计算 1．引入输入补偿 Gc(s) R(s)Gc(s) 输入补偿复 合控制系统 R(s) - + C(s) E(s) G2(s) G1(s) 系统的稳态误差: E(s)=R(s)-C(s) =R(s)-R(s) 1+G1(s)G2(s) G1(s)G2(s) -R(s)Gc(s) 1+G1(s)G2(s) G2(s) =R(s)[1- 1+G1(s)G2(s) ] G1(s)G2(s)+G2(s)Gc(s) G2(s) Gc(s)= 1 = 1+G1(s)G2(s) 1-Gc(s)G2(s) ·R(s) 1-Gc(s)G2(s)=0 E(s)=0

G2(s)[1+Gc(s)G1(s)]D(s) =- 1+Gc(s)G1(s)=0 第六节 线性系统的稳态误差计算 2．引入扰动补偿 D(s)Gc(s) D(s) Gc(s) 扰动补偿复合控制系统 R(s) - C(s) + E(s) G1(s) G2(s) R(s)=0 E(s)=-C(s) 1+G1(s)G2(s) =-[ G2(s) D(s) Gc(s)D(s)] 1+G1(s)G2(s) G1(s)G2(s) + 1+G1(s)G2(s) G2(s)[1+Gc(s)G1(s)]D(s) =- 1+Gc(s)G1(s)=0 G1(s) Gc(s)=- 1 即 E(s)=0

第三章　线性系统的时域分析法 第三章　总 结 时域法分析系统的性能主要是通过求系统的单位阶跃响应和系统的性能指标。时域分析法是一种直观的、高精度的分析方法。系统性能的分析过程： 系统数学 模型 代数判据 判断系统 稳定性 根据 n ω ζ 、 求系统的单 位阶跃响应 稳 快 ts tp tr σ% 动态指标 求系统的 性能指标 ess 准 稳态指标

主要内容 t) e 一、系统的单位阶跃响应 1.一阶系统 c(t)=1-e-t/T c(t)=A1+A2es1t+A3es2t 2.二阶系统 第三章　线性系统的时域分析法 主要内容 一、系统的单位阶跃响应 1.一阶系统 c(t)=1-e-t/T c(t)=A1+A2es1t+A3es2t 2.二阶系统 ζ>1 n ω c(t)=1- e - t (1+ t) ζ=1 c(t)=1- t+ ) e ζ ωnt - 2 1- d ω sin( β ζ<1 ζ=0 n ω c(t)=1-cos t

e 二、系统的性能指标 1.一阶系统 ts=3T ts=4T 2.二阶系统 T1= s1 -1 ζ≥１ |s1|<|s2| 第三章　线性系统的时域分析法 二、系统的性能指标 (±5%) 1.一阶系统 ts=3T ts=4T (±2%) 2.二阶系统 T1= s1 -1 ζ≥１ |s1|<|s2| ts=3T1 (±5%) ts=4T1 (±2%) tr= d ω π β - tp= d ω π σ%= e - ζ π 1- 2 100% ζ<1 ts ζ 3 ω n = ts ζ 4 ω n = (±5%) (±2%)

三、二阶系统的性能改善 Φ(s)= ω n ζ s2+(2 + 2 ) ( τ s+1 )s+ 1.比例微分控制 ζ↑ ts↓ σ%↓ 第三章　线性系统的时域分析法 三、二阶系统的性能改善 Φ(s)= ω n ζ s2+(2 + 2 ) ( τ s+1 )s+ 1.比例微分控制 ζ↑ ts↓ σ%↓ Φ(s)= ω n ζ s2+(2 + 2 τ )s+ 2.微分反馈控制 σ%↓ ess↓ ζ↑ Φ(s)= ω n ζ s2+2 2 ) ( τ s+1 s+ 3.闭环零点控制 ess↓ tr↓ σ%↑

根据闭环传递函数特征方程式的各项系数判断稳定性． 第三章　线性系统的时域分析法 四、控制系统的稳定性分析 1.系统稳定的充分与必要条件 系统所有特征根的实部小于零。 2.劳斯稳定判据 根据闭环传递函数特征方程式的各项系数判断稳定性． a0sn +a1sn-1 + …+an-1s+an=0 3.结构不稳定系统的改进 积分环节加反馈 加比例微分控制

五、控制系统的稳态误差分析 essr R(s) 1+G(s)H(s) =lim s· Kp=lim G(s)H(s) υ 第三章　线性系统的时域分析法 五、控制系统的稳态误差分析 1.给定信号作用下的稳态误差 essr R(s) 1+G(s)H(s) s→0 =lim s· 2.静态误差系数 Kp=lim G(s)H(s) s→0 υ K =lim sG(s)H(s) s→0 Ka=lim s2G(s)H(s) s→0 3.扰动信号作用下的稳态误差 essd= lim s -G2(s)H(s)D(s) 1+G1(s)G2(s)H(s) s→0 引入输入补偿 4.提高稳态精度的方法 引入扰动补偿

第三章　线性系统的时域分析法 作 业 习题 3-5、3-9、3-14、3-18 返回