电磁场理论基础 第九章 导行电磁波 主讲教师：司黎明 办公室：4号楼202；新信息楼212 办公电话：68915628、68918212 第九章 导行电磁波 主讲教师：司黎明 办公室：4号楼202；新信息楼212 办公电话：68915628、68918212 E-mail: lms@bit.edu.cn 手机号：13810113982 北京理工大学 信息与电子学院 司黎明

第九章课后习题 9.1； 9.2；9.3；9.4；9.5；9.8；9.9；9.10；9.11；9.15；9.20；9.23

{ ①无界媒质中 麦克斯韦方程的解 均匀平面电磁波 波导中 麦克斯韦方程的解 导行电磁波 ②波导 广义：用来导引电磁波进行定向传输的装置。 ①无界媒质中 麦克斯韦方程的解 均匀平面电磁波 波导中 麦克斯韦方程的解 导行电磁波 ②波导 广义：用来导引电磁波进行定向传输的装置。 习惯上 按结构分： 平行双线传输线、同轴线、带线和微带线等 按横截面形状分： 矩形波导、圆形波导和椭圆波导等 按使用频段分： 介质波导和光纤 { ③导行电磁波问题仍然是电磁场的边值问题，即求解满足波导边界条件的波动方程，然后分析沿波导的传播特性。

§9.1 导行波的电磁场 1、均匀波导中的 假定 ①由理想导体构成的导波装置沿z方向均匀； ②并且置于线性、均匀、各向同性的理想媒质中； §9.1 导行波的电磁场 1、均匀波导中的 假定 ①由理想导体构成的导波装置沿z方向均匀； ②并且置于线性、均匀、各向同性的理想媒质中； ③电磁波在媒质中沿导体向方向传播。 此时电磁场的复矢量为： 称为导行电磁波的传播常数 将这两个表达式代入理想媒质无源区域的麦克斯韦方程中，即

考虑到各分量都有 的关系，则在直角坐标系中有 电磁场共有六个分量，但其中四个横向分量可以用两个纵向分量导出

因此可以得到由纵向分量 表示的横向分量表达式 其中 可见，若求得了 和 ，则电磁场的各分量就可求得。

　　在广义坐标系下，电磁场的横向电磁分量可由纵向电磁分量来导出，写成矩阵的形式为 在直角坐标系中， 在圆柱坐标系中,

电场、磁场都满足齐次亥姆霍兹方程 由此可求得电磁场纵向分量满足以下方程 令 则以上两式可以写成 求解这两个纵向分量的方程，就可以得到波导中的电磁场解。

2、波导中电磁波解的分类 ① 横电波或TE波，也称为磁波或H波 横磁波或TM波，也称为电波或E波 TE波和TM波的组合叠加 ② 只有当 时，才可能有不等于零的横向场分量 导行电磁波的电场分量和磁场分量都垂直于传播方向，故称为横电磁波或TEM波 。

§9.2 矩形波导管中的电磁波 一. 矩形波导内的 TE 电磁波 矩形波导管轴线与 z 轴方向一致， 内壁坐标分别为 §9.2 矩形波导管中的电磁波 矩形波导管轴线与 z 轴方向一致， 内壁坐标分别为 假设波导管材料为理想导体， 内部为理想介质。 一. 矩形波导内的 TE 电磁波 因为 ，所以只需求解方程 可利用分离变量法求解，令

则有 分离变量 其中 写成标准形式 两方程的解分别为

所以 利用横向分量与纵向分量的关系可得两个磁场分量 在波导壁上，电场切向分量满足零边界条件，即 ① ② ③ ④ 根据条件①②可得 C = 0，根据条件③④可得A = 0，所以 其中 ，由初始条件确定。

两个电场分量 再利用边界条件②和④可得 若对任意的 x y 都成立，则必须 至此，除了常数 H0 将由激励强度决定外，其它常数均已确定。

因此，TE波的5个场分量的表达式为 以上各式乘以传播因子 ，并作矢量相加后就得到矩形波导内TE波的电磁场复矢量 其中

★关于 TE 波的说明： 1、物理图像 ①每一组m、n值对应一种分布，称为一种 TEmn模。 ②每个TEmn模的场分量 沿x方向呈m／2个周期的正弦或余弦变化， 沿y方向呈n／2个周期的正弦或余弦变化， 所以m和n分别表示场分布沿 x 和 y 方向变化的半周期数。 ③ m 和 n 最多只能有一个为零，否则将使横向分量都为零。 而仅有一个周期性变化的纵向磁场分量，不满足麦克斯韦方程， 电磁波不复存在。 ④当n =0 时， TEm0模：只有E0y，H0x，H0z 当m =0 时，TE0n模： 只有E0x，H0y，H0z

2、TEmn波的参数 ①传播常数 a. 当γ为虚数（即βmn是实数）时 电磁场瞬时表达式具有 的形式， 形成沿z方向传播的电磁波， βmn称为导行波的相位常数 。 b. 当γ为实数（即 βmn 是虚数）时 电磁场瞬时表达式变成 的形式， 场幅度沿z衰减，并且没有了等相位面的移动，失去电磁波的 传输特征，称之为截止。

②截止频率 βmn = 0 时的频率称为截止频率，记作fmn 其中 为波导填充介质中的光速。 决定截止频率fmn的因素：波导尺寸（a , b） 模式（m, n） 介质参量（ε,μ） ③截止波长

④传输条件 用fmn和λmn表示的相位常数为 βmn是实数时，电磁波可以在波导中传输，即 或 （TEmn波的）传输条件 可见，波导具有高通特性。

⑤基模和高次模 利用高通特性，可以通过选择波导尺寸和充填介质的参数来抑制m、n较大的模式，使波导内只存在一种或少数几种m、n较小的传输模式。 一般选取波导尺寸a > b，此时TE10模具有最低的截止频率和最长的截止波长， TE10模称为基模，其他模通称为高次模。 若工作频率f 满足 或 则波导内只有TE10波单模传输 除基模TE10以外，其它高次模一般不能实现单模传输。 这是因为当工作频率高于某种高次模的截止频率时，也一定高于TE10模和一些较低模的截止频率，从而使波和这些较低模也满足传输条件。

⑥相速度 ⑦导波波长 ⑧波阻抗 是同种介质中均匀平面电磁波的波阻抗 当 时， 当 时， ，相当于波导开路； 当 时， 成为虚数，电场和磁场相位相差π/ 2，没有平均电磁场能量的传输，电磁能量只是在波导与信号源之间来回反射振荡。

⑤电磁场的瞬时分布（以TE10为例） TE10 波的场分布图

二. 矩形波导内的 TM 电磁波 对于TM波，意味着 利用分离变量法可以得到TM波电磁场的各分量表达式

所以，矩形波导内TE波的电磁场复矢量为 其中 ★TM波与TE波的异同点： ①矩形波导内的TM波也有无穷多个解，称为TMmn模。 TM波的m和n都不能为零，因而，TM波的最低模是TM11。 ②TMmn模的传播常数γ、相位常数βmn、截止频率fmn、截止波长 λ mn 、相速度vp 、导波波长 λg和传播条件的表达式与TEmn模 对应量的表达式完全相同。 ★ m、n值相同的TMmn模和TEmn模称为简并模 ★ TM波一般不能单模传输!

③TMmn模的波阻抗与TEmn模不同 当 时， 当 时， ，相当于波导短路； ★矩形波导中的各种传输模式

参见 波导规格.pdf Waveguide Designation a (in) b t fc10 (GHz) freq range WR975 9.750 4.875 .125 .605 .75 – 1.12 WR650 6.500 3.250 .080 .908 1.12 – 1.70 WR430 4.300 2.150 1.375 1.70 – 2.60 WR284 2.84 1.34 2.08 2.60 – 3.95 WR187 1.872 .872 .064 3.16 3.95 – 5.85 WR137 1.372 .622 4.29 5.85 – 8.20 WR90 .900 .450 .050 6.56 8.2 – 12.4 WR62 .311 .040 9.49 12.4 - 18 参见 波导规格.pdf

例 设某矩形波导的尺寸为a=8cm, b=4cm; 试求工作频率在3 GHz时该波导能传输的模式。

解: 由 f=3 GHz，得 可见，该波导在工作频率为3GHz时只能传输TE10模。

例9.1 一空气填充的矩形波导传输TE10模波，工作频率为 f = 3 GHz。若要求工作频率至少比TE10模的截止频率高20%，而比距TE10模最近的高次模的截止频率低20%。试决定波导尺寸a和b 。 解: 由截止频率表达式可得 根据要求有 可得 一般传输波导a 略大于2b，可选择 a = 70 mm ，b = 34 mm

§9.3 TE10模电磁波 TE10模（a > 2b）的优点： ①截止波长最长（截止频率最低） ② 在同一频带内要求波导尺寸最小 ③具有最小的衰减 1、TE10模的参数

2、TE10模的特征 ①电磁场分布 TE10模电磁波的复矢量为 电场： 只有一个分量且极化在y方向上 其振幅沿x方向呈正弦分布 在 x = 0 及 x = a 处为零， x = a / 2 处有最大值 yz平面称为电场平面或E面 磁场： 两个分量均在xz平面内 xz平面称为磁场平面或H面

②TE10模的波阻抗 ③波导内壁上的表面电荷和表面电流 根据边界条件 ，上、下底面的面电荷密度复振幅为 由边界条件 ，可得波导内壁上的电流面密度复矢量为

面电流的瞬时值为 其分布图形如图所示：

3、部分波 以TE10模为例，将其电场表达式改写成 其中 TE10模可以看作两个平面电磁波的迭加： ①两个x分量迭加等效于垂直入射到导体平面的平面波在导体外形成全驻波；②两个z分量迭加形成传输的行波。

沿传播方向看，两个波峰之间距离就是导行波的导波波长 相速度为 沿z方向能量的传播速度为 并且有 当 时 ，相当于电磁波平行于导体平面传播 当 时 ，相当于电磁波垂直入射到导体表面上，形成全驻波，z 方向没有能量传播，称为截止。

§9.4 波导中的能量传输与损耗 一. 波导中的传输功率 波导传输的功率为坡印廷矢量平均值对波导横截面的积分 对于TE10模 §9.4 波导中的能量传输与损耗 一. 波导中的传输功率 波导传输的功率为坡印廷矢量平均值对波导横截面的积分 对于TE10模 式中Em是x = a/2处的幅值，即电场最大幅值， 是TE10波的波阻抗。

二. 波导的衰减 1、衰减的原因 ①表面电流的存在将引起电磁波能量的损耗。 ②媒质的非理想状态也将引起损耗。 2、衰减的计算 二. 波导的衰减 1、衰减的原因 ①表面电流的存在将引起电磁波能量的损耗。 ②媒质的非理想状态也将引起损耗。 2、衰减的计算 将损耗看成是一种微扰，则传播常数可以写作 其中α称为导行波的衰减常数，即电磁场的振幅将按 e-αz 规律衰减，而传输功率将按 e-2αz 规律衰减。z处截面通过的功率可以写成 两边对z求导，得 由此得到

α的单位为奈培每米(NP／m)。 α＝1NP / m 时，电磁波传输1米距离的功率将下降到初值的1/e2。 从图中可以看出： ①在截止频率附近的衰减很大，随着频率升高衰减迅速下降，达到一个最小值后再缓慢增大。 ②衰减随着b／a 比值的增大而减小，但b／a＞1/2 后，减小已经比较缓慢。兼顾衰减和最大单模传输频带的要求，一般取b／a 略小于1/2

§9.5 圆形波导中的电磁波 圆波导中，向 z 方向传播的电磁场复矢量表示为 在圆柱坐标系下，代入麦克斯韦方程可得

由此可求得用纵向分量表示的横向分量为 利用波动方程，可以得到纵向分量所满足的二维亥姆霍兹方程 求解这两个纵向分量的方程，就可以得到波导中的电磁场解。

一.TE 模场量的一般表达式 利用分离变量法可得 其中qmn表示m阶贝塞尔函数导数的第n个根，每给定一组m和n的值，就决定一种场结构。

一.TM 模场量的一般表达式 利用分离变量法可得 其中pmn表示m阶贝塞尔函数的第n个根，每给定一组m和n的值，就决定一种场结构。

根据贝塞尔函数性质，可得到不同模式的工作波长，排序后如图所示 可以看出TE11模的截止波长最长，它是圆波导中的基模。 TE11模单模传输的工作波长范围是

三. 传播特性 圆波导中的传输参量为

§9.6 传输线上的TEM波 1、TEM波的电磁场 对于TEM波 ，而 都不为零 所以 即 TEM波的场分量表达式为 （i=x , y）

根据无源理想介质区域中的复Maxwell方程可得（9-3a） 对于TEM波，H0z= 0，将 带入得 同理 TEM波与自由空间的均匀平面电磁波相比较： ①传输特性及电场和磁场的关系与十分类似。 ②差别仅在于TEM波的振幅E0i和H0i是坐标x、y的函数。

2、传输TEM波时传输线上的电位分布 将TEM波的电场二维复矢量记作 取旋度得 根据（9-3f） 并且对于TEM波，有H0z= 0，所以 由于 无旋，故可以表示为标量位函数 的梯度，令

取散度得 对于电场有 而 代入后消去 ，得到 因此电位的微分方程是 此电位与静电场中无电荷区域的电位都满足Laplace方程，时变场的导体边界与静电场的导体边界一样也是等电位边界。 根据唯一性定理，两个位函数应有相同的表达式。 因此，对于同轴线和平行双线这类典型问题，只需将相同边界形状的静电位或静电场的解直接使用即可。

例 9.5 已知同轴传输线的内导体半径为a，外导体的内径为b。 求：①同轴线传输TEM波的电场和磁场的表达式。 ②用单位长度的电感和电容表示相速度。 解：①静电场中同轴线的解为 上式乘以 ，并记 为复常数，得到TEM波的电场复矢量 电场瞬时矢量为 对应的磁场复矢量为 磁场瞬时矢量为

②根据同轴线单位长度上的电感和电容 TEM波的相速度可以表示为 优点： ①没有截止频率的限制，原则上可以传输任意频率的电磁波； ②TEM波为非色散波，不会产生宽带信号的变形。 缺点： ①开放的双线系统其辐射损耗大； ②同轴线系统在频率较高时存在着较大的介质损耗； ③功率容量比较小。

§9.7 谐振腔 一、谐振腔简介 谐振腔：在微波波段用封闭的金属空腔来实现谐振回路的功能， 称为空腔谐振器（简称谐振腔）。 §9.7 谐振腔 一、谐振腔简介 谐振腔：在微波波段用封闭的金属空腔来实现谐振回路的功能， 称为空腔谐振器（简称谐振腔）。 应用：①波长表 ②回波箱 ③振荡器中的选频和稳频回路 …… 谐振腔的种类： ①封闭式 ②开放式（损耗小、Q值高） ③介质谐振腔（体积小）

二、矩形谐振腔内的电磁场 x z y O a b d 1、利用边界条件求解波动方程 在腔内电场方程为 在直角坐标系内，每个场分量满足同样形式的标量方程 并且三个电场分量在6个内壁上满足 Et= 0 的导体边界条件，所以

将电场表达式代入 ，得到对应的磁场分量复振幅 若记 则得到Hi0与Ei0的关系 2、利用导行波的结论分析求解 将谐振腔视为a×b的矩形波导的一段，当其传输TEmn或TMmn波时，用两块金属板在相距 的地方短路，电磁波在短路壁上全反射形成驻波。由于此时两个短路壁处恰好是切向电场的零点，满足导体的边界条件，所以这样的驻波可以在两板之间存在。将入射导行波和反射导行波的表达式相加，即可得到腔内的电磁场表达式。

3、矩形谐振腔的性质： ①腔内的电磁场以驻波的形式存在 由于复振幅中不存在传播因子，电场和磁场的瞬时值随时间分别按 和 变化，电场和磁场在相位上相差 ，预示平均能流为零，代表一种电场能量和磁场能量相互交换的电磁振荡。 ②谐振腔内可能存在着无穷多种谐振模式 m、n、p分别是场幅度沿x、y、z方向变化的半周期数，取0时表示场幅沿该方向不变。 ③谐振腔内振荡模式分类 谐振腔内的谐振模分为TEmnp和TMmnp两类模式。若仍按z方向为纵向定义，则Ez= 0的振荡模称为TEmnp振荡模，Hz= 0的振荡模称为TMmnp振荡模。

｛ ④谐振条件 a. 谐振腔的横向尺寸a和b必须满足对应导行波的传输条件； b. 纵向距离d应等于该导行波导波长一半的整数倍（即 ）。 ⑤简并 同一个谐振频率对应多个谐振模式 a. 模式简并 原因：TEmnp模和TMmnp模具有相同的谐振频率 m,n = 0 只有TE0np,TEm0p p = 0 只有TMmnp ｛ 消除：令m，n，p中的一个为0 b. 尺寸简并 原因：腔体尺寸a，b，c出现整数倍关系 消除：设计尺寸时避免出现整数倍关系

⑥波长计 通过尺寸设计使d 的变化范围内只存在一种振荡模式，则d 的每一个值便只对应一个谐振频率。通过谐振发生时d的数值，将可以获得输入电磁波的工作频率，这就是谐振腔波长计的工作原理。 ⑦品质因数 腔内的电磁能量 W 与损耗功率 p 之比乘以角频率ω Q值越大，其谐振曲线就越尖锐，对频率的分辨率越灵敏 损耗来源： a.导体表面的导电损耗 b. 腔内的介质损耗 c. 输出耦合损耗