初 等 模 型

1. 公平的席位分配

问题 系别 学生 比例 20席的分配 人数 （%） 比例 结果 甲 103 51.5 10.3 10 乙 63 31.5 6.3 6 三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。 现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。 若增加为21席，又如何分配。 系别 学生 比例 20席的分配 人数 （%） 比例 结果 甲 103 51.5 10.3 10 乙 63 31.5 6.3 6 丙 34 17.0 3.4 4 总和 200 100.0 20.0 20 系别 学生 比例 20席的分配 人数 （%） 比例 结果 甲 103 51.5 乙 63 31.5 丙 34 17.0 总和 200 100.0 20.0 20 系别 学生 比例 20席的分配 人数 （%） 比例 结果 甲 103 51.5 10.3 乙 63 31.5 6.3 丙 34 17.0 3.4 总和 200 100.0 20.0 20 21席的分配 比例 结果 10.815 11 6.615 7 3.570 3 21.000 21 21席的分配 比例 结果 10.815 6.615 3.570 21.000 21 对丙系公平吗 比例加惯例

“公平”分配方法 衡量公平分配的数量指标 当p1/n1= p2/n2 时，分配公平 若 p1/n1> p2/n2 ，对 不公平 A 人数 席位 A方 p1 n1 B方 p2 n2 当p1/n1= p2/n2 时，分配公平 若 p1/n1> p2/n2 ，对 不公平 A p1/n1– p2/n2 ~ 对A的绝对不公平度 p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10 p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100 p1/n1– p2/n2=5 p1/n1– p2/n2=5 虽二者的绝对不公平度相同 但后者对A的不公平程度已大大降低!

“公平”分配方法 将绝对度量改为相对度量 若 p1/n1> p2/n2 ，定义 ~ 对A的相对不公平度 公平分配方案应使 rA , rB 尽量小 类似地定义 rB(n1,n2) 将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即 设A, B已分别有n1, n2 席，若增加1席，问应分给A, 还是B 不妨设分配开始时 p1/n1> p2/n2 ，即对A不公平

应讨论以下几种情况 初始 p1/n1> p2/n2 1）若 p1/(n1+1)> p2/n2 ， 则这席应给 A 2）若 p1/(n1+1)< p2/n2 ， 应计算rB(n1+1, n2) 3）若 p1/n1> p2/(n2+1)， 应计算rA(n1, n2+1) 问： p1/n1<p2/(n2+1) 是否会出现？ 否! 若rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 则这席应给 A 若rB(n1+1, n2) >rA(n1, n2+1), 则这席应给 B

Q 值方法 当 rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 该席给A rA, rB的定义 该席给A 否则, 该席给B 计算 ， 推广到m方分配席位 Q 值方法 该席给Q值最大的一方

三系用Q值方法重新分配 21个席位 按人数比例的整数部分已将19席分配完毕 用Q值方法分配第20席和第21席 第20席 甲系：p1=103, n1=10 乙系：p2= 63, n2= 6 丙系：p3= 34, n3= 3 用Q值方法分配第20席和第21席 第20席 Q1最大，第20席给甲系 同上 Q3最大，第21席给丙系 第21席 Q值方法分配结果 甲系11席，乙系6席，丙系4席 公平吗？

进一步的讨论 Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？ 席位分配的理想化准则 已知: m方人数分别为 p1, p2,… , pm, 记总人数为 P= p1+p2+…+pm, 待分配的总席位为N。 设理想情况下m方分配的席位分别为n1,n2,… , nm (自然应有n1+n2+…+nm=N)， ni 应是 N和 p1, … , pm 的函数，即ni = ni (N, p1, … , pm ) 记qi=Npi /P, i=1,2, … , m, 若qi 均为整数，显然应 ni=qi

记 [qi]– =floor(qi) ~ 向  qi方向取整； [qi]+ =ceil(qi) ~ 向  qi方向取整. qi=Npi /P不全为整数时，ni 应满足的准则： 记 [qi]– =floor(qi) ~ 向  qi方向取整； [qi]+ =ceil(qi) ~ 向  qi方向取整. 1) [qi]–  ni  [qi]+ (i=1,2, … , m), 即ni 必取[qi]– , [qi]+ 之一 2) ni (N, p1, … , pm )  ni (N+1, p1, … , pm) (i=1,2, … , m) 即当总席位增加时， ni不应减少 “比例加惯例”方法满足 1），但不满足 2） Q值方法满足 2）, 但不满足 1）。令人遗憾！

Discussions

2. 录像机计数器的用途

问 题 思考 要求 经试验，一盘标明180分钟的录像带从头走到尾，时间用了184分，计数器读数从0000变到6061。 在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为 4450，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？ 计数器读数是均匀增长的吗？ 思考 不仅回答问题，而且建立计数器读数与 录像带转过时间的关系。 要求

计数器读数增长越来越慢！ 观察 问题分析 录像机计数器的工作原理 0000 左轮盘 右轮盘 磁头 计数器 录像带 录像带运动方向 主动轮 压轮 录像带运动 右轮盘半径增大 计数器读数增长变慢 右轮转速不是常数 录像带运动速度是常数

计数器读数 n与右轮转数 m成正比，记 m=kn； 模型假设 录像带的运动速度是常数 v ； 计数器读数 n与右轮转数 m成正比，记 m=kn； 录像带厚度（加两圈间空隙）为常数 w； 空右轮盘半径记作 r ； 时间 t=0 时读数 n=0 . 建模目的 建立时间t与读数n之间的关系 （设v,k,w ,r为已知参数）

1. 右轮盘转第 i 圈的半径为r+wi, m圈的总长度 模型建立 建立t与n的函数关系有多种方法 1. 右轮盘转第 i 圈的半径为r+wi, m圈的总长度 等于录像带在时间t内移动的长度vt, 所以

模型建立 2. 考察右轮盘面积的 变化，等于录像带厚度 乘以转过的长度，即 3. 考察t到t+dt录像带在 右轮盘缠绕的长度，有

一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法。 思 考 3种建模方法得到同一结果 但仔细推算会发现稍有差别。 思 考 模型中有待定参数 一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法。

理论上，已知t=184, n=6061, 再有一组(t, n)数据即可 实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合 参数估计 另一种确定参数的方法——测试分析 将模型改记作 只需估计 a,b 理论上，已知t=184, n=6061, 再有一组(t, n)数据即可 实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合 现有一批测试数据： 用最小二乘法可得 t 0 20 40 60 80 n 0000 1141 2019 2760 3413 t 100 120 140 160 184 n 4004 4545 5051 5525 6061

模 型 检 验 模 型 应 用 应该另外测试一批数据检验模型： 回答提出的问题：由模型算得 n = 4450 时 t = 116.4分， 剩下的录像带能录 184-116.4= 67.6分钟的节目。 揭示了“t 与 n 之间呈二次函数关系”这一普遍规律， 当录像带的状态改变时，只需重新估计 a,b 即可。

Discussions

插值拟合方法:最小二乘法

数据拟合 当问题的机理非常不清楚难以直接利用其他知识来建模时，一个较为自然的方法是利用数据进行曲线拟合，找出变量之间的近似依赖关系即函数关系。

最小二乘法 已知：测量得到的n组数据（xi , yi），i=1,…, n 假设：建模者判断 这n个点很象是分布在某条直线y=ax+b附近（但yi-(axi+b)=0一般不成立） 求：该直线方程（即求参 数a和b ） 使得：该直线为数据的“最好”表示 y=ax+b y O (xi ,yi) x

“最好”的逼近准则 所有数据点到直线的最近距离和最小 非线性问题 所有数据点到直线的最近距离平方和最小 线性问题 最小

极小问题的解 由极小值求解方法可得 其中 和 分别为xi和yi的平均值

3. 汽车刹车距离

背景与问题 美国的某些司机培训课程中的驾驶规则： 正常驾驶条件下, 车速每增10英里/小时， 后面与前车的距离应增一个车身的长度。 实现这个规则的简便办法是 “2秒准则” ： 后车司机从前车经过某一标志开始默数 2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何 判断 “2秒准则” 与 “车身”规则是否一样； 建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。

问题分析 常识：刹车距离与车速有关 10英里/小时(16公里/小时)车速下2秒钟行驶29英尺( 9米) >>车身的平均长度15英尺(=4.6米) “2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则不同 反应距离 司机状况 制动系统灵活性 反应时间 车速 常数 刹车距离 制动器作用力、车重、车速、道路、气候… … 制动距离 常数 最大制动力与车质量成正比，使汽车作匀减速运动。

假 设 与 建 模 1. 刹车距离 d 等于反应距离 d1 与制动距离 d2 之和 2. 反应距离 d1与车速 v成正比 t1为反应时间 3. 刹车时使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变; F d2= m v2/2 F  m 且F与车的质量m成正比

模 型 反应时间 t1的经验估计值为0.75秒 参数估计 利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k 最小二乘法  k=0.06 车速 (英里/小时) (英尺/秒) 实际刹车距离（英尺） 计算刹车距离（英尺） 刹车时间 （秒） 20 29.3 42（44） 39.0 1.5 30 44.0 73.5（78） 76.6 1.8 40 58.7 116（124） 126.2 2.1 50 73.3 173（186） 187.8 2.5 60 88.0 248（268） 261.4 3.0 70 102.7 343（372） 347.1 3.6 80 117.3 464（506） 444.8 4.3 最小二乘法  k=0.06 计算刹车距离、刹车时间

模 型 “2秒准则”应修正为 “t 秒准则” 0~10 10~40 40~60 60~80 t（秒） 1 2 3 4 车速 刹车时间 （秒） (英里/小时) 刹车时间 （秒） 20 1.5 30 1.8 40 2.1 50 2.5 60 3.0 70 3.6 80 4.3 “2秒准则”应修正为 “t 秒准则” 车速（英里/小时） 0~10 10~40 40~60 60~80 t（秒） 1 2 3 4

Discussions

4. 双层玻璃窗的功效

问题 假设 建模 双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失 热量传播只有传导，没有对流 Q1 d 墙 l 室内 T1 室外 T2 热量传播只有传导，没有对流 Q1 假设 T1,T2不变，热传导过程处于稳态 材料均匀，热传导系数为常数 2d 墙 室内 T1 室外 T2 建模 Q ~单位时间单位面积传导的热量 T~温差, d~材料厚度, k~热传导系数 Q2 热传导定律

建模 记双层玻璃窗传导的热量Q1 Ta~内层玻璃的外侧温度 Tb~外层玻璃的内侧温度 Q1 k1~玻璃的热传导系数 k2~空气的热传导系数 d 墙 l 室内 T1 室外 T2 Q1 Ta~内层玻璃的外侧温度 Ta Tb Tb~外层玻璃的内侧温度 k1~玻璃的热传导系数 k2~空气的热传导系数

建模 记单层玻璃窗传导的热量Q2 Q2 双层与单层窗传导的热量之比 2d 墙 室内 T1 室外 T2 Q2 记单层玻璃窗传导的热量Q2 双层与单层窗传导的热量之比 k1=410-3 ~8 10-3, k2=2.510-4, k1/k2=16 ~32 对Q1比Q2的减少量作最保守的估计， 取k1/k2 =16

模型应用 结果分析 取 h=l/d=4, 则 Q1/Q2=0.03 即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，可减少97%的热量损失。 0.06 0.03 0.02 6 即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，可减少97%的热量损失。 结果分析 Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气极低的热传导系数 k2, 而这要求空气非常干燥、不流通。 房间通过天花板、墙壁… …损失的热量更多。 双层窗的功效不会如此之大

Discussions

5. 启帆远航

问 题 简化问题 帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向 A B  风向 北 航向 帆船  以及帆的朝向

模型分析 模型假设 风(通过帆)对船的推力w 风对船体部分的阻力p p2 w=w1+w2 p1 推力w的分解 p w1=f1+f2    w p p2 p1 w=w1+w2 w1 w2 推力w的分解 w1=f1+f2 f1 f2 f1~航行方向的推力 阻力p的分解 p=p1+p2 p1 ~航行方向的阻力 w与帆迎风面积s1成正比，p与船迎风面积s2成正比，比例系数相同且 s1远大于 s2， 模型假设

模型假设 模型建立 w2与帆面平行，可忽略 f2, p2垂直于船身，可由舵抵消 航向速度v与力f=f1-p1成正比 p2 p1 p   w p w1 w2 f1 f2 p2 p1 w=ks1, p=ks2 模型建立 v w1=wsin(-) f1=w1sin=wsin sin(-) p1=pcos v=k1(f1-p1) v1 船在正东方向速度分量v1=vcos

模型建立 模型求解 v1=vcos = k1(f1-p1)cos f1=w1sin=wsin sin(-) p1=pcos  f1=w[cos(-2)-cos]/2  = /2 时 f1=w(1-cos)/2最大 2) 令 = /2, v1=k1 [w(1-cos)/2 -pcos]cos  求使v1最大（w=ks1, p=ks2）

模型求解 v1最大 v1=k1 [w(1-cos)/2 -pcos]cos  =( k1w/2)[1-(1+2p/w)cos]cos  w=ks1, p=ks2 记 t=1+2s2/s1, k2=k1w/2 v1最大 s1>> s2 1/4<cos <1/2 60º <  < 75º 1< t < 2 只讨论起航时的航向，是静态模型 航行过程中终点B将不在正东方 备注

Discussions