第 五 章 三 铰 拱

§5-1 三铰拱的组成和类型 一、拱的组成及其受力特点 组成： 受力特点： §5-1 三铰拱的组成和类型 一、拱的组成及其受力特点 组成： 杆件多为曲杆（也有折线杆），至少有两个水平约束，支座不能自由移动。 受力特点： 在（向下的）竖向荷载作用下，支座产生（向内的）水平推力。因为有水平推力的存在，拱轴上各个截面上的弯矩通常比相应的曲梁（或简支梁）小。

拱的优点： 拱轴截面中的弯矩较小，以承受轴向压力为主。可以用抗拉性能差而抗压性能好的材料（如砖、石材混凝土等）建造。经济、美观、净空大、自重轻。 拱的缺点： 由于水平推力的存在，对拱趾处基础的要求严格。制造较复杂。

C 矢高或拱高 f 起拱线 跨度 l 高跨比f/l是控制拱的受力的重要参数。 FP2 FP3 拱顶 FP1 拱轴线 拱趾 FHA FHB FVB FVA 高跨比f/l是控制拱的受力的重要参数。

FP2 FP3 C FP1 FHA FHB FP2 FP3 FVA FVB FP1 相应的曲梁 FVA FVB

FP2 FP3 FP1 FHA FVA RB

二、拱的类型 1、基本类型 静定： 三铰拱 超静定： 二铰拱 无铰拱

2 、其他分类方法 可按： 拱轴的曲线形式（如抛物线，圆，悬链线等）； 拱轴的构造（实体式，桁架式，带拉杆式等）； 拱趾的位置（平拱，斜拱）等分类方式。

实体三铰拱 平 拱 带拉杆的拱 斜 拱

§5-2 在竖向荷载作用下三铰拱的支座反力 讨论支座在同一水平线上的三铰拱受竖向荷载作用下支座反力的计算方法。（注：平拱，竖向荷载） §5-2 在竖向荷载作用下三铰拱的支座反力 讨论支座在同一水平线上的三铰拱受竖向荷载作用下支座反力的计算方法。（注：平拱，竖向荷载） 考虑拱的整体平衡， 由∑MA =0, ∑MB=0 可得拱的竖向支座反力为： FVA=∑FPi bi / l FVB=∑FPi ai / l 由拱整体平衡方程∑x=0 FHA= FHB= FH 应用铰C提供的条件：MC=0，考虑铰C左边所有外力对C的力矩代数和，可得

C f l C a3 b3 a2 b2 y a1 b1 FP2 FP1 FP3 FHA x FHB l1 l2 FVA FVB FP2 相应简支梁

竖向支座反力分别由整体平衡方程∑MA =0, ∑MB=0 可得： 对相应的简支梁： 水平支座反力H0=0 竖向支座反力分别由整体平衡方程∑MA =0, ∑MB=0 可得： F0VA=∑FPi bi / l F0VB=∑FPi ai / l

可以看出，与相应简支梁相比，三铰拱的竖向反力恰等于相应简支梁的竖向反力。三铰拱的水平反力公式的分子部分相当于相应简支梁截面C处的弯矩M0C。 因此，公式可写为： FAy= F0VA FBy= F0VB （5-1） FH= M0C / f （5-2） 水平反力只与三个铰的位置有关，与拱轴曲线的形状无关。 水平反力与拱高成反比。拱愈扁平，推力愈大，当荷载向下时，支座对拱的推力是内向的。

§5-3 在竖向荷载作用下三铰拱截面内力的计算公式 1、弯矩的计算公式 规定：使拱的内边缘纤维受拉的弯矩为正，反之为负。 求指定截面内力的方法：截面法 MK=[FVA xK –FP1 (xK –a1 )]-FH yK M= M0 -FH y （5-3） 由此可见，因为推力的存在，使得拱轴截面上的弯矩比相应简支梁对应截面上的弯矩小。

φk C f yk φk xk C l a3 b3 a2 b2 y a1 b1 FP2 FP1 FP3 K FHA FNK MK x FP1 FHB xk K FVB FVA FHA FQK φk A FVA φk FP3 FP1 FP2 C K l

2、剪力的计算公式 规定：拱轴内的剪力正负号规定同材料力学。 任一截面K的剪力FQK 等于该截面一侧所有各力沿该截面方向投影的代数和。 FQK = FVA cos φK –FP1 cos φK -FH sinφK =(FVA–FP1) cos φK -FH sinφK FQ= F0Qcos φ -FH sinφ ( 5-4) 式中： φ为截面K处拱轴切线的倾角， φ在左半拱为正，在右半拱为负。

3、轴力的计算公式 规定：轴力使拱轴截面受拉为正。 任一截面K的轴力FNK 等于该截面一侧所有各力沿该截面处拱轴切线方向投影的代数和。 FNK = - FVA sinφK +FP1 sin φK - FH cosφK = - (FVA–FP1) sin φK - FH cosφK FN= -F0Qsin φ - FH cosφ ( 5 - 5 ) 式中： φ为截面K处拱轴切线的倾角，设x轴向右为正，y轴向上为正，则φ在左半拱为正，在右半拱为负。 由以上公式可知，只要拱轴线的曲线方程已知，截面位置和方向确定，可利用简支梁相应截面内力，直接代入上式，计算三铰拱各截面的内力。

注： 以上公式只适用于竖向荷载作用下的平拱。 因拱是曲杆，内力分布图形与拱轴曲线和截面倾角有关，不能用直杆绘制内力图的方法，需逐点求出内力值，将内力图的纵坐标垂直于杆轴线画出，然后连成曲线。 对于一般荷载作用下的三铰平拱，可由平衡方程求反力，再求各截面内力。 C q f FHA FHB l1 l2 FVA FVB

（1）计算支座反力 例 1、三铰拱及其所受荷载如图所示拱的轴线为抛物线方程 ，计算反力并绘制内力图。 q=2kN .m P=8kN y 2 4 （1）计算支座反力 3 5 2 6 2 f=4m 1 7 y2 8 x A B H 7.5kN 3m VA x2=3m VB 6m

（2）内力计算 以截面2为例

绘制内力图 M 图 kN.m Q 图 kN N 图 kN q=2kN .m P=8kN y 2 y2 x 6m 0.000 1.125 1 2 3 4 5 6 7 8 A B 6m 绘制内力图 0.000 1.125 1.500 1.125 0.000 0.375 4.500 0.375 0.000 M 图 kN.m 0.600 0.354 0.003 0.472 1.000 3.331 1.060 0.600 Q 图 kN 1.421 3.325 13.300 10.958 9.015 7.749 7.500 7.433 6.796 11.235 11.665 11.700 N 图 kN

拉杆常采用钢拉杆，拉杆轴力FN代替了三铰拱的水平推力FH， FN= M0C / f 。 带拉杆的三铰平拱： 拉杆常采用钢拉杆，拉杆轴力FN代替了三铰拱的水平推力FH， FN= M0C / f 。 FP2 FP1 C f FN A B l1 l2 FVA FVB

例： （书例5.1，P.62） 作图示三铰拱的内力图。拱轴为一抛物线。 C D 3 kN/m y 10kN f=4m FH= 10.5 kN x 8m 4m FVA= 16kN FVB= 12kN 16m

因为无论拱上的荷载形式如何，拱的内力图均为曲线图形，为此，将拱跨分成八等份，然后列表计算各个截面上的内力，最后画出内力图。 3 kN/m y 4 10kN 5 3 C 6 2 D 1 7 f=4m FH= 10.5 kN FH= 10.5 kN 8 x 8m 4m FVA= 16 kN FVB= 12kN 16m 因为无论拱上的荷载形式如何，拱的内力图均为曲线图形，为此，将拱跨分成八等份，然后列表计算各个截面上的内力，最后画出内力图。

具体计算过程见教材P.62 – P.64。 书中分别给出拱弯矩图与相应简支梁弯矩图，使大家对三铰拱的受力特性有更深刻的认识，可知： （1）在竖向荷载下，梁没有水平支座反力，而拱则有水平推力。 （2）由于推力的存在，三铰拱截面上的弯矩比跨度、荷载都相同的简支梁的弯矩小。 （3）在竖向荷载作用下，梁的截面内没有轴力，而拱的截面内轴力较大，且一般为压力，因而拱主要受压。 （4）由于拱截面上的应力分布较梁截面上的应力均匀，因此，拱比梁能更有效地发挥材料的作用，可适用于较大的跨度和较重的荷载。

§5-3 三铰拱的合理轴线 合理拱轴：在固定荷载作用下使拱轴各截面处于无弯矩（和剪力）状态的轴线，称为拱的合理轴线。 §5-3 三铰拱的合理轴线 合理拱轴：在固定荷载作用下使拱轴各截面处于无弯矩（和剪力）状态的轴线，称为拱的合理轴线。 拱在给定荷载作用下，当拱上各个截面不产生弯矩和剪力，只受轴力作用，各截面都处于均匀受压的状态，此时，材料能得到充分的利用，相应的拱截面尺寸将是最小的。 从上节的推导可知：拱轴上各截面的弯矩，不但与荷载有关，还与拱的轴线有关。

对于竖向荷载作用下的三铰拱，可用数解法来定出拱的合理轴线方程。 由： M= M0-FH y （5-6） 当拱轴为合理轴线时，拱中各个截面上的弯矩均应为零，故有： M= M0 -FH y = 0 由此得出： y（x） = M0K （x） / FH M0K（x）是与三铰拱跨度、荷载相等的简支梁的弯矩表达式，如用图形表示时，即为相应简支梁的弯矩图。 所以，在竖向荷载作用下，合理拱轴的纵坐标与相应简支梁弯矩图的纵坐标成正比。

例: 试求图示三铰拱在沿全跨长的水平线均匀分布荷载作用下的合理拱轴线。 q y C f x B A l q

解：设坐标原点在A，跨度、荷载相同的简支梁如上图所示。 相应简支梁的弯矩方程为： M 0 =（1/2）q1x-（1/2）qx2=1/2·q·x· (l-x) FH= M0C / f =(1/8·q·l2)/f =q·l2 /8f 由公式得拱的合理轴线方程： y =[1/2·q·x· (l-x)]/(q·l2 /8f ) =(4f /l2) ·x(l-x) 由此可见，在沿全跨长的水平均布荷载作用下，三铰拱的合理轴线是一根二次抛物线。

值得指出，合理拱轴的确定与拱所承受的荷载有关。工程实际中，同一结构承受不同荷载作用时，对应于不同的荷载有不同的合理轴线形式。 由于荷载的多样性，一般情况下，很难达到理想化的合理拱轴，因此，只能力求使所选的拱轴线接近合理拱轴线。

例2 设三铰拱承受均匀分布的水压力，试证明其合理轴线是圆弧曲线。 例2 设三铰拱承受均匀分布的水压力，试证明其合理轴线是圆弧曲线。 [证明] 设拱在静水压力作用下处于无弯矩状态，然后由平衡条件推导轴线方程。 q q d/2 E NE D ds d/2 R+dR ND R d o y 这表明拱在法向均布荷载作用下处于无弯矩状态时，截面的轴力为一常数。 因N为一常数，q也为一常数，所以任一点的曲率半径R也是常数，即拱轴为圆弧。

作业： 题5.1 题5.4