第二篇 杆件承载能力分析 第六章 杆件基本变形时的内力分析 包头轻工职业技术学院 任树棠 2019年1月2日

第二篇 杆件承载能力分析 一、杆件承载能力分析的任务 在保证杆件有足够的强度、刚度、稳定性的前提下，解决安全与经济性的矛盾。 第二篇 杆件承载能力分析 一、杆件承载能力分析的任务 在保证杆件有足够的强度、刚度、稳定性的前提下，解决安全与经济性的矛盾。 1. 强度：构件抵抗破坏的能力。 2. 刚度：构件抵抗变形的能力。 3. 稳定性：构件保持初始平衡状态的能力。 二、变形固体的基本假设 1. 变形固体：在弹性静力学中，构件的变形是不可忽略的，其力学模型为变形固体。 2. 两个基本假设：连续均匀性假设和各向同性假设。 三、杆件承载能力分析的研究对象 1. 杆件：一个方向的尺寸远远大于其另两个方向的尺寸的构件。 2. 四种基本变形：轴向拉（压）、剪切、扭转、弯曲。 3. 杆件的一般变形：组合变形。

(internal forces cross section method) 第六章 杆件基本变形时的内力分析 第一节 内力 截面法 (internal forces cross section method) 1. 内力：由于外力作用而引起的“附加内力”，简称内力。 2. 截面法：应用假想截面把物体分成两部分，以显示并确定内力的方法。 点击画面观看动画

步骤 刚体静力学 截 面 法 1 取分离体 2 解除约束，画受力图 3 取坐标系，列平衡方程 3. 比较刚体静力学分析方法和截面法 截 面 法 1 取分离体 一截：在需要求内力处假想用一截面将杆件分为两部分，取其任一部分为研究对象。 2 解除约束，画受力图 二代：把弃去部分 用截面上的内力代 替，画其受力图。 3 取坐标系，列平衡方程 三平衡：对留下部分建立平衡方程，求出内力值。如： 注意：做题时总设内力为正值。

第二节 轴向拉（压）杆件的内力分析 (axial force and axial force diagram) 1. 受力特点：作用于杆件上的 外力（或合外力）沿杆件轴线， 大小相等，方向相反（二力构件）。 2. 变形特点：杆件沿轴向伸长 （或缩短），横截面缩短（或伸 长）。 3. 轴力的符号规定：背离截面为 正，反之为负。 4. 轴力图：轴力随横截面位置变 化的曲线。 注意： 1. 当杆件中间有载荷或截面的变化时，应分段计算。 2. 有集中力作用处，轴力图有突变，突变值为外力值。 举例：例6-1、6-2。 点击画面观看动画

第三节 圆轴扭转的内力分析 1. 受力特点：杆件受到作用面垂直于轴线的外力偶的作用。 2. 变形特点：杆件的各横截面绕轴线发生相对转动。 第三节 圆轴扭转的内力分析 1. 受力特点：杆件受到作用面垂直于轴线的外力偶的作用。 2. 变形特点：杆件的各横截面绕轴线发生相对转动。 点击画面观看动画

扭 矩 与 扭 矩 图 （twisting moment and twisting moment diagram） 1. 外力偶矩的计算 （6-1） 2. 扭矩（twisting moment or torque T） 利用截面法一截、二代、三平衡，截面上必有与外力偶矩相平衡的内力偶，称为扭矩，以符号T表示，单位为N·m。（教材，图6-11） 扭矩的符号规定：按右手法则，扭矩矢量方向与截面外法线方向一致为正，反之为负。（教材，图6-12） 3. 扭矩图（torque diagram） 由函数T=T(x)画出的扭矩随横截面位置变化的曲线。 举例：教材，例6-3。

扭矩图的快捷画法 MB MA MC a T O b d x （＋） e c 注意： 轴的中间有外力偶作用或轴的直径有变化时，应分段计算。

第四节 平面弯曲梁横截面的内力分析 （Analysis of the internal force in straight beams） 1. 外力特点：作用线垂直于杆轴线的外力或在杆轴线平面内的外力偶（教材, Fig6-14）。 2. 变形特点：杆件轴线由原来的直线变成曲线的变形形式称为弯曲变形(Bending)。 凡是以弯曲为变形的杆件通常称为梁(Beams)。 梁是一种常用构件，各类工程中都占有重要地位，工程中最常用到的梁其横截面(Cross Section) 多具有一个纵向对称轴，通过横截面的对称轴与梁的轴线可作一纵向对称面，梁上的外力(external loads) 一般可简化为作用在此纵向对称面内，梁在变形(deflection)时，其轴线将在此平面内弯曲成一条曲线。梁的这种弯曲称为平面弯曲(Bending for planar systems)。这是弯曲问题中最基本、最简单的情况。

弯曲内力—剪力和弯矩 (shear force and bending moment) y MB FB m A B x F x m 为了使两段梁上的外力算得同一横截面m—m上的剪力和弯矩在符号上也能相同。则应满足内力的正负号规则(Sign Rule of Internal Forces)： 记住： (1)剪力符号规定： 使所取截面产生顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负，如教材，图6—19所示。 （positive shear results in clockwise rotation） (2)弯矩的符号规定： 有使梁轴下凸趋势的弯矩为正，反之为负，如教材，图6—19所示。 L m M FQ MB FB F M FQ L-x m

在实际计算时，并不必将梁假想地截开，根据内力与外力的相依关系可直接从横截面的任意一侧梁上的外力算出该截面上的剪力和弯矩。 技巧： 1. 横截面上的剪力在数值上等于该截面任一侧梁上外力的代数和。截面左侧向上的外力，右侧向下的外力剪力取正号，反之剪力取负号（外力左上右下剪力为正）。 2. 横截面上的弯矩在数值上等于该截面任一侧梁上所有外力对该截面形心的力矩的代数和。无论截面左侧或右侧，使梁轴下凸的外力弯矩为正，使梁轴上凸的外力弯矩为负（下凸为正上凸为负）。 注意：杆件内力正负号的确定不再沿用按投影方向确定力的正负号方法，而是根据内力对应不变形状况来规定内力的正负号，这样可以保证用截面法求出内力时，不论保留截面两侧的哪一部分为研究对象时，所得同一截面上的内力不仅大小相等，而且符号相同。

剪 力 图 和 弯 矩 图 (Shear force diagrams and Bending Moment Diagrams) 一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩是随横截面位置的变化而变化的。设梁横截面沿梁轴线的位置用坐标x表示，则梁各个横截面上的剪力和弯矩可以表示为坐标x的函数，即 分别称为梁的剪力方程（the formula of shear force）和弯矩方程(the formula of bending moment)。 为了表明梁的各横截面上的剪力和弯矩沿梁的跨长变化的情况，最方便的方法是绘出剪力图和弯矩图。与扭矩图类似，以横截面在轴线上的位置为横坐标，以横截面上的剪力和弯矩为纵坐标，绘出FQ(x)和M(x)的图线。从而可以确定梁的剪力和弯矩的最大值，以及该最大值所在的横截面的位置。

例1 图示悬臂梁在自由端受集中力作用，试作此梁的剪力图和弯矩图。 例1 图示悬臂梁在自由端受集中力作用，试作此梁的剪力图和弯矩图。 解： (1) 列剪力方程和弯矩方程。取坐标系如图所示，x为任一截面，则： 剪力方程 FQ = －F (0<x<L) (a) 弯矩方程 M= －Fx (0≤x≤L) (b) (2)求特殊点A，B处（控制截面）截面上的FQ 和M值，由式(a),(b)可得： 当x=0时， FQA = －F , MA=0 当x=L时， FQB= －F , MB= －FL (3)画剪力图和弯矩图 由(a)式FQ = －F (常量)知，剪力图为一水平线，剪力为负值，画在x轴下方。 由(b)式M= －Fx知，弯矩是x的一次函数，为一条斜直线，将MA 、MB的值为端点以直线相连，即得梁的弯矩图。 由FQ图和M图可知： 结论：由剪力图、弯矩图可知，在集中力作用处，剪力图有突变，突变值等于集中力的值；在集中力偶作用处，弯矩图有突变，突变值等于外力偶值。 F B A x L FQ x (－) M x （－）

例2 图示简支梁受均布载荷q作用。试作此梁的剪力图和弯矩图。 解：(1)求支座反力 由梁和载荷的对称性，可直接得出： FA=FB=qL/2 (2)列剪力方程和弯矩方程 (3)求特殊点截面（控制截面）上的值 当x=0时， FQA=qL/2 , MA=0 当x=L时， FQB=－qL/2 ， MB=0 (4)画剪力图和弯矩图 FQ是x的一次函数，剪力图为斜直线，连接FQA 、FQB两点，即得剪力图。M是x的二次函数，且为二次抛物线，直接由 两点不能完全画出该曲线，再求两个以上截面的M值： 当x=L/4时， M=3qL2/32 当x=3L/4时， M=3qL2/32 当x=L/2时， M=qL2/8 剪力的最大值为： 弯矩的值为： q A B FA FB x L FQ (+) x qL/2 (－) qL/2 M qL2/8 32qL2/32 32qL2/32 (+) x

结 论 在均布载荷作用处，剪力图为斜直线；弯矩图为抛物线；在剪力为零的截面上，弯矩图有极值。

例3 图示简支梁AB在C处受集中力F作用，试作此梁的剪力图和弯矩图。 解： 1. 求支座反力，以梁AB为研究对象由平衡方程 解得： 思考：当结构对称，主动力不对称时，求出的支座反力有什么特点？ （支座反力交叉反对称） 2. 列剪力方程和弯矩方程： 集中力F作用于C点，梁在AC和CB两段内受力情况不同，应分段考虑。 B A a b L y F x FA x1 FB x2 FQ Fb/L (+) x (－) Fa/L M Fab/L (+) x

AC段： FQ1=FA=Fb/L (0<x1<a) (a) M1=FA×x1=Fbx1/L (0≤x1≤a) (b) CB段： FQ2=FA－F=－Fa/L (a<x2<L) (c) M2=FA×x2－F(x2－a) =(Fbx2/L)－F(x2－a) (0≤x2≤L) (d) 3. 求特殊点处截面（控制截面）上的值 AC段：将x1=0代入(a)、(b)式得 FQA=Fb/L , MA=0 将x1＝a代入（a）、（b）式得 FQC=Fb/L , MC=Fab/L CB段：将x2=0代入(c)、(d)式得 FQC=－Fa/L , MC=Fab/L 将x2＝L代入（c）、（d）式得 FQB=－Fa/L , MB=0 4. 画剪力图和弯矩图并求出在集中力作用处的横截面上有最大弯矩： 创新思维： 若a=b=L/2，即集中力作用在梁的中点处，就有： 这种情况在工程中是常见的，可把作为公式直接应用。 结论： 当剪力图为水平线时，弯矩图为斜直线；剪力图为正时，弯矩图斜率为正，剪力图为负时，弯矩图斜率为负。在剪力图出现突变处，弯矩图出现尖角（拐点）。

例4 图示简支梁在C点处受一集中力偶M作用，试作此梁的剪力图和弯矩图。 解：求支座反力 ∑MA=0, M－FB×L=0 ∑MB=0 M－FA×L=0 解得：FA= FB=M/L 剪力方程和弯矩方程。 AC段： FQ1=M/L (0<x1≤a) (a) M1=Mx1/L (0≤x1<L) (b) CB段： FQ2=M/L (a≤x2<L) (c) M2=（Mx2/L）－M (a<x2≤L) (d) A B c a b L M c FA x1 FB x2 FQ M/L (+) x M Ma/L x (+) (－) Mb/L

求各特殊点（控制截面）的值： AC段：将 x1=0代入（a）、（b）式得 FQA=M/L MA=0 将 x1=a代入（a）、（b）式得 FQC=M/L MC=Ma/L CB段：将 x2=a代入（c）、（d）式得 FQC=M/L MC=Mb/L 将 x2=L代入（c）、（d）式得 FQB=M/L MB=0 画剪力图和弯矩图 由剪力图和弯矩图知：全梁各截面上的剪力都等于M/L；在b>a的情况下，在集中力偶作用处的右侧横截面上的弯矩值为最大： 创新思维： 若a=b=L/2时，即集中力偶作用在梁的中点，则最大弯矩发生在梁的中点处，即： 结论： 在集中力偶作用处，剪力图为水平线；弯矩图有突变，突变值等于外力偶的值。

总结与讨论：剪力图和弯矩图的关系 1. 梁在q=0的截面上，剪力图为水平线，弯矩图为斜直线，且剪力图为正时，弯矩图的斜率为正；剪力图为负时，弯矩图的斜率为负。(见例1) 2. 梁在q≠0的截面上，剪力图为斜直线，弯矩图为抛物线，且q>0时，剪力图斜率为正，弯矩图开口向上；q<0时，剪力图斜率为负，弯矩图开口向下，在剪力为零处，弯矩图有极值。(见例2) 3. 在集中力作用处，剪力图有突变，突变值为该截面处集中力的值，突变方向与集中力方向一致；此处弯矩图出现转折，即斜率改变。(见例3) 4. 在集中力偶作用处，剪力图不变，弯矩图有突变，突变值为该截面处集中力偶的力偶矩值。若力偶顺时针转向，弯矩图向上突变；若力偶逆时针转向，弯矩图向下突变。(见例4)

典型载荷形式下的剪力图和弯矩图 q=0 载 荷 剪 力 图 弯 矩 图 梁 q=const q<0 q>0 x F c M c 载 荷 剪 力 图 弯 矩 图 梁 q=0 FQ FQ>0 x FQ<0 M q=const q<0 q>0 突变值＝F C x 转折 C x 不变 C x 突变值＝M C x F c M c

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