2019年1月3日2时26分 概率论 Probability 江西财经大学 2017年 2019年1月3日2时26分

§1.2 频率与概率 1.2.1 频率 设在 n 次试验中，事件 A 发生了m 次， 则称 为事件A发生的频率。 §1.2 频率与概率 1.2.1 频率 设在 n 次试验中，事件 A 发生了m 次， 则称 为事件A发生的频率。 2019年1月3日2时26分

频率稳定性的实例 蒲丰( Buffon )投币 n = 12000, nH =6019, f n( H ) = 0.5016 实例1 投硬币 实例1 投硬币 投一枚硬币观察正面向上的次数 蒲丰( Buffon )投币 n = 4040, nH =2048, f n( H ) = 0.5069 皮尔森( Pearson ) 投币 n = 12000, nH =6019, f n( H ) = 0.5016 n = 24000, nH =12012, f n( H ) = 0.5005 2019年1月3日2时26分

1.2.2 概率 概率的 统计定义 在相同条件下重复进行的 n 次 试验中, 事件 A 发生的频率稳定地在某一 1.2.2 概率 概率的 统计定义 在相同条件下重复进行的 n 次 试验中, 事件 A 发生的频率稳定地在某一 常数 p 附近摆动, 且随 n 越大摆动幅度越 小, 则称 p 为事件 A 的概率, 记作 P(A)。 对本定义的评价 优点：直观 易懂 缺点：粗糙 模糊 不便 使用 2019年1月3日2时26分

概率的公理化定义,概率空间 1933年，前苏联著名的数学家柯尔莫哥洛夫在《概率论的基本概念》一书中提出了概率的公理化体系，第一次把概率论建立在严密的逻辑基础上，使概率论成为了一门严谨的数学分支，将它推向了一个全新的发展阶段。 概率的公理化定义，并不考虑每一个事件 A 发生的概率 P ( A ) 是如何定义的（它依赖于每一个具体的实际问题的结构），而是强调作为一个整体，概率 P ( A ) 本身应满足的一些必要条件 —— 三条公理。 2019年1月3日星期四

称P是(Ω, )上的概率(测度),P(A)是事件A 的概率， 称三元组(Ω, , P)为概率空间。 概率的公理化定义 定义(概率)：设(Ω, )是一可测空间，对 定义在 上的实值集函数P(A), 满足 1) 非负性公理：对 2) 规范性公理:P(Ω) = 1; 3) 可列可加性公理：对 两两互斥 有 直接和 称P是(Ω, )上的概率(测度),P(A)是事件A 的概率， 称三元组(Ω, , P)为概率空间。 注：可列可加性不能推广到任意可加性，后面会举例说明。 2019年1月3日星期四

联想：三元组(Ω, , P) 函数 函数两要素 P 2019年1月3日2时26分

概率的性质 由概率的可列可加性得: 由概率的非负性知， ，故由上式可知 第一章 概率论的基本概念 性质1 证明: 第一章 概率论的基本概念 概率的性质 性质1 证明: 由概率的可列可加性得: 由概率的非负性知， ，故由上式可知 注：不可能事件的概率为0，但反之不然!!!!。 后面会举例说明。

第一章 随机事件及其概率 性质2(有限可加性) 设 是两两互斥的事件，则有 证明: 由概率的可列可加性得 : 直接和

性质3 设 是两个事件，若 ，则有 证明： 推论： 设 A,B 是任意两个事件，则有 提示：

第一章 随机事件及其概率 性质4 证明： 推论： 提示：

性质4　对任一事件A, 有　　　　 性质4在概率的计算上很有用, 如果正面计算事件A的概率不容易, 而计算其对立事件 的概率较易时, 可以先计算 , 再计算P(A).

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(AB) 证： 性质5 （加法公式）： P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(AB) 证： ∵A∪B = ( A – B )∪( B – A )∪AB，且 A – B，B – A 与 AB 两两互斥， ∴ P ( A∪B ) = P ( A – B ) + P ( B – A ) + P ( AB ) …. ① ∵ P ( A – B ) = P ( A ) – P ( AB )…....…② 同理可得，P ( B – A ) = P ( B ) – P ( AB )……………..③ 将②、③代入①，得 P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B ) – P ( AB ) 2019年1月3日星期四

推论1 三个事件和的概率 证： P(A∪B ∪C) = P [ A∪(B ∪C) ] P(A∪B ∪C) 推论1 三个事件和的概率 P(A∪B ∪C) = P(A)+P(B)+P(C) – P(AB) – P(AC) – P(BC) + P(ABC) 证： P(A∪B ∪C) = P [ A∪(B ∪C) ] = P(A) + P(B ∪C) – P [ A(B ∪C) ] = P(A) + [ P(B) + P(C) – P(BC) ] – P(AB ∪ AC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(BC) – [ P(AB) + P(AC) – P(ABC) ] = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(AC) – P(BC) + P(ABC) 2019年1月3日星期四

推论2 （加奇减偶公式） （右端共有 项。） 2019年1月3日星期四

加法公式总结 事件互斥时的加法公式 A B 事件相容时的加法公式 B

性质6： 从上连续，右极限 性质7： 从下连续，左极限 2019年1月3日星期四

性质8：概率具有次可加性 证明： 2019年1月3日星期四

解 设事件A , B分别表示“能答出甲,乙类问题” 例1 小王参加“智力大冲浪”游戏, 他能答 出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1， 求小王 (1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率； (2) 至少有一类问题能答出的概率； (3) 两类问题都答不出的概率。 解 设事件A , B分别表示“能答出甲,乙类问题” (1) (2) (3) 2019年1月3日2时26分

例2 解