机械力学与设计基础 李铁成 主编

第五章 直梁抗弯强度计算 第一节　平面弯曲的概念 第二节　剪力和弯矩 第三节　梁弯曲时横截面上的应力 第四节　梁弯曲时的强度计算 第五节　梁的变形和刚度计算

图5-1 弯曲变形 a)桥式起重机大梁 b)火车轮轴 第一节　平面弯曲的概念 一、弯曲概念 图5-1　弯曲变形 a)桥式起重机大梁　b)火车轮轴

第一节　平面弯曲的概念 二、平面弯曲 三、梁的种类 (1)悬臂梁　梁的一端为固定端，另一端为自由端(图5-3a)。 (2)简支梁　梁的一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座(图5-3b)。 (3)外伸梁　它的支座与简支梁的形式相同，但梁的一端或两端伸出支座(图5-3c)。

第一节　平面弯曲的概念 图5-2　平面弯曲

图5-3 梁的种类 a)悬臂梁 b)简支梁 c)外伸梁 第一节　平面弯曲的概念 图5-3　梁的种类 a)悬臂梁　b)简支梁　c)外伸梁

第二节　剪力和弯矩 一、剪力和弯矩 图5-4　梁的内力

第二节　剪力和弯矩 5M5.tif (1)剪力FQ　截面左侧向上错动、截面右侧向下错动为正,简称“左上右下”为正；反之为负(图5-5)。

第二节　剪力和弯矩 5M6.tif (2)弯矩M　若梁在该截面附近弯曲成上边凹下边凸为正,简称“上凹下凸”为正；反之为负(图5-6)。 例5-1如图5-7所示的梁，求Ⅰ-Ⅰ截面上的剪力和弯矩。 解1)先以全梁为研究对象，列出平衡方程，解支座反力FA和ＦB(略)

第二节　剪力和弯矩 图5-7　简支梁剪力和弯矩 2)取Ⅰ-Ⅰ截面左侧，设截面中FQ1、M1为正，则有 3)若取Ⅰ-Ⅰ截面右侧，设截面中FQ1′、M1′ 例5-2外伸梁受载荷作用如图5-8所示。图中截面1-1和2-2都无限接近于截面A，同样截面3-3和4-4也都无限接近于截面D。试求图示各截面的剪力和弯矩。

第二节　剪力和弯矩 图5-8　外伸梁 解1)求支座反力：　取整梁为研究对象，设FA、ＦB方向向上，列平衡方程

第二节　剪力和弯矩 2)求各截面的剪力和弯矩：1-1截面左侧(图5-8b)，得 二、剪力图和弯矩图 (1)绘制梁内力图的基本方法和步骤 1)求支座反力。

第二节　剪力和弯矩 5M9.tif 2)分段在集中力(包括支座反力)和集中力偶作用处，以及分布载荷的分布规律变化处(对均布载荷而言，

第二节　剪力和弯矩 其变化处即均布载荷的边界处)进行分段。 3)列出内力的分段方程，明确其定义域。 4)画剪力图和弯矩图，先根据内力方程式判断内力图的形状，再通过计算若干控制截面(如各段的首尾截面、剪力为零的截面)的内力值，就可描点画图。 例5-3简支梁受均布载荷作用如图5-9a所示。试作此梁的剪力图和弯矩图。 解1)求支座反力：由梁的对称情况可知两个支座反力相等，即 2)列剪力方程和弯矩方程：任取一截面到A点的距离为x。 3)画剪力图和弯矩图：由FQ(x)方程表明，剪力图为一斜直线，只须确定两点，其图线即可确定，画出剪力图(图5-9b)。

第二节　剪力和弯矩 例5-4一简支梁AB在受集中力F作用(图5-10a)，试作出梁的剪力图和弯矩图。 解1)求支座反力：由平衡方程 2)根据载荷和支座情况，将梁分成AC和CB两段。 3)列剪力方程和弯矩方程：

第二节　剪力和弯矩 5M10.tif 4)画剪力图和弯矩图： (2)剪力图及弯矩图的特征

第二节　剪力和弯矩 1)梁上某段无均布载荷时，则该段ＦQ图为水平线，M图为斜直线。 2)某段有向下均布载荷时，则该段ＦQ图为向下的斜值线，M图为向上凸的抛物线；反之，当有向上的均布载荷时，ＦQ图为向上的斜直线，M图为向下凹的抛物线。 3)在集中力作用处,FQ图有突变，突变值等于集中力值，M图有折角；在集中力偶作用处，M图有突变，突变值等于集中力偶值。 4)ＦQ=0的截面处，弯矩有极值。 (3)梁的剪力图及弯矩图绘制方法 1)正确地将梁按支座情况和所受载荷的作用点分成若干段。 2)正确地求出各段分界面上的剪力值和弯矩值。

第二节　剪力和弯矩 3)根据各段内力图变化特点,判断其大致形状,绘出梁的剪力图和弯矩图。

第三节　梁弯曲时横截面上的应力 一、梁纯弯曲时横截面上的正应力 图5-11　梁的纯弯曲 1.弯曲变形

第三节 梁弯曲时横截面上的应力 1)所有纵向线都弯成曲线，靠近底面一侧的纵向线伸长(如cd),而靠近顶面一侧的纵向线缩短(如ab)。 第三节　梁弯曲时横截面上的应力 图5-12　纯弯曲实验 1)所有纵向线都弯成曲线，靠近底面一侧的纵向线伸长(如cd),而靠近顶面一侧的纵向线缩短(如ab)。

第三节　梁弯曲时横截面上的应力 2)所有横向线仍保持为直线，但相互间倾斜了一定角度θ，但仍与纵向线垂直。 3)矩形截面的上部变宽、下部变窄。 2.横截面上的正应力分布规律

第三节　梁弯曲时横截面上的应力 图5-13　中性层及中性轴

第三节　梁弯曲时横截面上的应力 图5-14　梁的横截面正应力分布规律 3.弯曲正应力计算公式

第三节　梁弯曲时横截面上的应力 图5-15　梁的弯曲正应力计算

第三节　梁弯曲时横截面上的应力 图5-16　应力性质判定 二、惯性矩、平行移轴公式 1.惯性矩定义

第三节　梁弯曲时横截面上的应力 5M17.tif 2.简单截面惯性矩

第三节　梁弯曲时横截面上的应力 表5-1　常用截面的I、W计算公式

第三节　梁弯曲时横截面上的应力 5M18.tif 3.组合截面惯性矩、平行移轴公式

第三节　梁弯曲时横截面上的应力 (1)平行移轴公式　工程上，梁常用的横截面形状，除了有简单的矩形、圆形截面外，还有一些比较复杂的形状,这些截面可以看成由简单截面组合而成。 (2)组合截面惯性矩的计算　由惯性矩定义可知，组合截面对某轴的惯性矩等于各简单形状截面对同一轴惯性矩之和。

第四节 梁弯曲时的强度计算 一、梁弯曲时的强度条件及应用 第四节　梁弯曲时的强度计算 一、梁弯曲时的强度条件及应用 5M19.tif 例5-5如图5-20所示的圆轴为一变截面轴，AC及DB段的直径为d1=100mm,CD段直径d2=120mm。P=20kN。

第四节　梁弯曲时的强度计算 若已知［σ］=65MPa,试对此轴进行强度校核。 解1)作轴的弯矩图　(略)。 2)确定危险截面的位置，从弯矩图(图5-20)可看出，最大弯矩为Mmax=10kN·m,作用在E截面处，是可能的危险截面之一。

第四节　梁弯曲时的强度计算 5M20.tif 3)根据强度条件进行校核，对于截面E，d2=120mm，求得

第四节　梁弯曲时的强度计算 例5-6简支梁承受载荷F=30kN，如图5-21所示。若已知［σ］＝110MPa,若用工字钢，选

第四节　梁弯曲时的强度计算 5M21.tif 解1)作弯矩图　(略)。 2)确定危险截面及危险点的位置。

第四节　梁弯曲时的强度计算 3)根据条件求出所需的Wz。 4)根据截面形状确定截面的尺寸。 5)若改用矩形截面,且h=2b则 例5-7T形截面梁的受力及支承情况如图5-22a所示。材料的许用拉应力［σ+］=32MPa，许用压应力［σ-］=70MPa,试校核梁的正应力强度。

第四节　梁弯曲时的强度计算 5M22.tif 解1)作弯矩图(图5-22b)。截面B有最大的负弯矩值，截面C有最大正弯矩值。

第四节　梁弯曲时的强度计算 2)计算截面形心的位置及对中性轴的惯性矩。 3)校核强度。 二、提高梁弯曲强度的措施 1.降低最大弯矩值M (1)合理布置梁的支座　以简支梁受均布载荷作用为例(图5-23a),跨中截面的最大弯矩M=ql2/8,若将两端支座各向中间移动0.2l(图5-23b)，则最大弯矩将减小为M=ql2/40，仅是前者的1/5，梁的承载能力就可大大提高。

第四节　梁弯曲时的强度计算 图5-23　合理布置梁的支座

图5-24 吊车的大梁和锅炉筒体 a)吊车的大梁 b)锅炉筒体 第四节　梁弯曲时的强度计算 图5-24　吊车的大梁和锅炉筒体 a)吊车的大梁　b)锅炉筒体 (2)适当增加梁的支座　由于梁的最大弯矩与梁的跨度有关，所以适当增加梁的支座，可以减小梁的跨度l,从而降低最大的弯矩值。

第四节　梁弯曲时的强度计算 图5-25　增加梁的支座 (3)改善载荷的布置情况　在可能的条件下，将集中载荷作用点靠近支座(5-26b)，或将载荷分散作用(图5-26c)，或用均布载荷代替集中力，都会降低最大弯矩值。

第四节　梁弯曲时的强度计算 图5-26　改善载荷的布置 2.选择合理的截面形状 (1)根据抗弯截面系数与截面面积的比值Wz/A选择截面　梁的承载能力与抗弯截面系数Wz成正比，而用料的多少又与截面面积A成正比，所以合理的截面形状应该是在截面积相同的情况下具有较大的抗弯截面系数。

第四节　梁弯曲时的强度计算 表5-2　几种常用截面/A比值 (2)根据材料特性选择截面

第四节　梁弯曲时的强度计算 5M27.tif 3.采用等强度梁

第五节　梁的变形和刚度计算 一、梁的变形概念 图5-28　车床主轴

第五节　梁的变形和刚度计算 图5-29　简支梁的弹性曲线 二、挠曲线方程和转角方程

第五节　梁的变形和刚度计算 表5-3　梁在简单载荷作用下的变形公式

第五节　梁的变形和刚度计算 表5-3　梁在简单载荷作用下的变形公式

第五节　梁的变形和刚度计算 表5-3　梁在简单载荷作用下的变形公式

第五节　梁的变形和刚度计算 表5-3　梁在简单载荷作用下的变形公式 三、梁的刚度条件 四、梁的刚度计算

第五节　梁的变形和刚度计算 5M30.tif 例5-8简易吊车(图5-31a)的横梁AB为工字钢,许用应力［σ］=130MPa,最大起重量F=10kN(包括电葫芦自重)。

第五节　梁的变形和刚度计算 横梁AB的许可挠度［θ］=l/500,E=2.1×105MPa。要求：1)按正应力条件选工字钢型号，并计及自重进行校该；2)试计及自重校核其刚度。

第五节 梁的变形和刚度计算 解当载荷F作用在梁在中点时，产生的弯矩最大(图5-31b);校核时，设梁的自重为均布载荷(图5-31c)。 第五节　梁的变形和刚度计算 图5-31　简易吊车横梁变形 解当载荷F作用在梁在中点时，产生的弯矩最大(图5-31b);校核时，设梁的自重为均布载荷(图5-31c)。

第五节　梁的变形和刚度计算 1)选择工字钢型号。 2)强度校核。 3)刚度校核。 4)根据刚度条件选择工字钢号。 5)计及自重后校核刚度 五、提高抗弯刚度的措施 (1)增大梁的EI　梁的变形与EI成反比，增大梁的EI将使变形减小。 (2)减小梁的跨度l　梁的变形与跨度l的高次幂成正比，减小梁的跨度是降低梁变形的最有效措施。

第五节　梁的变形和刚度计算 (3)改善载荷的作用情况　改善载荷的作用情况是为了降低最大弯矩，除采用提高梁的强度措施中的办法外，也可以通过调整载荷的作用方向，使其各自产生的变形符号相反，从而达到减小变形的目的。