第六章学习目标 理解数字滤波器的基本概念 掌握Butterworth、Chebyshev低通滤波器的特点 掌握脉冲响应不变法 掌握双线性变换法 了解利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的设计过程 了解利用频带变换法设计各种类型数字滤波器的方法

第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 6.1 数字滤波器的基本概念 6.2 模拟滤波器的设计 第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 6.1 数字滤波器的基本概念 6.2 模拟滤波器的设计 6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 6.4 用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器 6.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计 6.6 与本章内容有关的MATLAB文件

6.1 数字滤波器的基本概念 1. 数字滤波器的分类 2. 数字滤波器的技术要求 3. 数字滤波器设计方法概述 数字滤波器: 6.1 数字滤波器的基本概念 数字滤波器: 输入输出均为数字信号，经过一定运算关系改变输入信号所含频率 成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。 优点（与模拟滤波器比）： 精度高，稳定，体积小，重量轻，灵活，不要求阻抗匹配，能实现模 拟滤波器(AF)无法实现的特殊滤波功能。 1. 数字滤波器的分类 2. 数字滤波器的技术要求 3. 数字滤波器设计方法概述

1. 数字滤波器的分类 １） 经典滤波器： 即一般滤波器（输入信号中有用的频率成分和希望滤除的 频率成分各占有不同的频带，通过以合适的选频滤波器达 到目的） 现代滤波器： 如维纳滤波器，卡尔曼滤波器，自适应滤波器等最佳滤 波器（按随机信号内部的统计分布规律，从干扰中最佳 提取信号）

２）从功能上分类：低通、高通、带通、带阻滤波器 数字滤波器的传递函数都以　　为周期：滤波器的低通频带处于　　整数倍处，高频频带处于　的奇数倍附近。 |H(ejω)| ωc -ωc -π π -2π 2π

|H(ejω)| ωc -ωc -π π -2π 2π |H(ejω)| ω2 -ω2 -π π -2π 2π ω1 -ω1

ω1 |H(ejω)| ω2 -ω2 -π π -2π 2π -ω1 其他较复杂的特性可以由基本滤波器组合。

３）数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类 无限脉冲响应(IIR)滤波器 这两种滤波器都可以实现各种频率特性要求，但它们在计 算流程、具体特性逼近等方面是有差别的。 有限脉冲响应(FIR)滤波器

2数字滤波器的技术要求 通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤 波器的传输函数H(e jω)用下式表示： 其中： 幅频特性 ： 幅频特性 　　　： 　　　　信号通过滤波器后的各频率成分衰减情况 相频特性　　　： 　　　　各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况

一般要求幅频特性，相频特性一般不要求（但若对输出波形 有要求，则需要考虑相频特性的技术指标，如语音合成，波 形传输，图像信号处理） 选频滤波器： 一般要求幅频特性，相频特性一般不要求（但若对输出波形 有要求，则需要考虑相频特性的技术指标，如语音合成，波 形传输，图像信号处理） 若对输出波形有严格要求，则需设计线性相位数字滤波器。 实用滤波器： 通带：不一定完全水平 阻带：不一定绝对衰减到零 过渡带：通带、阻带之间 　　　　设置一定宽度的 　　　　过渡带 低通滤波器的技术要求

例：低通滤波器的技术要求 2） ：阻带截止频率 ３） 过渡带：（ ， ）一般单调下降 ４）通带内允许的最大衰减 ５）阻带内允许的最小衰减 1）　　　：通带截止频率 2）　　　：阻带截止频率 　 ３） 过渡带：（　　，　　）一般单调下降 　４）通带内允许的最大衰减　 　５）阻带内允许的最小衰减　　 　６） 3dB通带截止频率（　　=3dB时的　　） 边界频率——　　，　， ， ，

3. 数字滤波器设计方法概述 １） IIR滤波器设计方法 ２）FIR滤波器设计方法 ３）线性相位滤波器设计方法 借助模拟滤波器设计方法： 直接设计法：直接在频域或时域设计（需计算机辅助设计） ２）FIR滤波器设计方法 窗函数法 频率采样法 等波纹逼近法——需计算机辅助设计 ３）线性相位滤波器设计方法 FIR滤波器：常用（相位特性严格线性，这是AF无法达到的） IIR滤波器：必须使用全通网络对其非线性相位特性进行相位校正

4）数字滤波器的设计过程 按设计任务，确定滤波器性能要求，制定技术指标 用一个因果稳定的离散LSI系统的系统函数H(z)逼近此性能指标 利用有限精度算法实现此系统函数：如运算结构、字长的选择等 实际技术实现：软件法、硬件法或DSP芯片法

6.2 模拟滤波器的设计 将数字滤波器技术指标转变成模拟滤波器技术指标，设计模拟滤波器，再转换成数字滤波器 模拟滤波器 6.2 模拟滤波器的设计 将数字滤波器技术指标转变成模拟滤波器技术指标，设计模拟滤波器，再转换成数字滤波器 模拟滤波器 巴特沃斯 Butterworth 滤波器 切比雪夫 Chebyshev 滤波器 椭圆 Ellipse 滤波器 贝塞尔 Bessel 滤波器

模拟滤波器的分类（按幅频特性） 低通、高通、带通、带阻

1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法 模拟低通滤波器的设计指标： 1） Ωp ：通带截止频率 2） Ωs ：阻带截止频率 低通滤波器的幅度特性

3）通带Ω(=0~Ωp)内允许的最大衰减αp 　 4）阻带Ω≥Ωs内允许的最小衰减αs 5） 3dB通带截止频率（ αp =3dB时的Ωc ） 6）归一化的αp和αs 如果Ω=0处幅度已归一化到1，即|Ha(j0)|=1 对于单调下降的幅度特性

2、由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 2、由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 h(t)是实函数 将左半平面的的极点归 将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点，虚轴上的零点一半归

由幅度平方函数得象限对称的s平面函数 将 因式分解，得到各零极点 对比 和 ，确定增益常数 由零极点及增益常数，得

例： 解： 极点： 零点： （二阶） 的极点： 零点： 设增益常数为K0

2、Butterworth 低通逼近 为通带截止频率 幅度平方函数： N为滤波器的阶数 当

当 （阻带截止频率）时，衰减 为阻带最小衰减 1）幅度函数特点： 3dB不变性 通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小 过渡带及阻带内快速单调减小 当 （阻带截止频率）时，衰减 为阻带最小衰减

2）幅度平方特性的极点分布： Butterworth滤波器是一个全极点滤波器，其极点：

极点在s平面呈象限对称，分布在Buttterworth圆上，共2N点 极点间的角度间隔为 极点不落在虚轴上 N为奇数，实轴上有极点，N为偶数，实轴上无极点

3）滤波器的系统函数： 为归一化系统的系统函数 去归一化，得

4）滤波器的设计步骤： 确定技术指标： 根据技术指标求出滤波器阶数N： 由 得： 同理： 令 则：

求出归一化系统函数： 其中极点： 或者由N，直接查表得 去归一化 其中技术指标 给出或由下式求出： 阻带指标有富裕 或 通带指标有富裕

例6.2.1 已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减αp=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减αs=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。 解 ：(1) 确定阶数N。

(2) 按照(6.2.12)式，其极点为 按照(6.2.11)式，归一化传输函数为

上式分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭极点放在一起，形成因式分解形式。这里不如直接查表6.2.1简单，由N=5，直接查表得到： 极点：-0.3090±j0.9511,-0.8090±j0.5878; -1.0000 式 中 b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361

(3) 为将Ha(p)去归一化，先求3dB截止频率Ωc。 按照(6.2.17)式，得到： 将Ωc代入(6.2.18)式，得到： 将p=s/Ωc代入Ha(p)中得到：

4、Chebyshev低通逼近

幅度平方函数： ，表示通带波纹大小， 越大，波纹越大 ：截止频率，不一定为3dB带宽 N：滤波器的阶数 ：N阶Chebyshev多项式

1）幅度函数特点： N为奇数 N为偶数 通带内：在1和 间等波纹起伏 通带外：迅速单调下降趋向0

由通带衰减决定 为阻带截止频率 阻带衰减越大所需阶数越高 2）Chebyshev滤波器的三个参量： ：通带截止频率，给定 ：表征通带内波纹大小 由通带衰减决定 N：滤波器阶数，等于通带内最大最小值的总数 为阻带截止频率 阻带衰减越大所需阶数越高

3）幅度平方特性的极点分布：

4）滤波器的系统函数： 其中：

5）滤波器的设计步骤: 确定技术指标： 归一化： 根据技术指标求出滤波器阶数N及 ： 其中：

求出归一化系统函数： 其中极点由下式求出： 或者由N和 ，直接查表得 去归一化

例6.2.2：设计低通切比雪夫滤波器，要求通带截止频率 fp=3kHz，通带最大衰减αp=0.1dB，阻带截止频率 fs=12kHz，阻带最小衰减αs=60dB。 解： (1) 滤波器的技术要求： (2) 求阶数N和ε：

(3) 求Ha(p): 由(6.2.38)式求出N=5时的极点pi，代入上式，得到： (4)将Ha(p)去归一化，得到：

5.模拟滤波器的频率变换——模拟高通、带通、带 阻滤波器的设计 为了防止符号混淆，先规定一些符号如下： 假设低通传输函数用G（s）表示，s=jΩ，归一化频率用λ 表示；p＝j λ，p称为归一化拉氏复变量． 所需类型滤波器传输函数用Ｈ（s）表示，s=jΩ，归一化频 率用η表示；q＝j η，q称为归一化拉氏复变量．

1) 低通到高通的频率变换 λ和η之间的关系为 上式即是低通到高通的 频率变换公式，如果已 知低通G(jλ)，高通 H(jη)则用下式转换: (6.2.40) 上式即是低通到高通的 频率变换公式，如果已 知低通G(jλ)，高通 H(jη)则用下式转换: (6.2.41) 图6.2.9 低通与高通滤波器的幅度特性

模拟高通滤波器的设计步骤如下： (1)确定高通滤波器的技术指标：通带下限频率Ω′p，阻带上限频率Ω′s，通带最大衰减αp，阻带最小衰减αs。 (2)确定相应低通滤波器的设计指标：按照(6.2.40)式，将高通滤波器的边界频率转换成低通滤波器的边界频率，各项设计指标为： ①低通滤波器通带截止频率Ωp=1/Ω′p； ②低通滤波器阻带截止频率Ωs=1/Ω′s； ③通带最大衰减仍为αp，阻带最小衰减仍为αs。

(4)求模拟高通的H(s)。将G(p)按照(6.2.40)式，转换成归一化高通H(q)，为去归一化，将q=s/Ωc代入H(q)中，得 (6.2.42)

例6.2.3 设计高通滤波器,fp=200Hz,fs=100Hz，幅度特性单调 下降，fp处最大衰减为3dB，阻带最小衰减αs=15dB。 解： ①高通技术要求： fp=200Hz,αp=3dB; fs=100Hz,αs=15dB 归一化频率 ②低通技术要求：

③ 设计归一化低通G(p)。 采用巴特沃斯滤波器，故 ④ 求模拟高通H(s)：

2) 低通到带通的频率变换 图6.2.10 带通与低通滤波器的度特性

由η与λ的对应关系，得到： （6.2.43） 低通到带通的频率变换公式 由表6.2.2知λp对应ηu，代入上式中，有 表6.2.2 η与λ的对应关系

为去归一化，将q=s/B代入上式，得到： 归一化的低通到带通的转换公式 由于 将(6.2.43)式代入上式，得到： 将q=jη代入上式，得到： 为去归一化，将q=s/B代入上式，得到： (6.2.44) (6.2.45)

模拟带通的设计步骤 (1)确定模拟带通滤波器的技术指标，即： 带通上限频率Ωu，带通下限频率Ωl 下阻带上限频率Ω s1 ,上阻带下限频率Ω s2 通带中心频率Ω20=ΩlΩu，通带宽度B=ΩuΩl 与以上边界频率对应的归一化边界频率如下：

(4) 由(6.2.45)式直接将G(p)转换成带通H(s)。 (2) 确定归一化低通技术要求： λs与-λs的绝对值可能不相等，一般取绝对值小的λs，这样保证在较大的λs处更能满足要求。 通带最大衰减仍为αp，阻带最小衰减亦为αs。 (3) 设计归一化低通G(p)。 (4) 由(6.2.45)式直接将G(p)转换成带通H(s)。

ηu=Ωu/B,ηl=Ωl/B,ηs1=Ωs1/B,ηs2=Ωs2/B; η02=ηuηl 3) 低通到带阻的频率变换 图中，Ωl和Ωu分别是下通带截止频率和上通带截止频率，Ωs1和Ωs2分别为阻带的下限频率和上限频率，Ω0为阻带中心频率，Ω02=ΩuΩl，阻带带宽B=ΩuΩl，B作为归一化参考频率。相应的归一化边界频率为 ηu=Ωu/B,ηl=Ωl/B,ηs1=Ωs1/B,ηs2=Ωs2/B; η02=ηuηl 图6.2.11 低通与带阻滤波器的幅频特性

低通到带阻的频率变换公式 根据η与λ的对应关系，可得到： 由归一化低通转换成带阻的频率变换公式。 且ηuηl=1，λp=1 表6.2.3 η与λ的对应关系 低通到带阻的频率变换公式 根据η与λ的对应关系，可得到： 由归一化低通转换成带阻的频率变换公式。 (6.2.46) 且ηuηl=1，λp=1 将(6.2.46)式代入p=jλ，并去归一化，可得 (6.2.48)

带阻滤波器的步骤： (1)确定模拟带阻滤波器的技术要求，即： 下通带截止频率Ωl,上通带截止频率Ωu 阻带下限频率Ωs1，阻带上限频率Ωs2 阻带中心频率Ω+20=ΩuΩl，阻带宽度B=ΩuΩl 它们相应的归一化边界频率为 ηl=Ωl/B,ηu=Ωu/B,ηs1=Ωs1/B; ηs2=Ωs2/B,η20=ηuηl 以及通带最大衰减αp和阻带最小衰减αs。

(4) 按照(6.2.48)式直接将G(p)转换成带阻滤波器H(s)。 (2) 确定归一化模拟低通技术要求，即： 取λs和λs的绝对值较小的λs；通带最大衰减为αp， 阻带最小衰减为αs。 (3) 设计归一化模拟低通G(p)。 (4) 按照(6.2.48)式直接将G(p)转换成带阻滤波器H(s)。

模拟高通、带通、带阻滤波器的设计小结 高通滤波器 带通滤波器 带阻滤波器 技术指标转化 低通模拟滤波器指标 设计低通原型模拟滤波器 其他类型模拟滤波器

6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字 低通滤波器 设计思想： s 平面 z 平面 模拟系统 数字系统 H(z) 的频率响应要能模仿 Ha(s) 的频率响应， 即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆 因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的 H(z) ， 即 s 平面的左半平面 Re[s] < 0 映射到 z 平面的单位圆内 |z| < 1

设计方法： - 冲激响应不变法 - 双线性变换法 - *阶跃响应不变法

2.脉冲响应不变法的转换原理 核心原理： 通过对连续函数 等间隔采样得到离散序列 使 ，T为采样间隔。它是一种时域上的转换方法。 转换步骤：

设模拟滤波器的传输函数为Ha(s),相应的单位冲激响应是ha(t) Ha(s)与H(z) 间的转换 设模拟滤波器的传输函数为Ha(s),相应的单位冲激响应是ha(t) 设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将Ha(s)用部分分式表示： si为Ha(s)的单阶极点 (6.3.1) 将Ha(s)进行逆拉氏变换得到ha(t)： (6.3.2) u(t)是单位阶跃函数

对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到： (6.3.3) 对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)： (6.3.4)

拉氏变换与Z变换的映射关系 设ha(t)的采样信号用 表示， 对 进行拉氏变换，得到: ha(nT)是ha(t)在采样点t=nT时的幅度值，它与序列h(n)的幅度值相等，即h(n)=ha(nT)

上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系可用下式表示： 因此得到: (6.3.5) 上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系可用下式表示： 标准映射关系 (6.3.6)

表明将模拟信号ha(t)的拉氏变换在s平面上沿虚轴按照周期Ωs=2π/T延拓后，再按照标准映射关系，映射到z平面上，就得到H(z)。 3. 频率响应之间的关系 模拟信号ha(t)的傅里叶变换Ha(jΩ)和其采样信号 的傅里叶变换 之间的关系满足，重写如下： (6.3.7) 将s=jΩ代入上式，得 (6.3.8) 得到: (6.3.9) 表明将模拟信号ha(t)的拉氏变换在s平面上沿虚轴按照周期Ωs=2π/T延拓后，再按照标准映射关系，映射到z平面上，就得到H(z)。

4、s平面与Z平面的映射 设 按照标准映射关系，得到: 因此得到: 那么 σ=0,r=1 σ<0,r<1 (6.3.10) 那么 σ=0,r=1 σ<0,r<1 σ>0,r>1 另外，注意到z=esT是一 个周期函数，可写成 图6.3.1 z=esT,s平面与z平面之间的映射关系 为任意整数

5.混叠失真 图6.3.2 脉冲响应不变法的频率混叠现象

6、模拟滤波器的数字化方法 极点：s 平面 z 平面 系数相同： 稳定性不变：s 平面 z 平面

7.避免溢出的方法 当T 很小时，数字滤波器增益很大，易溢出，需修正 令： 则：

8.优缺点 优点： h(n)完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应 时域逼近良好 保持线性关系： 线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器 缺点： 频率响应混迭 只适用于限带的低通、带通滤波器

用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z)。 解： 首先将Ha(s)写成部分分式： 极点为 那么H(z)的极点为

按照(6.3.4)式，并经过整理，得到 设T=1s时用H1(z)表示，T=0.1s时用H2(z)表示，则

图6.3.3 例6.3.1的幅度特性

6.4 用双线性变换法设计IIR数字 低通滤波器 使数字滤波器的频率响应 与模拟滤波器的频率响应相似。 脉冲响应不变法：时域模仿逼近 缺点是产生频率响应的混叠失真

1．克服频率混叠的思想

为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系，引入系数 c

2.变换常数c的选择 1）低频处有较确切的对应关系： 2）某一特定频率严格相对应： 特定频率处频率响应严格相等，可以较准确地控制截止频率位置

3.逼近情况 1） s平面虚轴 z平面单位圆 2） s平面 z平面 左半平面 单位圆内 右半平面 单位圆外 虚轴 单位圆上

4.数字频率 和模拟频率 的关系 s 平面与 z 平面为单值变换 图6.4.2 双线性变换法的频率关系

5.优缺点 优点： 避免了频率响应的混迭现象 频率非线性压缩引起固有的频率失真 缺点： 除了零频率附近， 与 之间严重非线性 局限： 除了零频率附近， 与 之间严重非线性 局限： 要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型， 不然会产生畸变

分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器，但临界频率点产生畸变

按 设计模拟滤波器，经双线性变换后，即可得到 为截止频率的数字滤波器 预畸变 给定数字滤波器的截止频率 ，则 按 设计模拟滤波器，经双线性变换后，即可得到 为截止频率的数字滤波器

6.模拟滤波器的数字化方法

7.例题 解： 例6.4.1试分别用脉冲响应不变法和双线性不变法将图6.4.4所示的RC低通滤波器转换成数字滤波器。 首先按照图6.4.4写出该滤波器的传输函数Ha(s)为 利用脉冲响应不变法转换，数字滤波器的系统函数H1(z)为

利用双线性变换法转换，数字滤波器的系统函数H2(z)为 H1(z)和H2(z)的网络结构分别如图6.4.5(a),(b)所示。 图6.4.5 例6.4.1图——H1(z)和H2(z)的网络结构 (a)H1(z); (b)H2(z)

图6.4.6例6.4.1 图——数字滤波器H1(z)和H2(z)的幅频特性

8.T的选择 脉冲响应不变法： 如采用脉冲响应不变法，为避免产生频率混叠现象，要求所 设计的模拟低通滤波器带限于 之间，由于实际滤波器 设计的模拟低通滤波器带限于 之间，由于实际滤波器 都有一定宽度过渡带，可选择T满足公式 。但如果 先给定数字低通的技术指标时，由于数字滤波器传输函数以 2π为周期，最高频率在ω=π处，因此 ，按照线性 关系 ，那么一定满足 ，这样T可以任选。 双线性变换法： 不存在频率混叠现象，尤其对于设计片断常数滤波器，T可 任选

小结：利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的步骤 确定数字滤波器的技术指标： 通带截止频率 、通带衰减 阻带截止频率 、阻带衰减 将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标 脉冲响应不变法 通带截止频率 阻带截止频率 双线性变换法 通带截止频率 阻带截止频率

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器 Butterworth低通滤波器 Chebyshev低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器 脉冲响应不变法 双线性变换法

例6.4.2 设计低通数字滤波器，要求在通带内频率低于0.2π rad时，容许幅度误差在1dB以内；在频率0.3π到π之间的阻 带衰减大于15dB。指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。 试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计滤波器。 解： (1) 用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器。 ① 数字低通的技术指标为 ωp=0.2πrad,αp=1dB; ωs=0.3πrad,αs=15dB ② 模拟低通的技术指标为 T=1s,Ωp=0.2πrad/s,αp=1dB; Ωs=0.3πrad/s,αs=15dB

③设计巴特沃斯低通滤波器。先计算阶数N及3dB截止频率Ωc。 为求3dB截止频率Ωc,将Ωp和αp代入(6.2.17)式，得到 Ωc=0.7032rad/s，显然此值满足通带技术要求，同时给阻带 衰减留一定余量，这对防止频率混叠有一定好处。

根据阶数N=6，查表6.2.1，得到归一化传输函数为 为去归一化，将p=s/Ωc代入Ha(p)中，得到实际的传输函数Ha(s), ④用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成H(z)。首先将Ha(s)进行部分分式，并按照(6.3.11)式、(6.3.12)式，或者(6.3.13)式和(6.3.14)式，得到：

图6.4.7 例6.4.2图——用脉冲响应不变法设计的数字低通滤波器的幅度特性

(2) 用双线性变换法设计数字低通滤波器。 ① 数字低通技术指标仍为 ωp=0.2πrad,αp=1dB; ωs=0.3πrad,αs=15dB ② 模拟低通的技术指标为

③ 设计巴特沃斯低通滤波器。阶数N计算如下： 取N=6。为求Ωc,将Ωs和αs代入(6.2.18)式中，得 到Ωc=0.7662rad/s。这样阻带技术指标满足要求，通 带指标已经超过。

根据N=6，查表6.2.1得到的归一化传输函数Ha(p)与脉冲响应不变法得到的相同。为去归一化，将p=s/Ωc代入Ha(p)，得实际的Ha(s)， ④ 用双线性变换法将Ha(s)转换成数字滤波器H(z)：

图6.4.8 例6.4.2图——用双线性变换法设计的数字低通滤波器的幅度特性

6.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计

具体设计步骤如下： (1) 确定所需类型数字滤波器的技术指标。 (2) 将所需类型数字滤波器的技术指标转换成所需类 型模拟滤波器的技术指标，转换公式为 (3)将所需类型模拟滤波器技术指标转换成模拟低通 滤波器技术指标(具体转换公式参考本章6.2节)。 (4)设计模拟低通滤波器。 (5)将模拟低通通过频率变换，转换成所需类型的模拟 滤波器。 (6)采用双线性变换法，将所需类型的模拟滤波器转换 成所需类型的数字滤波器。

例6. 5. 1 设计一个数字高通滤波器，要求通带截止频率ωp=0. 8πrad，通带衰减不大于3dB，阻带截止频率ωs=0 例6.5.1 设计一个数字高通滤波器，要求通带截止频率ωp=0.8πrad，通带衰减不大于3dB，阻带截止频率ωs=0.44πrad,阻带衰减不小于15dB。希望采用巴特沃斯型滤波器。 解: (1)数字高通的技术指标为 ωp=0.8πrad,αp=3dB; ωs=0.44πrad,αs=15dB (2) 模拟高通的技术指标计算如下： 令T=1，则有

(3)模拟低通滤波器的技术指标计算如下： 将Ωp和Ωs对3dB截止频率Ωc归一化，这里Ωc=Ωp, (4)设计归一化模拟低通滤波器G(p)。模拟低通滤波器的阶数 N计算如下：

查表6.2.1，得到归一化模拟低通传输函数G(p)为 为去归一化，将p=s/Ωc代入上式得到： (5) 将模拟低通转换成模拟高通。将上式中G(s)的变量换成1/s，得到模拟高通Ha(s)： (6)用双线性变换法将模拟高通H (s)转换成数字高通H(z)

实际上(5)、(6)两步可合并成一步，即

例6. 5. 2设计一个数字带通滤波器，通带范围为0. 3πrad到0. 4πrad，通带内最大衰减为3dB，0. 2πrad以下和0 例6.5.2设计一个数字带通滤波器，通带范围为0.3πrad到0.4πrad，通带内最大衰减为3dB，0.2πrad以下和0.5πrad以上为阻带，阻带内最小衰减为18dB。采用巴特沃斯型模拟低通滤波器。 解 (1)数字带通滤波器技术指标为 通带上截止频率 ωu=0.4πrad 通带下截止频率 ωl=0.3πrad

阻带上截止频率 ωs2=0.5πrad 阻带下截止频率 ωs1=0.2πrad 通带内最大衰减αp=3dB，阻带内最小衰减αs=18dB。

(2) 模拟带通滤波器技术指标如下： 设T=1，则有 (通带中心频率) (带宽)

将以上边界频率对带宽B归一化，得到 ηu=3.348,ηl=2.348; ηs2=4.608,ηs1=1.498; η0=2.804 (3) 模拟归一化低通滤波器技术指标： 归一化阻带截止频率 归一化通带截止频率 λp=1 αp=3dB,αs=18dB

(4) 设计模拟低通滤波器： 查表6.2.1，得到归一化低通传输函数G(p),

(5) 将归一化模拟低通转换成模拟带通： (6)通过双线性变换法将Ha(s)转换成数字带通滤波器H(z)。下面将(5)、(6)两步合成一步计算：

将上式代入(5)中的转换公式，得 将上面的p等式代入G(p)中，得

例6. 5. 3设计一个数字带阻滤波器，通带下限频率ωl=0. 19π,阻带下截止频率ωs1=0. 198π，阻带上截止频率ωs2=0 例6.5.3设计一个数字带阻滤波器，通带下限频率ωl=0.19π,阻带下截止频率ωs1=0.198π，阻带上截止频率ωs2=0.202π，通带上限频率ωu=0.21π，阻带最小衰减αs=13dB，ωl和ωu处衰减αp=3dB。采用巴特沃斯型。 解 (1) 数字带阻滤波器技术指标： ωl=0.19πrad,ωu=0.21πrad,αp=3dB; ωs1=0.198πrad,ωs2=0.202πrad,αs=13dB

(2) 模拟带阻滤波器的技术指标： 设T=1，则有 阻带中心频率平方为 Ω20=ΩlΩu=0.421 阻带带宽为  B=Ωu-Ωl=0.07rad/s

将以上边界频率对B归一化： ηl=8.786,ηu=9.786, ηs1=9.186,ηs2=9.386; η20=ηlηu=85.98 (3) 模拟归一化低通滤波器的技术指标： 按照(6.2.48)式，有 λp=1,αp=3dB

(4) 设计模拟低通滤波器： (5) 将G(p)转换成模拟阻带滤波器Ha(s)：

(6) 将Ha(s)通过双线性变换，得到数字阻带滤波器H(z)。

IIR 数字滤波器的直接设计法 1. 零极点累试法 根据幅度特性先确定零极点位置，再按照确定的零极点 1. 零极点累试法 2.在频域利用幅度平方误差最小法直接设计IIR数字 滤波器 3. 在时域直接设计IIR数字滤波器 根据幅度特性先确定零极点位置，再按照确定的零极点 写出系统函数，画出其幅度特性，并与希望的进行比较 ，如不满足要求，可通过移动零极点位置或增加（减少） 零极点，进行修正。这种修正是多次的，因此称为零极 点累试法。

与本章内容有关的MATLAB文件 1．buttord.m 确定 LP DF、或 LP AF的阶次； （1） [N, Wn] = buttord(Wp, Ws, Rp, Rs)； 对应 数字滤波器。其中 Wp, Ws分别是通带和阻带的截止频率，其值在 0～1 之间，1对应抽样频率的一半(归一化频率)。对低通和高通，Wp, Ws都是标量，对带通和带阻，Wp, Ws是1×2的向量。Rp, Rs 分别是通带和阻带的衰减(dB)。N是求出的相应低通滤波器的阶次，Wn是求出的3dB频率，它和Wp稍有不同。

（2）[N, Wn] = buttord(Wp, Ws, Rp, Rs,‘s’)： 对应模拟滤波器，式中各个变量的含意和格式（1）相同，但Wp, Ws及Wn的单位为弧度/秒，因此，它们实际上是频率。 2．buttap.m 设计模拟低通(Butt)原型滤波器。 [z, p, k]=buttap(N): N是欲设计的低通原 型滤波器的阶次，z, p, k是设计出的极点、 零点及增益。

（1） （2） 3．lp2lp.m、lp2hp.m、lp2bp.m, lp2bs.m 将模拟低通原型转换为实际的低通、高通、带通及带阻滤波器。 [B, A]=lp2lp(b, a, Wo), [B, A]=lp2hp(b, a, Wo) [B, A]=lp2bp(b, a, Wo, Bw), [B, A]=lp2bs(b, a, Wo, Bw) b, a 是AF LP 的分子、分母的系数向量，B, A是转换后的的分子、分母的系数向量；在（1）中，Wo是低通或高通滤波器的截止频率；在（2）中，Wo是带通或带阻滤波器的中心频率，Bw是其带宽。 （1） （2）

4．bilinear.m ：双线性变换，由模拟滤波器 得到数字滤波器。 [Bz, Az]=bilinear(B, A, Fs) 式中B, A分别是G（s）的分子、分母多项式 的系数向量，Bz, Az分别是H(z)的分子、分 母多项式的系数向量，Fs是抽样频率。

5．butter.m 本文件可用来直接设计Butterworth数字滤波器，实际上它把 Buttord buttap、 lP2lp Bilinear 等文件都包含了进去，从而使设计过程更简捷。

（1） [B,A]=butter(N,Wn);. （2） [B,A]=butter(N,Wn,’high’); （1） [B,A]=butter(N,Wn); （2） [B,A]=butter(N,Wn,’high’); （3） [B,A]=butter(N,Wn,’stop’); （4） [B,A]=butter(N,Wn,’s’)。 格式（1）～（3）用来设计数字滤波器，B，A分别是H（z）的分子、分母多项式的系数向量，Wn是通带截止频率，范围在0～1之间。若Wn是标量，（1）用来设计低通数字滤波器，若Wn是1×2的向量，则（1）用来设计数字带通滤波器；（2）用来设计数字高通滤波器；（3）用来设计数字带阻滤波器，显然，这时的Wn是1×2的向量；格式（4）用来设计模拟滤波器。

6．cheb1ord.m 求Cheb-Ⅰ型滤波器的阶； 7. cheb1ap.m 设计原型低Cheb-I型模拟滤波器； 8．cheby1.m 直接设计数字Cheb-Ⅰ滤波器。 以上三个文件的调用格式和对应的 Butterworth滤波器的文件类似。

对应 Cheby-II、椭圆 IIR 滤波器 9．cheb2ord.m; 10. ellipord.m; 11. cheb2ap.m; 12. ellipap.m; 13. besselap.m; 14. cheby2.m; 15. ellip.m; 16. besself.m 对应 Cheby-II、椭圆 IIR 滤波器 17. impinvar.m 用冲激响应不变法实现频率转换； 18. bilinear.m 用双线性变换法实现频率转换；

作业 P193 4. 5. 6.