第3讲 机械能守恒定律 能的转化和守恒定律 1．重力势能 (1)重力做功的特点 ①重力做功与 无关，只与始末位置的 有关． 第3讲 机械能守恒定律 能的转化和守恒定律 1．重力势能 (1)重力做功的特点 ①重力做功与 无关，只与始末位置的 有关． ②重力做功不引起物体 的变化． 路径 高度差 机械能

(2)重力势能 ①概念：物体由于 而具有的能． ②表达式：Ep＝ . ③矢标性：重力势能是 ，正、负表示其 ． (3)重力做功与重力势能变化的关系 ①定性关系：重力对物体做正功，重力势能就 ；重力对物体做负功，重力势能就 ． ②定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量． 即WG＝－( )＝ . 被举高 mgh 标量 大小 减少 增加 Ep1－Ep2

2．弹性势能 (1)概念：物体由于发生 而具有的能． (2)大小：弹簧的弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，弹簧的形变量 ，劲度系数 ，弹簧的弹性势能越大． (3)弹力做功与弹性势能变化的关系类似于重力做功与重力势能变化的关 系，用公式表示：W＝ . 弹性形变 越大 越大 －ΔEp

1．重力势能公式中h的含义要特别注意 重力势能公式Ep＝mgh中的h表示高度，用来表示物体所在的位置，是个状态 量，是由规定的高度零点(如地面)开始量度的，向上为正． 2．势能属于系统所共有 重力势能是物体和地球组成的系统所共有的，而不是物体单独具有的，“物体 的重力势能”只是一种简化的说法．弹性势能属于系统所有，即由弹簧各部 分组成的系统所共有，而与外界物体无关．

3．势能的相对性 重力势能具有相对性，同一物体位于同一位置时，由于选择不同的水平面 作为零势能面，其重力势能的数值(包括正、负)也不同．因而，要确定重 力势能，须首先确定零势能面．但是，同一物体在两个不同位置时重力势 能之差是确定的，只与两位置的高度差Δh有关，与零势能面的选取无 关．弹性势能一般取形变量x＝0处为零势能点． 4．势能是标量，正负具有大小的含义

1. 如图5－3－1所示，质量为m的物体(可视为质点)以某一初速度由底端冲上倾角为30°的固定斜面，上升的最大高度为h，其加速度大小为 g，在这个过程中有关该物体的说法中正确的是(　　) A．重力势能增加了mgh B．动能损失了mgh C．动能损失了 D．机械能损失了

解析：物体重力势能的增加量等于克服重力做的功，A正确；物体的合力做的功等于动能的减少量ΔEk＝max＝ ，故B错误、C正确；物体机械能的损失量等于克服摩擦力做的功，因mgsin 30°＋Ff＝ma，所以Ff＝ mg，故物体克服摩擦力做的功为Ffx＝ mg·2h＝ mgh，D正确． 答案：ACD

1．机械能 和 统称为机械能，即E＝ ，其中势能包括 和 ． 2．机械能守恒定律 (1)内容：在只有 做功的物体系统内，动能与势能可以相互转 化，而总的机械能 ． Ek＋Ep 动能 势能 重力势能 弹性势能 重力或弹力 保持不变

(2)表达式： ① ＝ .(要选零势能参考平面) ②ΔEk＝ .(不用选零势能参考平面) ③ΔEA增＝ ．(不用选零势能参考平面) 物体所受合外力为零，物体的机械能一定守恒吗？举例说明． 提示：不一定，例如重物在竖直向上的外力作用下，沿竖直方向匀速上升的过程，其机械能逐渐增加． －ΔEp ΔEB减

1．对机械能守恒条件的理解 “只有重力做功”不等于“只受重力作用”．在该过程中，物体可以受其 他力的作用，只要这些力不做功，或所做的功的代数和为零，就可以认为 是“只有重力做功”．

2．机械能守恒定律的三种表达形式和用法 (1)E2＝E1或 ，表示系统在初状态的机械能等于其末 状态的机械能．一般来说，当始、末状态的机械能的总和相等，运用这种 形式表达时，应选好零势能面，且初、末状态的高度已知，系统除地球 外，只有一个物体时，用这种表达形式较方便． 以上三种表达方式中，(1)是最基本的表达方式，易于理解和掌握，但始末状态的动能和势能要分析全，防止遗漏某种形式的机械能．应用(2)(3)方式列出的方程简捷，是同学们应该重点掌握的，但在分析势能的变化时易出错，要引起注意．

(2)ΔEp＝－ΔEk，表示系统(或物体)机械能守恒时，系统减少(或增加)的势能等于增加(或减少)的总动能．应用时，关键在于分清重力势能的增加量和减少量，可不选零势能面而直接计算初、末状态的势能差．这种表达方式一般用于始末状态的高度未知，但高度变化已知的情况． (3)ΔEA增＝ΔEB减，表示若系统由A、B两部分组成，则A部分物体机械能的增加量与B部分物体机械能的减少量相等．

2. 如图5－3－2所示，ABCD是一段竖直平面内的光滑轨道，AB段与水平面成α角，CD段与水平面成β角，其中BC段水平，且其长度大于L 2. 如图5－3－2所示，ABCD是一段竖直平面内的光滑轨道，AB段与水平面成α角，CD段与水平面成β角，其中BC段水平，且其长度大于L.现有两小球P、Q，质量分别是2m、m，用一长为L的轻质直杆连接，将P、Q由静止从AB段上高H处释放，在轨道转折处用光滑小圆弧连接，不考虑两小球在轨道转折处的能量损失．则小球P滑上CD轨道的最大高度h为(　　) 图5－3－2

A．H B．H＋ C．H－Lsin β D．H＋ 解析：P、Q整体上升的过程中，机械能守恒，以地面为重力势能的零势面，根据机械能守恒定律有：mgH＋2mg(H＋Lsin α)＝2mgh＋mg(h＋Lsin β)， 解方程得：h＝H＋ . 答案：B

一、能量转化和守恒定律 能量既不会消失，也不会创生．它只能从一种形式 为另一种形式， 或者从一个物体 到另一个物体，而在转化和转移的过程中，能量 的总量保持 ． 转化 转移 不变

二、常见的几种功与能的关系 1．合外力对物体做功等于物体动能的改变． W合＝ ，即动能定理． 2．重力做功对应重力势能的改变． WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2 重力做多少正功，重力势能 多少；重力做多少负功，重力势能 多少． 减少 增加

3．弹簧弹力做功与弹性势能的改变相对应． WF＝－ΔEp＝Ep1－Ep2 弹力做多少正功，弹性势能 多少；弹力做多少负功，弹性势能 多少． 4．除重力或弹簧的弹力以外的其他力的功与物体 的增量相对应，即W其他＝ΔE. (1)除重力或弹簧的弹力以外的其他力做多少正功，物体的机械能就 多少． (2)除重力或弹簧的弹力以外的其他力做多少 ，物体的机械能就减少多少． (3)除重力或弹簧的弹力以外的其他力不做功或做功的代数和为零，物体的机械 能 ． 减少 增加 机械能 增加 负功 守恒

一对相互作用的滑动摩擦力对物体系统所做总功，等于摩擦力与相对路程的乘积，即Wf＝Ff·x相对，即系统损失机械能转变成内能，Q＝Ff·x相对．

3. 飞机场上运送行李的装置为一水平放置的环形传送带，传送带的总质量为M，其俯视图如图5－3－3所示．现开启电动机，传送带达稳定运行的速度v后，将行李依次轻轻放到传送带上．若有n件质量均为m的行李需通过传送带运送给旅客．假设在转弯处行李与传送带无相对滑动，忽略皮带轮、电动机损失的能量．求从电动机开启，到运送完行李需要消耗的电能为多少？ 图5－3－3

解析：设行李与传送带间的动摩擦因数为μ，则传送带与行李间由于摩擦产生 的总热量Q＝nμmgΔx 由运动学公式得：Δx＝x传－x行＝vt－ 又v＝μgt，联立解得：Q＝ nmv2，由能量守恒得：E＝Q＋ Mv2＋ nmv2 所以E＝ Mv2＋nmv2. 答案： Mv2＋nmv2

4．“滔天浊浪排空来，翻江倒海山为摧”的钱塘江大潮，被誉为天下奇观．小莉设想用钱塘江大潮来发电，在江海交接某处建一大坝，形成一个面积为1 4．“滔天浊浪排空来，翻江倒海山为摧”的钱塘江大潮，被誉为天下奇观．小莉设想用钱塘江大潮来发电，在江海交接某处建一大坝，形成一个面积为1.0×107 m2，涨潮时水深达25 m的蓄水湖，关上水闸落潮后坝内外水位差为2 m．若发电时水重力势能的12%转变为电能，并只有退潮时发电，每天涨潮两次，求该电站每天能发多少电？根据图5－3－4中情景，说明图5－3－5中的A、B两台机器(有一台是发电机，另一台是电动机)，哪台是发电机？(已知水的密度ρ＝1.0×103 kg/m3，g＝10 m/s2) 图5－3－4　　　　　　　　　　　　　图5－3－5

解析：退潮时水的落差是h＝2 m，水的质量是m＝ρV＝ρsh，这些水的重心下降高度 重力势能减少：ΔEp＝mgΔh＝ 每天发出的电能为ΔE＝2ΔEp×12%＝0.12ρSgh2＝4.8×1010 J A为发电机． 答案：4.8×1010 J　A为发电机

【例1】如图5－3－6所示，一根不可伸长的轻绳两端分别系着小球A和物块B，跨过 固定于斜面体顶端的小滑轮O，倾角为30°的斜面体置于水平地面上．A的 质量为m，B的质量为4m.开始时，用手托住A，使OA段绳恰处于水平伸直状 态(绳中无拉力)，OB绳平行于斜面，此时B静止不动．将A由静止释放，在 其下摆过程中，斜面体始终保持静止，下列判断中正确的是(　　) 图5－3－6

A．物块B受到的摩擦力先减小后增大 B．地面对斜面体的摩擦力方向一直向右 C．小球A的机械能守恒 D．小球A的机械能不守恒，A、B系统的机械能守恒 解析：开始时B静止不动，B所受的静摩擦力为4mgsin 30°＝2mg，方向沿斜面向上．假设A向下摆动时B不动，则A到最低点的过程中，根据机械能守恒定律有：mgh＝ mv2，设最低点的位置绳子的张力为T，则T－mg＝ ，解得T＝3mg.再对B受力分析可得，

此时B受到的静摩擦力为mg，方向沿斜面向下，故假设成立，B相对于斜面始终静止，选项C正确．由于绳子拉力是逐渐增大的，所以选项A正确．将B与斜面体看作整体，A在下摆过程中对整体有向左的拉力，所以地面对斜面 体的摩擦力方向向右，选项B正确． 答案：ABC

判断机械能是否守恒的方法 1．利用机械能的定义判断：分析动能与势能的和是否变化．如：匀速下落的物 体动能不变，重力势能减少，物体的机械能必减少． 2．用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，或有其他力做 功，但其他力做功的代数和为零，机械能守恒． 3．用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化，而无机械 能与其他形式的能的转化，则物体系统的机械能守恒． 4．对一些绳子突然绷紧、物体间非弹性碰撞等问题机械能一般不守恒，除非 题中有特别说明或暗示．

1－1 如图5－3－7所示，斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止于水平面上，现将一小球从 图示位置静止释放，不计一切摩擦，则在小球从释放到落至地面的过程中， 下列说法正确的是(　　) 图5－3－7

A．斜劈对小球的弹力不做功 B．斜劈与小球组成的系统机械能守恒 C．斜劈的机械能守恒 D．小球重力势能减小量等于斜劈动能的增大量 解析：不计一切摩擦，小球下滑时，小球和斜劈组成的系统只有小球重力做 功，系统机械能守恒，故选B、D. 答案：BD

1－2 如图5－3－8所示为竖直平面内的直角坐标系．一个质量为m的质点，在恒力 F和重力的作用下，从坐标原点O由静止开始沿直线OA斜向下运动，直线 OA与y轴负方向成θ角(θ＜90°)．不计空气阻力，重力加速度为g，则以下 说法正确的是(　　) 图5－3－8

A．当F＝mgtan θ时，质点的机械能守恒 B．当F＝mgsin θ时，质点的机械能守恒 C．当F＝mgtan θ时，质点的机械能可能减小也可能增大 D．当F＝mgsin θ时，质点的机械能可能减小也可能增大 解析：考查机械能守恒定律．如图为力的矢量三角形图示，若F＝mgtan θ，则F力可能为b方向或c方向，故力F的方向可能与运动方向成锐角，也

可能与运动方向成钝角，除重力外的力F对质点可能做正功，也可能做负功，故质点机械能可能增大，也可能减小，C对A错；当F＝mgsin θ，即力F为a方向时，力F垂直质点运动方向，故只有重力对质点做功，机械能守恒，B对D错． 答案：BC

【例2】如图5－3－9所示，内壁光滑的空心细管弯成的轨道ABCD固定在竖直平 面内，其中BCD段是半径R＝0.25 m的圆弧，C为轨道的最低点，CD为 圆弧，AC的竖直高度差h＝0.45 m． 图5－3－9

在紧靠管道出口D处有一水平放置且绕其水平中心轴OO′匀速旋转的圆筒，圆筒直径d＝0. 15 m，筒上开有小孔E. 现有质量为m＝0 在紧靠管道出口D处有一水平放置且绕其水平中心轴OO′匀速旋转的圆筒，圆筒直径d＝0.15 m，筒上开有小孔E.现有质量为m＝0.1 kg且可视为质点的小球由静止开始从管口A滑下，小球滑到管道出口D处时，恰好能从小孔E竖直进入圆筒，随后，小球由小孔E处竖直向上穿出圆筒．不计空气阻力，取g＝10 m/s2.求： (1)小球到达C点时对管壁压力的大小和方向； (2)圆筒转动的周期T的可能值．

解析(1)小球从A→C，由机械能守恒定律得mgh＝ 小球在C点处，根据牛顿第二定律有FNC－mg＝ ， 解得FNC＝m ＝4.6 N 根据牛顿第三定律知小球到达C点时对管壁压力的大小为4.6 N，方向竖直向下． (2)小球从A→D，由机械能守恒定律得mgh＝mgR＋ ， 代入数值解得vD＝2 m/s 小球由D点竖直上抛至刚穿过圆筒时，由位移公式得d＝vDt－

解得t1＝0.1 s和t2＝0.3 s(舍去) 小球能向上穿出圆筒所用时间满足t＝ (2n＋1)(n＝0,1,2,3…) 联立解得T＝ s(n＝0,1,2,3…) 答案：(1)4.6 N　方向竖直向下　(2) s(n＝0,1,2,3…)

应用机械能守恒定律的基本思路 (1)选取研究对象——物体或系统． (2)根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒． (3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在过程的初、末态时的机械能． (4)选取方便的机械能守恒定律的方程形式(Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2、ΔEk＝－ΔEp 或ΔEA＝－ΔEB)进行求解．

2－1　如图5－3－10所示的木板由倾斜部分和水平部分组成，两部分之间由一 段圆弧面相连接．在木板的中间有位于竖直面内的光滑圆槽轨道，斜面 的倾角为θ.现有10个质量均为m、半径均为r的均匀刚性球，在施加于1号 球的水平外力F的作用下均静止，力F与圆槽在同一竖直面内，此时1号球 球心距它在水平槽运动时的球心高度差为h.现撤去力F使小球开始运动， 直到所有小球均运动到水平槽内．重力加速度为g.求： 图5－3－10

(1)水平外力F的大小； (2)1号球刚运动到水平槽时的速度； (3)整个运动过程中，2号球对1号球所做的功． 解析：(1)以10个小球整体为研究对象，由力的平衡条件可得：tan θ＝ ， 得F＝10mgtan θ. (2)以1号球为研究对象，根据机械能守恒定律可得：mgh＝ mv2，解得v＝ . (3)撤去水平外力F后，以10个小球整体为研究对象，利用机械能守恒定律可得： 10mg ＝ ·10m·v′2，解得v′＝ 以1号球为研究对象，由动能定理得mgh＋W＝ mv′2，得W＝9mgrsin θ. 答案：(1)10mgtan θ　(2) 　 (3)9mgrsin θ

【例3】如图5－3－11所示是放置在竖直平面内游戏滑轨的模拟装置，滑轨由四部分 粗细均匀的金属杆组成：水平直轨AB，半径分别为R1＝1.0 m和R2＝3.0 m的 圆弧轨道，长为L＝6 m的倾斜直轨CD，AB、CD与两圆弧轨道相切，其中 倾斜直轨CD部分表面粗糙，动摩擦因数为μ＝ ，其余各部分表面光滑．一 质量为m＝2 kg的滑环(套在滑轨上)，从AB的中点E处以v0＝10 m/s的初速度 水平向右运动．已知θ＝37°，g取10 m/s2.求：

图5－3－11 (1)滑环第一次通过圆弧轨道O2的最低点F处时对轨道的压力； (2)滑环通过圆弧轨道O1最高点A的次数； (3)滑环克服摩擦力做功所通过的总路程．

解析：(1)滑环从E点滑到F点的过程中，根据机械能守恒得： 由①②式得： 根据牛顿第三定律得滑环第一次通过圆弧轨道O2的最低点F处时对轨道的压力 为 N. (2)由几何关系可得倾斜直轨CD的倾角为37°，每通过一次克服摩擦力做功为： W克＝μmgLcos θ，得W克＝16 J， 由题意可知n＝ ＝6.25，取6次．

(3)由题意可知得：滑环最终只能在圆弧轨道O2的D点下方来回运动，即到达D点速度为零，由能量守恒得： ＋mgR2(1＋cos θ)＝μmgscos θ，解得：滑环克服摩擦力做功所通过的路程s＝78 m. 答案：(1) N　(2)6次　(3)78 m

(1)在应用功能关系时，应首先弄清研究对象，明确力对“谁”做功，就要对应“谁”的位移，从而引起“谁”的能量变化，在应用能量的转化和守恒时，一定要明确存在哪些能量形式，哪种是增加的？哪种是减少的？然后再列式求解． (2)高考考查这类问题，常结合平抛运动、圆周运动、电学等知识考查学生的综合分析能力．

3－1　一质量为M＝2.0 kg的小物块随足够长的水平传送带一起运动，被一水平向 左飞来的子弹击中并从物块中穿过，如图5－3－12所示．地面观察者纪录了 小物块被击中后的速度随时间变化的关系如图5－3－13所示(图中取向右运 动的方向为正方向)．已知传送带的速度保持不变，g取10 m/s2. 图5－3－12　 图5－3－13

(1)指出传送带速度v的方向及大小，说明理由． (2)计算物块与传送带间的动摩擦因数μ. (3)计算传送带对外做了多少功？子弹射穿物块后系统有多少能量转化为内能？ 解析：(1)从速度图象中可以看出，物块被击穿后，先向左做减速运动，速度为零后，又向右做加速运动，当速度等于2 m/s，以后随传送带一起做匀速运动，所以，传送带的速度方向向右传送带的速度v的大小为2.0 m/s. (2)由速度图象可得，物块在滑动摩擦力的作用下做匀变速运动的加速度为a，有 a＝ m/s2＝2.0 m/s2 由牛顿第二定律得滑动摩擦力F＝μMg 得到物块与传送带间的动摩擦因数μ＝ ＝ ＝ 0.2.

(3)由速度图象可知，传送带与物块存在摩擦力的时间只有3秒，传送带在这段时间内移动的位移为x，则x＝vt＝2.0×3 m＝6.0 m 所以，传送带所做的功W＝Ffx＝4.0×6.0 J＝24 J 在物块获得速度到与传送带一起匀速运动的过程中，物块动能减少了ΔEk 所以转化的内能EQ＝W＋ΔEk＝24＋12＝36 J. 答案：(1)向右　2 m/s　(2)0.2　(3)24 J　36 J

质量分别为m和M(其中M＝2m)的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，在杆的中点O处有一个固定转轴，如图5－3－14所示．现在把杆置于水平位置后自由释放，在Q球顺时针摆动到最低位置的过程中，下列有关能量的说法正确的是(　　) 图5－3－14

【错因分析】 A．Q球的重力势能减少、动能增加，Q球和地球组成的系统机械能守恒 B．P球的重力势能、动能都增加，P球和地球组成的系统机械能不守恒 C．P球、Q球和地球组成的系统机械能守恒 D．P球、Q球和地球组成的系统机械能不守恒 【错因分析】 Q球下摆的过程中受重力，误认杆的拉力作用，因为拉力不做功，只有重力做功，所以Q球重力势能减少，动能增加，Q球和地球组成的系统机械能守恒；同理，P球、Q球和地球组成的系统机械能守恒，选择AC.

【正确解答】 解析：Q球从水平位置下摆到最低点的过程中，受重力和杆的作用力，杆的作用力是Q球运动的阻力(重力是动力)，对Q球做负功；P球是在杆的作用下上升的，杆的作用力是动力(重力是阻力)，对P球做正功．所以，由功能关系可以判断，在Q下摆过程中，P球重力势能增加、动能增加、机械能增加，Q球重力势能减少、机械能减少；由于P和Q整体只有重力做功，所以系统机械能守恒．本题的正确答案是BC. 答案：BC

【反思总结】 Q球摆到最低位置的过程中，重力势能减少、动能增加，但由此不能确定机械能的守恒．错解中认为杆提供给Q球的力沿杆方向从而对小球不做功，这是造成错解的直接原因．细绳施力一定沿绳收缩的方向，但杆施力的方向并不一定沿着杆的方向，本题就是一个典例，杆对P、Q球的作用力，既有沿杆的切向力，也有与杆垂直的法向力，所以杆对P球、Q球都做功，P球、Q球各自的机械能都不守恒，但P和Q整体的机械能守恒(除了重力外没有其他力对P球、Q球的整体做功). 点击此处进入 作业手册