2．3 抛物线
2．3.1 抛物线及其标准方程
1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念． 2.会求简单的抛物线的方程.
1.抛物线的定义及其标准方程是重点和难点，也是考查的热点． 2.抛物线的定义的应用常与图形、方程、不等式等结合命题，而且出题形式多样化，选择、填空、解答题都可能出现.
2.如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线，这条曲线就是抛物线，那么抛物线的定义是什么？
1．抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条直线l(l不经过点F) 的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 ． 距离相等 焦点 准线
2．抛物线的标准方程
1．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是( ) A．(2,0) B．(－2,0) C．(4,0) D．(－4,0)
答案： B
2．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为( ) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 解析： 由题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，符合抛物线的定义，故选D. 答案： D
3．经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为________． 解析： 设抛物线的标准方程为： ①y2＝mx，点P(4，－2)代入得4＝4m， ∴m＝1，故抛物线方程为y2＝x； ②x2＝my，点P(4，－2)代入得16＝－2m， ∴m＝－8，故抛物线方程为x2＝－8y. 答案： y2＝x或x2＝－8y
4．已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离是5. (2)求抛物线的焦点坐标和准线方程．
(2011·陕西高考)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是( ) A．y2＝－8x B．y2＝8x C．y2＝－4x D．y2＝4x
答案： B
根据下列抛物线的方程，分别求出其焦点坐标和准线方程． (1)y2＝－4x；(2)2y2－x＝0.
[解题过程]
[题后感悟] (1)此例是抛物线标准方程的应用，一是要理解抛物线标准方程的结构形式，二是要理解p的几何意义，三是要注意焦点坐标与准线方程之间的关系．
1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)y2＝－14x；(2)5x2－2y＝0；(3)y2＝ax(a>0)．
求抛物线方程要先确定其类型，并设出标准方程，再根据已知求出系数p，若类型不能确定，应分类讨论．
2.求适合下列条件的抛物线的标准方程，并写出它们的准线方程、焦点坐标． (1)过点(－3,2)； (2)焦点在直线x－2y－4＝0上．
已知抛物线y2＝4x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，对于定点A(4,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点坐标．
3.已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值．
1．如何理解抛物线的定义？ (1)抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点，设为M；一个定点F即抛物线的焦点；一条定直线l即抛物线的准线；一个定值即点M与点F的距离和它到直线l的距离之比等于1.
(2)在抛物线的定义中，定点F不能在直线l上，否则，动点M的轨迹就不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．如到点F(1,0)与到直线l：x＋y－1＝0的距离相等的点的轨迹方程为x－y－1＝0，轨迹为过点F且与直线l垂直的一条直线． [提醒] 在解决与抛物线定义有关的问题时，一定不能忽略“点F不在直线l上”这一条件．
(2)不同点 ①焦点在x轴上时，方程的右端为±2px，左端为y2；焦点在y轴上时，方程的右端为±2py，左端为x2； ②开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同，焦点在x轴(或y轴)正半轴上，方程右端取正号；开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同，焦点在x轴(或y轴)负半轴上，方程右端取负号．
◎已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，且焦点到准线的距离为2，求该抛物线的方程． 【错解】 由题意知p＝2， ∴2p＝4 故所求抛物线的方程为y2＝±4x.
【错因】 只考虑焦点在x轴上的情形，而遗漏了焦点在y轴上的情形，本题中，抛物线的四种形式都有可能． 【正解】 由题意知p＝2，∴2p＝4. 故所求抛物线方程为y2＝±4x或x2＝±4y.
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