第二章 流体静力学 §2.2 静止流体中应力的特性 §2.3 流体运动微分方程和流体平衡微分方程 §2.1 作用于流体的外力 §2.2 静止流体中应力的特性 §2.3 流体运动微分方程和流体平衡微分方程 §2.4 重力场中流体静压分布及压强表示方法 §2.5 流体的相对平衡 §2.6 流体作用于液下平面的压力 §2.7 液体作用于曲面壁上的压力 2019/2/28 杨小林制作

§2.1 作用于流体的外力 一、质量力 质量力F：作用在各流体质点上的非接触性外力，如重力。 单位质量力f：作用在单位质量流体上的质量力。 §2.1 作用于流体的外力 一、质量力 质量力F：作用在各流体质点上的非接触性外力，如重力。 单位质量力f：作用在单位质量流体上的质量力。 二、表面力 表面力：作用于流体表面上并与作用表面积成比例的力。 2019/2/28 杨小林制作

表面力按作用方向分为： 1、法向力（压力）P： A点处法向应力： 2、切向力（摩擦力）T： 答: 例题：封闭容器盛水，在地面上静止时水所受单位质量力为多少？ 答: 2019/2/28 杨小林制作

§2.2 静止流体中应力的特性 流体静压强的两个重要特性 1、流体静压强的方向沿受压面的内法线方向。 2、静止流体中任一点处的静压强大小与其受压面的方位无关。 2019/2/28 杨小林制作

§2.3 流体运动微分方程和流体平衡微分方程 2.3.1 流体运动微分方程 在理想运动流体中任取微元直角六面体abcdefgh，设形心A（x、y、z）处的压强为p。根据泰勒级数展开，可得点m及点n处的压强，如图。则作用在abcd面上的总压力为 efgh面上的总压力为 2019/2/28 杨小林制作

设作用于微元体上的质量力在x方向的投影为 根据牛顿第二定律 化简得 同理，有 上式即为理想流体运动微分方程。 2019/2/28 杨小林制作

将上式中三个方程分别乘以dx、dy、dz再相加得： 2.3.2 流体平衡微分方程 将上式中三个方程分别乘以dx、dy、dz再相加得： 即 2019/2/28 杨小林制作

§2.4 重力场中流体静压分布及压强表示方法 重力场中，静止流体 。代入流体平衡微分方程式（2.10），得 2.4.1 重力作用下不可压缩流体中的压强 重力场中，静止流体 。代入流体平衡微分方程式（2.10），得 显然，p不随x，y坐标变化，只是z坐标的函数，对不可压缩流体 ，积分上式得 对于静止流体中任意两点1、2，有 2019/2/28 杨小林制作

式（2.11）、式（2.12）称为不可压缩流体静压强基本方程。 1、等压面：液体内部压强相等的流体质点构成的面。由式（2.11）知，静止均质液体内的等压面是水平面。 2、将式（2.12）中一点取在液面，压强为p0；另一点取在液下h处，压强为p，则 2019/2/28 杨小林制作

不可压缩流体静压强基本方程的意义： ：单位重量流体对某一基准面具有的位置势能，又称位置高度或位置水头； ：单位重量流体具有的压强势能，又称测压管高度或压强水头； ：单位重量流体具有的总势能，又称测压管水头； 2019/2/28 杨小林制作

解释流体静压强基本方程的物理意义和几何意义！ 2019/2/28 杨小林制作

2.4.2 压强的不同表达方式 绝对压强 ：以绝对真空状态的压强为零点计量的压强值。 相对压强 ：以当地大气压为零点计量的压强值。 2.4.2 压强的不同表达方式 绝对压强 ：以绝对真空状态的压强为零点计量的压强值。 相对压强 ：以当地大气压为零点计量的压强值。 真空值 ：绝对压强不足当地大气压的差值。 2019/2/28 杨小林制作

例题：如图，敞开容器内注有三种互不相混的液体， ，求侧壁处三根测压管内液面至容器底部的高度h1、h2、h3。 解：由连通器原理，列等压面方程 2019/2/28 杨小林制作

如图，盛有液体的直立圆柱筒绕其中心轴以等角速度ω旋转，由于液体的粘性，筒内液体将以 §2.5 液体的相对平衡 如图，盛有液体的直立圆柱筒绕其中心轴以等角速度ω旋转，由于液体的粘性，筒内液体将以 等角速度ω旋转，液面形成漏斗状的旋转抛物面，处于相对平衡状态。下面讨论其压强分布规律。 2019/2/28 杨小林制作

取坐标系如图，z轴垂直向上，坐标原点取在旋转抛物面的顶点上。则m处流体微团的加速度 流体微团所受的单位质量力 根据流体运动微分方程，有 2019/2/28 杨小林制作

上式即为等角速旋转的直立容器中，液体相对平衡时压强分布的一般表达式。 积分得 由r=0、z=0处，p=p0，得c=p0。故 上式即为等角速旋转的直立容器中，液体相对平衡时压强分布的一般表达式。 2019/2/28 杨小林制作

给定压强p，就有对应的等压曲面，显然该曲面是一个抛物面。 由上式可得等压面方程 给定压强p，就有对应的等压曲面，显然该曲面是一个抛物面。 自由液面是一个等压面，p=p0=pa，则自由液面方程为 2019/2/28 杨小林制作

解：建立坐标如图，在r=0，z=H处，p=0。由方程（2-16），可得c=ρgH，则容器内相对压强 例2-1 如图，高H、半径R的有盖圆筒内盛满密度为ρ的水，圆筒及水体绕容器铅垂轴心线以等角速度ω旋转。若上盖中心处有一小孔通大气，求下盖内表面的压力F。 解：建立坐标如图，在r=0，z=H处，p=0。由方程（2-16），可得c=ρgH，则容器内相对压强 在下盖板， z=0，则 故下盖内表面的压力 2019/2/28 杨小林制作

§2.6 流体作用于液下平面的压力 ydA：微元面积dA对x轴的静矩。 y2dA：微元面积dA对x轴的惯性矩。 ：平面图形对x轴的静矩。 §2.6 流体作用于液下平面的压力 2.6.1 平面图形的几何性质 ydA：微元面积dA对x轴的静矩。 y2dA：微元面积dA对x轴的惯性矩。 ：平面图形对x轴的静矩。 ：平面图形对x轴的惯性矩。 2019/2/28 杨小林制作

由流体静压强特性：总压力方向垂直指向受压面。 2、确定总压力的大小 2.6.2 平面壁上压力 1、确定总压力的方向 由流体静压强特性：总压力方向垂直指向受压面。 2、确定总压力的大小 2019/2/28 杨小林制作

水深与y坐标值关系 微元面积dA上承受总压力 平板上各点的水压力属平行力系，可直接积分，得 2019/2/28 杨小林制作

式中 为受压面对通过它的形心并与x轴平行的轴的惯性矩。故 3、确定总压力的作用点 由合力矩定理，有 式中 为受压面对通过它的形心并与x轴平行的轴的惯性矩。故 即 2019/2/28 杨小林制作

因 ，故 ，即压力中心D点一般在形心C点的下面。 在工程实际中，受压面多为以y轴为对称轴的轴对称面，yD算出后，压力中心D的位置就完全确定。 2019/2/28 杨小林制作

例题：直径为1. 25m的圆板倾斜地置于水面之下，其最高、最低点到水面距离分别为0. 6m和1 例题：直径为1.25m的圆板倾斜地置于水面之下，其最高、最低点到水面距离分别为0.6m和1.5m，求水作用在圆板上的总压力大小和压力中心位置。 解：水作用在圆板上的总压力大小 因 压力中心位置 2019/2/28 杨小林制作

§2.7 液体作用于曲面壁上压力 工程中常使用二向曲面结构。因此，下面介绍液体作用于二向曲面壁ab上的总压力，如图。 2019/2/28 §2.7 液体作用于曲面壁上压力 工程中常使用二向曲面结构。因此，下面介绍液体作用于二向曲面壁ab上的总压力，如图。 2019/2/28 杨小林制作

液体作用在微元面积dA上的总压力 由于不同微元面积dA上受到的压力dP方向不同，因此求总压力时不能直接在曲面壁上积分。常将dP分解为水平和垂直方向上的两个分量dPx、dPz，然后分别积分，得Px、Pz。 1、水平分力Px 如图，有 2019/2/28 杨小林制作

式中：Ax为曲面的铅垂投影面积。 2、铅垂分力Pz 是以曲面ab为底，曲面在自由液面（或自由液面延伸面）上的投影面积Az为顶，曲面周边各点向自由液面投影的所有垂直母线为侧面，围成一个封闭的空间体积，称为压力体，以V表示。 2019/2/28 杨小林制作

实压力体：压力体和液体在曲面同侧，垂直分力向下； 则 实压力体：压力体和液体在曲面同侧，垂直分力向下； 虚压力体：压力体和液体在曲面异侧，垂直分力向上。 流体作用在曲面上的总压力大小 总压力与x轴之间夹角 2019/2/28 杨小林制作

例题：如图为一溢流坝上的弧形闸门ed。已知：R=8m，门宽b=4m，α=30º，试求：作用在该弧形闸门上的静水总压力。 解：闸门所受的水平分力为Px，方向向右 即： 2019/2/28 杨小林制作

闸门所受的垂直分力为Pz，方向向上 闸门所受水的总压力 总压力的方向 2019/2/28 杨小林制作

例题：如图，圆柱闸门长L=4m，直径D=1m，上下游水深分别为H1=1m，H2=0.5m，试求此柱体上所受的静水总压力。 解：闸门所受的水平分力为上下游水对它的水平作用力的 代数和，方向向右 2019/2/28 杨小林制作

闸门所受的垂直分力Pz方向向上 闸门所受水的总压力 总压力与水平夹角 2019/2/28 杨小林制作