第六章 稳定性模型 6.1 捕鱼业的持续收获 6.2 军备竞赛 6.3 种群的相互竞争 6.4 种群的相互依存 6.5 种群的弱肉强食

稳定性模型 对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势 ——平衡状态是否稳定。 不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。

再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等） 6.1 捕鱼业的持续收获 再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等） 背景 再生资源应适度开发——在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。 问题及 分析 在捕捞量稳定的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。 如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。

产量模型 假设 建模 x(t) ~ 渔场鱼量 无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律 r~固有增长率, N~最大鱼量 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比 h(x)=Ex, E~捕捞强度 建模 捕捞情况下渔场鱼量满足 不需要求解x(t), 只需知道x(t)稳定的条件

一阶微分方程的平衡点及其稳定性 一阶非线性（自治）方程 F(x)=0的根x0 ~微分方程的平衡点 设x(t)是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发，都有 称x0是方程(1)的稳定平衡点 不求x(t), 判断x0稳定性的方法——直接法 (1)的近似线性方程

产量模型 平衡点 稳定性判断 E~捕捞强度 r~固有增长率 x0 稳定, 可得到稳定产量 x1 稳定, 渔场干枯

产量模型 在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使产量最大 图解法 f 与h交点P P的纵坐标 h~产量 P的横坐标 x0~平衡点 产量最大 y y=h(x)=Ex x N y=f(x) y=rx P* y=E*x hm x0*=N/2 P x0 h f 与h交点P P的纵坐标 h~产量 P的横坐标 x0~平衡点 产量最大 控制渔场鱼量为最大鱼量的一半

效益模型 在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使效益最大. 假设 鱼销售价格p 单位捕捞强度费用c 收入 T = ph(x) = pEx 支出 S = cE 单位时间利润 稳定平衡点 求E使R(E)最大 渔场鱼量

捕捞过度 封闭式捕捞追求利润R(E)最大 开放式捕捞只求利润R(E) > 0 R(E)=0时的捕捞强度(临界强度) Es=2ER 令=0 R(E)=0时的捕捞强度(临界强度) Es=2ER 临界强度下的渔场鱼量 S(E) T(E) r E ER E* Es 捕捞过度

6.2 军备竞赛 目的 假设 进一步假设 描述双方(国家或国家集团)军备竞赛过程 解释(预测)双方军备竞赛的结局 6.2 军备竞赛 目的 描述双方(国家或国家集团)军备竞赛过程 解释(预测)双方军备竞赛的结局 1）由于相互不信任，一方军备越大，另一方军备增加越快； 假设 2）由于经济实力限制，一方军备越大，对自己军备增长的制约越大； 3）由于相互敌视或领土争端，每一方都存在增加军备的潜力。 进一步假设 1）2）的作用为线性；3）的作用为常数

建模 x(t)~甲方军备数量， y(t)~乙方军备数量 ,  ~ 本方经济实力的制约； k, l ~ 对方军备数量的刺激； g, h ~ 本方军备竞赛的潜力。 军备竞赛的结局 t  时的x(t)，y(t) 微分方程的平衡点及其稳定性

线性常系数微分方程组 的平衡点及其稳定性 平衡点P0(x0,y0)=(0,0) ~代数方程 的根 若从P0某邻域的任一初值出发，都有 称P0是微分方程的稳定平衡点 记系数矩阵 特征方程 特征根

线性常系数微分方程组 的平衡点及其稳定性 特征根 平衡点 P0(0,0) 微分方程一般解形式 1,2为负数或有负实部 p > 0 且 q > 0 平衡点 P0(0,0)稳定 p < 0 或 q < 0 平衡点 P0(0,0)不稳定

模型 军备竞赛 平衡点 稳定性判断 系数矩阵 平衡点(x0, y0)稳定的条件

模型的定性解释 模型 平衡点 双方军备稳定(时间充分长后趋向有限值)的条件 ,  ~ 本方经济实力的制约； k, l ~ 对方军备数量的刺激； g, h ~ 本方军备竞赛的潜力。 双方经济制约大于双方军备刺激时，军备竞赛 才会稳定，否则军备将无限扩张。 2) 若g=h=0, 则 x0=y0=0, 在  > kl 下 x(t), y(t)0, 即友好邻国通过裁军可达到永久和平。

模型 模型的定性解释 ,  ~ 本方经济实力的制约； k, l ~ 对方军备数量的刺激； g, h ~ 本方军备竞赛的潜力。 3）若 g,h 不为零，即便双方一时和解，使某时x(t), y(t)很小，但因 ，也会重整军备。 4）即使某时一方(由于战败或协议)军备大减, 如 x(t)=0， 也会因 使该方重整军备， 即存在互不信任( ) 或固有争端( ) 的单方面裁军不会持久。

6.3 种群的相互竞争 一个自然环境中有两个种群生存，它们之间的关系：相互竞争；相互依存；弱肉强食。 6.3 种群的相互竞争 一个自然环境中有两个种群生存，它们之间的关系：相互竞争；相互依存；弱肉强食。 当两个种群为争夺同一食物来源和生存空间相互竞争时，常见的结局是，竞争力弱的灭绝，竞争力强的达到环境容许的最大容量。 建立数学模型描述两个种群相互竞争的过程，分析产生这种结局的条件。

模型假设 模型 有甲乙两个种群，它们独自生存时数量变化均服从Logistic规律; 两种群在一起生存时，乙对甲增长的阻滞作用与乙的数量成正比; 甲对乙有同样的作用。 模型 对于消耗甲的资源而言，乙(相对于N2)是甲(相对于N1) 的 1 倍。 对甲增长的阻滞作用，乙大于甲 乙的竞争力强

模型 模型分析 (平衡点及其稳定性) (二阶)非线性(自治)方程 的平衡点及其稳定性 平衡点P0(x10, x20) ~ 代数方程 的根

判断P0 (x10,x20) 稳定性的方法——直接法 (1)的近似线性方程 平衡点 P0稳定(对2,1) p > 0 且 q > 0 平衡点 P0不稳定(对2,1) p < 0 或 q < 0

模型 仅当1, 2 < 1或1, 2 > 1时，P3才有意义

平衡点稳定性分析 平衡点 Pi 稳定条件： p > 0 且 q > 0

种群竞争模型的平衡点及稳定性 P1, P2 是一个种群存活而另一灭绝的平衡点 P3 是两种群共存的平衡点 P1稳定的条件 1<1 ? 平 衡点 稳定条件 2>1, 1<1 1>1, 2<1 1<1, 2<1 不稳定 P1, P2 是一个种群存活而另一灭绝的平衡点 P3 是两种群共存的平衡点 P1稳定的条件 1<1 ?

平衡点稳定性的相轨线分析 从任意点出发(t=0)的相轨线都趋向P1(N1,0) (t) P1(N1,0)是稳定平衡点 (1) 2>1, 1<1 S1 S2 S3 t   x1, x2  t   x1 , x2 t   x1, x2 从任意点出发(t=0)的相轨线都趋向P1(N1,0) (t) P1(N1,0)是稳定平衡点

有相轨线趋向P1 P1, P2都不(局部)稳定 有相轨线趋向P2 P1稳定的条件：直接法2>1 加上与(4)相区别的 1<1 (2) 1>1, 2<1 (3) 1<1, 2<1 P2 稳定 P3 稳定 有相轨线趋向P1 P1, P2都不(局部)稳定 (4) 1>1, 2>1 P2 有相轨线趋向P2 P1稳定的条件：直接法2>1 P1 加上与(4)相区别的 1<1 P1全局稳定

结果解释 P1稳定的条件：1<1, 2>1 对甲增长的阻滞作用，乙小于甲乙的竞争力弱 对于消耗甲的资源而言，乙(相对于N2)是甲(相对于N1)的1 倍。 对甲增长的阻滞作用，乙小于甲乙的竞争力弱 甲达到最大容量，乙灭绝 2>1 甲的竞争力强 P2稳定的条件：1>1, 2<1 P3稳定的条件：1<1, 2<1 通常1  1/2，P3稳定条件不满足

6.4 种群的相互依存 甲乙两种群的相互依存有三种形式 1) 甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。 6.4 种群的相互依存 甲乙两种群的相互依存有三种形式 1) 甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。 2) 甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存 时相互提供食物、促进增长。 3) 甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。

模型假设 模型 甲可以独自生存，数量变化服从Logistic规律; 甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长。 乙为甲提供食物是甲消耗的1 倍 模型 甲为乙提供食物是乙消耗的2 倍

种群依存模型的平衡点及稳定性 平衡点 稳定条件 不稳定 P2是甲乙相互依存而共生的平衡点

平衡点P2稳定性的相轨线 1<1, 2>1, 12<1 P2稳定

结果解释 甲可以独自生存 乙不能独立生存 P2稳定条件：1<1, 2>1, 12<1 2>1 ~ 甲必须为乙提供足够的食物——甲为乙提供的食物是乙消耗的 2 倍 12<1 ~ 2>1 前提下P2存在的必要条件 1<1 ~ 2>1, 12<1 的需要，且1必须足够小，才能在2>1条件下使12<1 成立

6.5 种群的弱肉强食(食饵-捕食者模型) 种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵-捕食者系统，如食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫。 模型的历史背景——一次世界大战期间地中海渔业的捕捞量下降(食用鱼和鲨鱼同时捕捞)，但是其中鲨鱼的比例却增加，为什么？

食饵-捕食者模型(Volterra) 食饵（甲）数量 x(t), 捕食者（乙）数量 y(t) 甲独立生存的增长率 r 乙独立生存的死亡率 d 甲使乙的死亡率减小，减小量与 x成正比 a ~捕食者掠取食饵能力 b ~食饵供养捕食者能力 方程(1),(2) 无解析解

Volterra模型的平衡点及其稳定性 稳定性分析 平衡点 p =0, q > 0 P: 临界状态 q < 0 P´ 不稳定

用数学软件MATLAB求微分方程数值解 x~y 平面上的相轨线 t x(t) y(t) 20.0000 4.0000 0.1000 20.0000 4.0000 0.1000 21.2406 3.9651 0.2000 22.5649 3.9405 0.3000 23.9763 3.9269 … 5.1000 9.6162 16.7235 5.2000 9.0173 16.2064 9.5000 18.4750 4.0447 9.6000 19.6136 3.9968 9.7000 20.8311 3.9587 x~y 平面上的相轨线

食饵-捕食者模型(Volterra) 计算结果（数值，图形） x(t), y(t)是周期函数，相图(x,y)是封闭曲线 观察，猜测 x(t), y(t)是周期函数，相图(x,y)是封闭曲线 x(t), y(t)的周期约为9.6 xmax 65.5, xmin  6, ymax  20.5, ymin  3.9 用数值积分可算出 x(t), y(t)一周期的平均值： x(t)的平均值约为25, y(t)的平均值约为10。

用相轨线分析 点稳定性 消去dt 取指数 c 由初始条件确定

用相轨线分析 点稳定性 f(x) x x0 fm 相轨线 在相平面上讨论相轨线的图形 g(y) gm y0 y 时无相轨线 以下设

存在x1<x0<x2, 使f(x1)=f(x2)=p Q1(x1,y0),Q2(x2,y0) 相轨线 f(x) x x0 fm y y0 x x0 P x Q3 Q4 g(y) gm y0 y y2 y1 x Q3 Q4 x1 x2 Q1 Q2 x1 x2 p q y1 y2 相轨线退化为P点 P~中心 存在x1<x0<x2, 使f(x1)=f(x2)=p Q1(x1,y0),Q2(x2,y0) 存在y1<y0<y2,使g(y1)=g(y2)=q Q3(x,y1), Q4(x,y2) 相轨线是封闭曲线族

用相轨线分析 点稳定性 x(t), y(t)是周期函数(周期记 T) 相轨线是封闭曲线 求x(t), y(t) 在一周期的平均值 轨线中心

模型解释 T3 P T2 初值 T4 • T1 相轨线的方向 T1 T2 T3 T4 x(t) 的“相位”领先 y(t)

模型解释 捕食者 数量 r ~食饵增长率 a ~捕食者掠取食饵能力 捕食者数量与r成正比, 与a成反比 食饵数量 d ~捕食者死亡率 P r/a d/b 捕食者 数量 r ~食饵增长率 a ~捕食者掠取食饵能力 捕食者数量与r成正比, 与a成反比 食饵数量 d ~捕食者死亡率 b ~食饵供养捕食者能力 食饵数量与d成正比, 与b成反比

模型解释 • • • 一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降，但是其中鲨鱼的比例却在增加，为什么？ 自然环境 捕捞 rr-1, dd+1 x y 捕捞 rr-1, dd+1 • • 战时捕捞 rr-2, dd+2 , 2 < 1 食饵(鱼)减少， 捕食者(鲨鱼)增加 还表明：对害虫(食饵)—益虫(捕食者)系统，使用灭两种虫的杀虫剂, 会使害虫增加，益虫减少。

食饵-捕食者模型(Volterra)的缺点与改进 多数食饵—捕食者系统观察不到周期震荡,而是趋向某个平衡状态,即存在稳定平衡点 Volterra模型 改写 加Logistic项 有稳定平衡点

食饵-捕食者模型(Volterra)的缺点与改进 相轨线是封闭曲线，结构不稳定——一旦离开某一条闭轨线，就进入另一条闭轨线，不恢复原状。 自然界存在的周期性平衡生态系统是结构稳定的，即偏离周期轨道后，内部制约使系统恢复原状。 r1=1, N1=20, 1=0.1, w=0.2, r2=0.5, 2=0.18 相轨线趋向极限环 结构稳定

两种群模型的几种形式 相互竞争 相互依存 弱肉强食