第五节 控制系统的稳定性分析 一、系统稳定的充分与必要条件 二、劳斯稳定判据 三、结构不稳定系统的改进措施 第三章 时域分析法 第五节 控制系统的稳定性分析 分析系统的稳定性并提出改善系统稳定的措施是自动控制理论的基本任务之一。 一、系统稳定的充分与必要条件 二、劳斯稳定判据 三、结构不稳定系统的改进措施

一、系统稳定的充分与必要条件 n≥m 稳定性： A0 = s s-s1 + A1 An s-sn … 第五节 控制系统的稳定性分析 一、系统稳定的充分与必要条件 稳定性： A0 = s s-s1 + A1 An s-sn … 系统受外作用力后,其动态过程的振荡倾向和系统恢复平衡的能力。 r(t) t c(t) 稳定 系统单位阶跃响应： c(t)=A0+A1es1t+…+Anesnt 不稳定 稳定的系统其瞬态 分量应均为零。 传递函数的一般表达式： 即： lim esit→0 t → ∞ Ф(s)= = b0sm+b1sm-1+···+bm-1s+bm a0sn +a1sn-1+···+an-1s+an R(s) C(s) n≥m 系统稳定的充分与必要条件： 系统输出拉 氏变换： 系统所有特征根的实部小于零,即特征方程的根位于S左半平面。 · C(s)= 1 s K0(s –z1)(s –z2)···(s –zm) (s –s1)(s –s2)···(s –sn)

二、劳斯稳定判据 根据稳定的充分与必要条件,求得特征方程的根,就可判定系统的稳定性.但对于高阶系统求解方程的根比较困难。 第五节 控制系统的稳定性分析 二、劳斯稳定判据 根据稳定的充分与必要条件,求得特征方程的根,就可判定系统的稳定性.但对于高阶系统求解方程的根比较困难。 劳斯稳定判据是根据闭环传递函数特征方程式的各项系数,按一定的规则排列成劳斯表，根据表中第一列系数正负符号的变化情况来判别系统的稳定性。 下面具体介绍劳斯稳定判据的应用。

第一列元素符号改变的次数等于不稳定根的个数。 b31a5 -b33a1 s0 bn+1 b42= b31 第五节 控制系统的稳定性分析 设系统的特征方程为 a0sn +a1sn-1 + …+an-1s+an=0 根据特征方程的各项系数排列成劳斯表： a1a2 -a0a3 系统稳定的条件： sn a0 a2 a4 … b31= a1 (1) 特征方程式各项 系数都大于零。 sn-1 a1 a3 a5 … a1a4 -a0a5 b32= a1 b31 b32 b33 … sn-2 (2) 劳斯表中第一列 元 素均为正值。 b31a3 -b32a1 b41 … sn-3 b42 b43 b41= b31 … 第一列元素符号改变的次数等于不稳定根的个数。 b31a5 -b33a1 s0 bn+1 b42= b31

例 已知系统的特征方程，试判断该系统 的稳定性。 s4+2s3+3s2+4s+5=0 解： 劳斯表如下： 2*3 -1*4 b31= 2 第五节 控制系统的稳定性分析 例 已知系统的特征方程，试判断该系统 的稳定性。 s4+2s3+3s2+4s+5=0 解： 劳斯表如下： 2*3 -1*4 b31= =1 2 s4 1 3 5 2*5 -1*0 b32= = 5 s3 2 4 2 b31 b32 1*4 -2*5 s2 1 5 b41= =-6 1 s1 b41 -6 -6*5 -1*0 b51= = 5 -6 s0 b51 5 有两个正实部根，系统不稳定。

例 系统如图所示，试确定系统稳定放大倍数K的取值范围。 第五节 控制系统的稳定性分析 例 系统如图所示，试确定系统稳定放大倍数K的取值范围。 K s(0.1s+1)(0.25s+1) - R(s) C(s) 解： 闭环传递函数 Ф(s)= s(0.1s+1)(0.25s+1)+K K 特征方程: s3+14s2+40s+40K=0 劳斯表: 14*40 -1*40K s3 1 40 b31= >0 14 s2 14 40K 系统稳定的条件: s1 b31 560-40K>0 b41 14>K>0 s0 40K 40K>0

如果劳斯表中某行的第一个元素为零，表示系统中有纯虚根，系统不稳定。 第五节 控制系统的稳定性分析 如果劳斯表中某行的第一个元素为零，表示系统中有纯虚根，系统不稳定。 该行中其余各元素不等于零或没有其他元素，将使得劳斯表无法排列。 此时，可用一个接近于零的很小的正数ε来代替零，完成劳斯表的排列。 下面举例说明:

ε 例 已知系统的特征方程，试判断系 统的稳定性。 s3+2s2+s+2=0 解： 劳斯表为: 2*1 -2*1 ( ) b31= =0 2 第五节 控制系统的稳定性分析 例 已知系统的特征方程，试判断系 统的稳定性。 s3+2s2+s+2=0 解： 劳斯表为: 2*1 -2*1 ( ε ) b31= =0 2 s3 1 1 2* ε -2*0 b41= =2 ε s2 2 2 通过因式分解验证: s1 b31 ε s3+2s2+s+2=0 s0 b41 2 (s+2)(s2+1)=0 系统有一对纯虚根 不稳定 s1=-2 s2.3=±j

ε 例 已知系统的特征方程,试用劳斯判据确定 方程的根在s平面上的分布。 s3-3s+2=0 解： 方程中的系数有负值，系统不稳定。 ε 第五节 控制系统的稳定性分析 例 已知系统的特征方程,试用劳斯判据确定 方程的根在s平面上的分布。 s3-3s+2=0 解： 方程中的系数有负值，系统不稳定。 ε -2 -3 劳斯表为: = - ∞ b31= s3 1 -3 ε →0 b31 → - ∞ ε s2 0 2 第一列元素的符号变化了 两次,有一对不稳定根。 s1 b31 - ∞ b41 s0 2 s3-3s+2 =(s-1)2(s+2)=0 通过因式分解验证: s1.2=1 s3=-2

如果劳斯表中某一行的元素全为零，表示系统中含有不稳定的实根或复数根。系统不稳定。 第五节 控制系统的稳定性分析 如果劳斯表中某一行的元素全为零，表示系统中含有不稳定的实根或复数根。系统不稳定。 此时，应以上一行的元素为系数，构成一辅助多项式，该多项式对s求导后，所得多项式的系数即可用来取代全零行。同时由辅助方程可以求得这些根。 下面举例说明:

劳斯表中某行同乘以某正数，不影响系统稳定性的判断。 s1 8/3 s0 16 第五节 控制系统的稳定性分析 例 已知控制系统特征方程,判断系统稳定性。 s6 +2s5 +8s4+12s3+20s2+16s+16=0 解： 劳斯表为: 由为零上一行的元素 组成辅助多项式： s6 1 8 20 16 s5 2 12 16 P(s)=2s4+12s2+16 s4 2 dP(s) ds 12 16 =8s3+24s s3 8 24 代入 系统有虚根,不稳定。 s2 6 16 劳斯表中某行同乘以某正数，不影响系统稳定性的判断。 s1 8/3 s0 16

三、结构性不稳定系统的改进措施 调整系统的参数无法使其稳定，则称这类系统为结构不稳定系统。 如： 闭环传递函数： Ф(s)= 第五节 控制系统的稳定性分析 三、结构性不稳定系统的改进措施 调整系统的参数无法使其稳定，则称这类系统为结构不稳定系统。 K s2(Ts+1) - R(s) C(s) 如： 闭环传递函数： Ф(s)= Ts3+s2+K K 特征方程是式： Ts3+s2+K=0 由于特征方程中少了s项，无论K取何值系统总是不稳定。 解决的方法有以下两种：

1．改变环节的积分性质 1+ s 劳斯表: 1 s+1 = s3 T 1 G(s)= s(Ts+1)(s+1) K s2 1+T K 第五节 控制系统的稳定性分析 1．改变环节的积分性质 积分环节外加单位负反馈,系统结构图为: 1 1+ s K s(Ts+1) - R(s) 1 s C(s) 劳斯表: 1 s+1 = s3 T 1 G(s)= s(Ts+1)(s+1) K s2 1+T K 系统的闭环传递函数为 1+T-TK 1+T s1 C(s) R(s) = s(Ts+1)(s+1)+K K s0 K 系统稳定的条件 特征方程式: 1+T-TK>0 >K>0 1+T T Ts3+(1+T)s2+s+K=0 K>0

τ τ τ τ 2．加入比例微分环节 系统中加入比例微分环节结构图 G(s)= ) ( K τ s+1 s2(Ts+1) 劳斯表: 第五节 控制系统的稳定性分析 2．加入比例微分环节 系统中加入比例微分环节结构图 G(s)= ) ( K τ s+1 s2(Ts+1) K s2(Ts+1) R(s) τ s+1 - C(s) 劳斯表: 系统的闭环传递函数: T K τ Ф(s)= Ts3+s2+K s+1) K( s+K τ s3 s2 1 K 系统稳定的条件: K( -T) τ s1 -T>0 τ >T τ 即 s0 K K>0 K>0

第五节 控制系统的稳定性分析 3-11 (1) (3) 作业习题： 3-13 3-14 返回