Monte Carlo模拟 第二章 均匀分布随机数的产生 2.1 随机数的定义和特性 2.2 随机数的产生 2.3 线形乘同余方法 2019/4/14 均匀分布随机数的产生

2.1 随机数的定义和特性 什么是随机数？ 单个的数字不是随机数 是指一个数列，其中的每一个体称为随机数，其值与数列中的其它数无关； 在一个均匀分布的随机数中，每一个体出现的概率是均等的； 例如：在[0,1]区间上均匀分布的随机数序列中，0.00001与0.5出现的机会均等 2019/4/14 均匀分布随机数的产生

2.1 随机数的定义和特性 随机数应具有的基本特性 考虑一个对高能粒子反应过程的模拟：需用随机数确定： 出射粒子的属性：能量、方向、… 粒子与介质的相互作用 对这一过程的模拟应满足以下要求（相空间产生过程）： 出射粒子的属性应是互不相关的，即每一粒子的属性的确定独立于其它的粒子的属性的确定； 粒子的属性的分布应满足物理所要求的理论分布； 2019/4/14 均匀分布随机数的产生

2.1 随机数的定义和特性 所模拟的物理过程要求随机数应具有下列特性： 随机数序列应是独立的、互不相关的(uncorrelated)： 即序列中的任一子序列应与其它的子序列无关； 长的周期(long period)： 实际应用中，随机数都是用数学方法计算出来的，这些算法具有周期性，即当序列达到一定长度后会重复； 2019/4/14 均匀分布随机数的产生

2.1 随机数的定义和特性 均匀分布的随机数应满足均匀性(Uniformity)： 随机数序列应是均匀的、无偏的，即：如果两个子区间的“面积”相等，则落于这两个子区间内的随机数的个数应相等。 例如：对[0,1)区间均匀分布的随机数，如果产生了足够多的随机数，而有一半的随机数落于区间[0,0.1]不满足均匀性 如果均匀性不满足，则会出现序列中的多组随机数相关的情况均匀性与互不相关的特性是有联系的 2019/4/14 均匀分布随机数的产生

2.1 随机数的定义和特性 有效性（Efficiency): 模拟结果可靠 模拟产生的样本容量大 所需的随机数的数量大 随机数的产生必须快速、有效，最好能够进行并行计算。 2019/4/14 均匀分布随机数的产生

Monte Carlo模拟 第二章 均匀分布随机数的产生 2.1 随机数的定义和特性 2.2 随机数的产生 2.3 线形乘同余方法 2019/4/14 均匀分布随机数的产生

2.2 随机数的产生 [0,1]区间上均匀分布的随机数是Monte Carlo模拟的基础: 服从任意分布的随机数序列可以用[0,1]区间均匀分布的随机数序列作适当的变换或舍选后求得 [0,1]均匀分布的随机数的产生方法： 利用一些具有内在的随机性的过程： 放射性衰变过程（radioactive decay)； 热噪声(thermal noise); 宇宙线的到达时间（cosmic ray arrival); … 缺点：模拟的结果不可再现，使得模拟程序的找错困难 利用事先制订好的随机数表: 缺点：表的容量有限，不适合需要大量随机数的应用 2019/4/14 均匀分布随机数的产生

2.2 随机数的产生 利用数学递推公式在计算机中产生随机数 其中：T为某个函数，给定初值r1,r2,…,rk,可按上式确定rn+1, n=1,2,… 随机数序列. 算法：产生[0，M]区间上的整数In，然后利用公式rn=In/M返回[0,1]区间上的实数 优点： 占用计算机的内存少； 产生速度快； 可以重复前次的模拟结果，便于程序的找错； 2019/4/14 均匀分布随机数的产生

2.2 随机数的产生 缺点： 不满足随机数之间相互独立的要求：公式和初值确定后，序列就唯一地确定了； 不满足均匀性：计算机能表示的[0,1]区间内的数是有限的（由字长确定） 递推到一定次数后，出现周期性的重复现象 伪随机数（Pseudo-Random Number) 2019/4/14 均匀分布随机数的产生

Monte Carlo模拟 第二章 均匀分布随机数的产生 2.1 随机数的定义和特性 2.2 随机数的产生 2.3 线形乘同余方法 2019/4/14 均匀分布随机数的产生

2.3 线性乘同余方法 1948年由Lehmer提出的一种产生伪随机数的方法，是最常用的方法。 1、递推公式： 其中： I0： 初始值（种子seed) a： 乘法器 （multiplier) c： 增值（additive constant) m： 模数（modulus) mod：取模运算：(aIn+c)除以m后的余数 a, c和m皆为整数 产生整型的随机数序列,随机性来源于取模运算 如果c=0  乘同余法：速度更快，也可产生长的随机数序列 2019/4/14 均匀分布随机数的产生

2.3 线性乘同余方法 2、实型随机数序列： 3、特点： 1）最大容量为m： 2）独立性和均匀性取决于参数a和c的选择 例：a=c=I0=7, m=10  7,6,9,0,7,6,9,0,… 2019/4/14 均匀分布随机数的产生

2.3 线性乘同余方法 4、模数m的选择： m 应尽可能地大，因为序列的周期不可能大于m; 通常将m取为计算机所能表示的最大的整型量，在32位计算机上，m=231=2x109 5、乘数因子a的选择： 1961年，M. Greenberger证明：用线性乘同余方法产生的随机数序列具有周期m的条件是： c和m为互质数； a-1是质数p的倍数，其中p是a-1和m的共约数； 如果m是4的倍数，a-1也是4的倍数。 例：a=5,c=1,m=16,I0=1 周期=m=16 1,6,15,12,13,2,11,8,9,14,7,4,5,10,3,0,1,6,15, 12,13,2,.. 2019/4/14 均匀分布随机数的产生

2.3 线性乘同余方法 RANDU随机数产生器： 1961年由IBM提出 unsigned long seed = 9; float randu() { const unsigned long a = 65539; const unsigned long m = pow(2,31); unsigned long i1; i1 = (a * seed) % m; seed = i1; return (float) i1/float(m); } void SetSeed(unsigned long i) { seed = i; } 2019/4/14 均匀分布随机数的产生

2.3 线性乘同余方法 存在严重的问题： Marsaglia效用，存在于所有乘同余方法的产生器 void test() { c1 = new TCanvas("c1",“Test of random number generator",200,10,700,900); pad1 = new TPad("pad1",“one ",0.03,0.62,0.50,0.92,21); pad2 = new TPad("pad2",“one vs one",0.51,0.62,0.98,0.92,21); pad3 = new TPad("pad3",“one vs one vs one",0.03,0.02,0.97,0.57,21); pad1->Draw(); pad2->Draw(); pad3->Draw(); TH1F * h1 = new TH1F("h1","h1",100,0.0,1.0); TH2F * h2 = new TH2F("h2","h2",100,0.0,1.0,100,0.0,1.0); TH3F * h3 = new TH3F("h3","h3",100,0.0,1.0,100,0.0,1.0,100,0.0,1.0); 2019/4/14 均匀分布随机数的产生

2.3 线性乘同余方法 float x = randu(); float y = randu(); float z = randu(); for(int i=0; i < 10000; i++) { float x = randu(); float y = randu(); float z = randu(); h1->Fill(x); h2->Fill(x,y); h3->Fill(x,y,z); } pad1->cd(); h1->Draw(); pad2->cd(); h2->Draw(); pad3->cd(); h3->Draw(); 2019/4/14 均匀分布随机数的产生

2.3 线性乘同余方法 2019/4/14 均匀分布随机数的产生

2.3 线性乘同余方法 如果取a=69069,将极大地改善结果 2019/4/14 均匀分布随机数的产生

2.3 线性乘同余方法 1968年，Marsaglia对这一问题进行了研究，认为： 任何的乘同余产生器都存在这一问题：在三维和三维以上的空间中，所产生的随机数总是集聚在一些超平面上 随机数序列是关联的 对于32位的计算机，在d-维空间中超平面的最大数目为 d=3 2953 d=4 566 d=6 120 d=10 41 改进措施：将递推公式修改为 特点：1）需要两个初始值（种子）； 2）周期可大于m; 2019/4/14 均匀分布随机数的产生

2.3 线性乘同余方法 void SetSeed(unsigned long i0, unsigned long i1) { #include <math.h> unsigned long seed0 = 9; unsigned long seed1 = 11; float randac() { const unsigned long a = 65539; const unsigned long b = 65539; unsigned long i2; unsigned long m = pow(2,31); i2 = (a * seed1 + b * seed0 ) % m; seed0 = seed1; seed1 = i2; return (float) i1/float(m); } void SetSeed(unsigned long i0, unsigned long i1) { seed0 = i0; seed1 = i1; } 2019/4/14 均匀分布随机数的产生

2.3 线性乘同余方法 a=b=65539, seed0=9, seed1=11 2019/4/14 均匀分布随机数的产生

2.3 线性乘同余方法 如何获取[0,1]区间均匀分布的随机数产生器： 每一个Monte Carlo模拟程序软件包都有自带的产生器： Jetset(LUND Monte Carlo模拟系列）：利用Marsaglia等所提出的算法，周期可达1043 函数用法：r=rlu(idummy) Geant3(探测器模拟程序，FORTRAN): 周期=1018 Call grndm(vec*,len) …. 利用CERN程序库： Y=rndm(x): 周期：5x108 Y=rn32(dummy):乘同余法，a=69069,i0=65539 Call ranmar(vec,len): 周期：1043 Call ranecu(vec,len,isq) 2019/4/14 均匀分布随机数的产生

2.3 线性乘同余方法 利用CLHEP中的随机数产生器软件包： CLHEP(Class Library for High Energy Physics)中的随机数产生器 http://hepg.sdu.edu.cn/~zhangxy/clhep/html/index.html 2019/4/14 均匀分布随机数的产生

2.3 线性乘同余方法 FORTRAN中使用随机数产生器应注意的问题： 在FORTRAN中，如果随机数产生器是带dummy变量的函数： 其中变量idum在函数中不使用，应注意以下问题： X=RAND(idum) FORTRAN编译器在对程序进行优化时： X=RAND(IDUM)+RAND(IDUM)  X=2.0*RAND(IDUM) DO I=1,10 X=RAND(IDUM) … END DO ….  解决办法： DO I=1,10 IDUM = IDUM +1 X=RAND(IDUM) … END DO 2019/4/14 均匀分布随机数的产生