空间向量的数量积运算
2.共线向量定理:对空间任意两个向量 的充要条件是存在实数λ使 一、共线向量: 1.共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作 零向量与任意向量共线. 2.共线向量定理:对空间任意两个向量 的充要条件是存在实数λ使
推论:如果 为经过已知点A且平行已知非零向量 的直线,那么对任一点O,点P在直线 上的充要条件是存在实数t,满足等式OP=OA+t 其中向量a叫做直线的方向向量. B P a 若P为A,B中点, 则
2.共面向量定理:如果两个向量 不共线,则向量 与向量 共面的充要 条件是存在实数对 使
推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y使 或对空间任一点O,有 注意： 空间四点P、M、A、B共面 实数对
复习： 平面向量数量积的相关知识 平面向量的夹角： 叫做向量 a与 b的夹角。 已知两个非零向量 a 和 b， 在平面上取一点O， 作OA= a,OB= b,则 A O B A B
已知两个非零向量a, b，则|a| |b|cos 平面向量的数量积 平面向量的数量积的定义： 已知两个非零向量a, b，则|a| |b|cos 叫做向量a, b的数量积，记作 即 并规定 0
教学过程 一、几个概念 1） 两个向量的夹角的定义 O A B
2）两个向量的数量积 注意： ①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。
注意： 是轴l上的正射影,A1B1是一个可正可负的实数，它的符号代表向量 与l的方向的相对关系，大小代表在l上射影的长度。 3）射影 B B1 A1 A 注意： 是轴l上的正射影,A1B1是一个可正可负的实数，它的符号代表向量 与l的方向的相对关系，大小代表在l上射影的长度。
4)空间向量的数量积性质 对于非零向量 ，有： 注意： ①性质2）是证明两向量垂直的依据； ②性质3）是求向量的长度（模）的依据；
5)空间向量的数量积满足的运算律 数量积不满足结合律 注意：
二、 课堂练习
三、典型例题 例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且 l⊥m，l⊥n，求证：l⊥ 分析：由定义可知，只需证l与平面内任意直线g垂直。 要证l与g垂直，只需证l·g＝0 m n l 而m，n不平行，由共面向量定理知，存在唯一的有序实数对(x,y)使得 g=xm+yn l m g g n 而l·m＝0 ，l·n＝0 要证l·g＝0,只需l· g= xl·m+yl·n=0 故 l·g＝0
三、典型例题 例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且l⊥m，l⊥n，求证：l⊥ 证明：在内作不与m、n重合的任一条直线g,在l、m、n、g上取非零向量l、m、n、g，因m与n相交，得向量m、n不平行，由共面向量定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使 n m g l g=xm+yn, l·g=xl·m+yl·n ∵ l·m=0,l·n=0 ∴ l·g=0 ∴ l⊥g 这就证明了直线l垂直于平面内的任一条直线，所以l⊥
例2：已知：在空间四边形OABC中,OA⊥BC， OB⊥AC，求证：OC⊥AB
巩固练习：利用向量知识证明三垂线定理 a A O P
例3 如图，已知线段 在平面 内，线段 ，线段 ，线段 ， ，如 果 ，求 、 之间的距离。 解：由 ，可知 . 由 知 .
例4 已知在平行六面体 中， , , 求对角线 的长。 解：
1.已知线段 、 在平面 内， ，线段 ，如果 ，求 、 之间的距离. 解：∵
2.已知空间四边形 的每条边和对角线的长都等于 ，点 分别是边 的中点。 求证： 。 证明：因为 所以 同理，
3.已知空间四边形 ，求证： 。 证明：∵
4.如图，已知正方体 ， 和 相交于 点 ，连结 ，求证： 。
已知空间四边形 的每条边和对角线的长都等于 , 点 分别是 的中点，求下列向量的 数量积： 作业讲评
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