10 第十章 期权

第十章 期权 10.1 基本概念 10.2 期权定价模型及期权价格特征 10.3 期权在财务管理中的应用

10.1 基本概念 期权的概念和种类 期权（options）是一种金融合约，这个合约本身是可交易的，并且它赋予合约的买方（holder）一个权利，即在指定的时刻（或规定时间内）按合约规定的价格或者购买（或出售）某种资产，或者不购买（或不出售）某种资产。 期权的特征 它不是“现货”（的资产）交易，而是“期货”的交易 卖方（seller）给买方在某种金融资产交易上的一个选择权，即买方到期可以履行合约进行交易，也可以不履行合约即不进行交易

10.1 基本概念 术语 基础资产或标的资产（Underlying Asset）： 期权合约内的某种金融资产 到期日，或执行日、履约日（Expiration date）： 合约所规定的时刻 约定价格，或执行价格、履约价格（Exercise Price）： 合约所规定的价格，就是到期双方进行基础资产的交易价格 买入期权，或看涨期权（call option）： 合约规定买方到期有买入基础资产的权利 卖出期权、或看跌期权（put option）： 合约规定买方有出售基础资产的权利 欧式期权（European Option）： 一份期权合约只有在到期日才履行（进行基础资产交易） 美式期权（American Option）： 可以在到期日前任何时刻履行

期权合约的买方与卖方和买权与卖权中基础资产的 10.1 基本概念 期权合约的买方与卖方和买权与卖权中基础资产的 买卖方向并不完全一致的   期权合约的买方（holder） 期权合约的卖方（seller） 买入期权 （call option） ·在到期日可按合约规定购买（或不购买）基础资产 ·支付权利金 ·按买方意愿按规定出售（或不出售）基础资产 ·收取权利金 卖出期权 （put option） ·在到期日可按合约规定出售（或不出售）基础资产 ·按买方意愿按规定购买（或不购买）基础资产

10.1 基本概念 期权业务 例 一个欧式的买入期权合约 ，三个月到期 2000年9月1日 基础资产为东风汽车股份有限公司流通股， 2000年9月1日 基础资产为东风汽车股份有限公司流通股， 执行价格7.80元/股，当日股价为7.60元/股，交易为1000股 买方在订约时支付的权利金为C元 2000年12月1日 东风汽车的股票价格为8.10元/股 买方履行合约， 净收益为： （8.10元-7.80元）×1000-C=300-C 卖方的净亏损为：C-300 2000年12月1日 东风汽车的股票价格为7.30元/股 买方有权不履约净亏损是：-C 卖方净收益，即权利金的收入：C

10.1 基本概念 对买入期权（call option）而言，买方与卖方收益与亏损完全取基 础资产（东风汽车股票）的市场价格与约定价格之差 S K -C 买入期权买方的收益与 基础资产市场价格关系 K C S 买入期权卖方的收益与基础 资产市场价格关系

10.1 基本概念 例 一个欧式的卖出期权合约 ，三个月到期 2000年9月1日 基础资产为东风汽车股份有限公司流通股， 2000年9月1日 基础资产为东风汽车股份有限公司流通股， 执行价格7.40元/股，交易为1000股 卖出期权的买方在订约时支付的权利金为P元 2000年12月1日 东风汽车的股票价格为8.10元/股 卖出期权的买方不履行合约， 净亏损为：-P 卖出期权的卖方的净收益为：P 2000年12月1日 东风汽车的股票价格为7.30元/股 卖出期权的买方履行合约,净收益： （7.40元-7.30元）×1000-P=100-P 卖出期权的卖方净损失：P-100

10.1 基本概念 卖出期权（put option）买方与卖方的收益与亏损也取决于市场价 格与约定价格的差，但这时价格跌对买方有利 K S 卖出期权的卖方的收益与基础市场价格关系 -P K S 卖出期权的买方的收益与基础市场价格关系

10.1 基本概念 几个概念 一个期权如果在它的有效期内（即到期日前）某个时刻，基础资产的市场价格大于约定价格，那么买入期权称为是价内的（in the money），卖出期权称为是价外（out of the money） 一个期权如果在它的有效期内（即到期日前）某个时刻，基础资产的市场价格小于约定价格，那么买入期权称为是价外的（out of the money），卖出期权称为是价内的（in the money） 基础资产市场价格等于约定价格时，这两类期权都称为是平价的（at the money） 价内的期权意味着任何情况下买方都是收益的 价外的期权意味着任何情况下买方都是亏损的

10.2 期权定价模型及期权价格特征 期权价格的影响因素 涉及期权买卖双方收益与亏损的重要影响因素 基础资产的市场价格 约定价格 期权的权利金或者期权价格 如何制定一个买入或卖出期权的价格 ? 一份买入期权在它的到期日那天价值多少？

10.2 期权定价模型及期权价格特征 在到期日 S – K = C 市场条件:资本市场是均衡的，或者资本市场不存在套利机会 不等式不成立 这个买入期权是价外的，不被执行 这个买入期权是价内的，立即被执行 买方将获得市场价格与约定价格之差的收益，这个差的收益就是到期日的买权价格 S – K = C 不等式不成立 S – K > C，买方通过买权交易获得正的 套利收益（即无成本的确定性收益），违 背事先给出的市场条件 S – K < C；买方在这个买权交易上产生 净亏损，不会执行这个合约

10.2 期权定价模型及期权价格特征 C = S – K ——到期日那天买入期权的权利金或价格 对期权的价格的影响因素： 到期日这天，价内价外两种可能性:C = max (0，S - K) 因为欧式卖出期权的价格恰与买入期权的价格有相反的方向，因此卖出 期权的价格为:P = max (0，K - S) 对期权的价格的影响因素： 基础资产的市场价格、约定价格 期权有效期（或寿命期）的长短 基础资产市场价格的波动性（volatility） 无风险利率 基础资产是否有股利，股利率的大小

10.2 期权定价模型及期权价格特征 期权有效期（或寿命期）：当前时刻至到期日 的时间段 基础资产价格的波动性：价格变动的程度，可 如果基础资产没有股利，那么有效期长的期权要比有效期短的期权更值钱 C (S, K, T1) ≥ C (S, K, T2), (当T1 > T2) 基础资产价格的波动性：价格变动的程度，可 用方差来度量 例：考虑两个股票买入期权，它们的约定价格都是50元，但以股票A为基础资产的买权中，它的价格波动性较小，以股票B为基础资产的买权，它的价格波动较大

10.2 期权定价模型及期权价格特征 A股 B股 未来价格 概率 42元 0.10 32元 0.15 47元 0.20 52元 0.40 0.30 57元 62元 72元 A股票期权的期望收益 = 0×0.10+0×0.20+2×0.40+7×0.20+12×0.10 = 3.40元 B股票期权的期望收益 = 0×0.15+0×0.20+2×0.30+12×0.20+22×0.15 = 6.30元 A股的价格上下波动 < B股的价格上下波动 A股票期权的期望收益 < B股票期权的期望收益 以A股为基础资产的期权价格 < 以B股为基础资产的期权价格 用σ2表示每天价格变动的方差，那么从现在时刻t到未来时 刻T的这段时间变化的波动性就是σ2（T-t）

10.2 期权定价模型及期权价格特征 无风险利率 基础资产的分红 无风险利率与期权价格成正比 分红会引起买入期权价格的下降而使卖出期权的价格上升

10.2 期权定价模型及期权价格特征 假设 期权价格的无分布特征 ——期权价格的数量特征 无分布特征：虽然基础资产的价格及期权的价格都可以看成是 随机变量，但目前并不需要知道它们遵循怎样的一个特殊分布 ——市场不存在交易费用，也不存在税收； ——市场不存在套利机会，为保证这一点，进一步假设 任何人可以无风险利率不受限制的借入与借出资金 以及允许卖空 ——期权的基础资产为股票。 假设 引用下列符号： S表示基础资产（股票）的市场价格（随机变量）； K表示执行价格（约定价格）； t表示当前时刻（常规变量）； T表示到期日（T-t为期权有效期或寿命期）； rf表示无风险利率； C表示欧式买入期权价格（简称买权）； P表示欧式卖出期权价格（简称卖权）。

10.2 期权定价模型及期权价格特征 期权价格的上限 （特征1）在任何情况下，欧式买权的价格不会超过股 票市场价格 C ≤ S 在任何情况下，欧式卖权的价格不会超过执行价格 P ≤ K 进一步，对欧式卖权的价格，还成立下面的不等式：

10.2 期权定价模型及期权价格特征 证明：（反证法） 假定在某个时刻t有C>S，则此时出售一份买权获得C，购买一份股票支出S。在t时点的现金流量和到期日T时的现金流量可由下表给出。 时刻t 到期日T 时点 现金流量 价格情况 操作步骤 现金流量 出售一份买权 +C 买入一份股票 -S 余款存入银行 -（C-S） S(T)>K 执行买权 K-S（T） 出售股票 S（T） 取回存款 (C-S)   总收益 (C-S) +K 总投入资金 0 S(T)<K 不执行买权 0   出售股票 S（T）   取回存款 (C-S)   总收益 (C-S) +S（T） 不用任何投资，只要利用在t时不正常的期权价格，就可以安全地获得无风险的套利收入至少是(C - S) 。按市场不存在套利机会的假设，此时的反证法假设不能成立。

10.2 期权定价模型及期权价格特征 证明：（反证法） 假定在某个时刻t，成立有P > K 。此时可以出售一个卖权收入P，然后存入银行。那么这时刻t和到期日T的部位及可能的现金流量可由下表给出： 时刻t 到期日T 时点 现金流量 价格情况 操作步骤 出售一份卖权 +P S(T)>K 不执行卖权 将收入存入银行 -P   取出存款 P 总投入资金 总收益 S(T)<K 执行卖权 -K+S（T） P -K+S(T) 同样不用任何投资，只要利用t时反常的期权价格，就可以在到期日得到无风险的套利收入至少是P - K > 0，因为P > K 。按不存在套利机会的假设，此时反证法的假设不能成立。

10.2 期权定价模型及期权价格特征 期权价格的下限 （特征2）对没有红利股票的欧式买权的下限为： C ≥ S - K 对没有红利股票的欧式卖权的下限为： P ≥ K -S

10.2 期权定价模型及期权价格特征 证明：（反证法） 假定在某个时刻t有C < S-K ，则此时可买入一份买权，并卖空一份股票。在t时部位的现金流量和到期日T时的现金流量可由下表 给出： 时刻t 到期日T 时点 现金流量 价格情况 操作步骤 买入一份买权 -C S(T)>K 执行买权 S(T)-K 卖空一份股票 +S   关闭卖空 -S(T) 将收入存入银行 -(S-C) 取出存款 (S-C) 总投入资金 总收益 (S-C) -K S(T)<K 不执行买权 (S-C) -S（T）

10.2 期权定价模型及期权价格特征 同样证明可用于没有红利股票的欧式卖权 假设S – K > C， 所以（S - C）> K ，这样（S - C） > K，结果是： 当S(T)>K时，总有（S - C） - K > 0 而S(T)<K时，也总有（S - C） - S（T）>（S - C） - K > 0 这表示在任何情况下，在到期日T都有正的收益，而这个收益在时刻t时没有付出任何初始成本，因而就有套利收益，这与不存在套利假设条件矛盾，所以原始的反证法假设不能成立。 同样证明可用于没有红利股票的欧式卖权 假定在某个时刻t有P < K - S，那么在时刻t借款K，并购入卖权一份，同时购买股票一份，并将余款存入银行。这样t时刻部位的现金流量及到期日T时的现金流量由下表给出

10.2 期权定价模型及期权价格特征 时刻t 到期日T 时点 现金流量 价格情况 操作步骤 借款K +K S(T)>K 还款 -K 买入一份卖权 买入一份股票 余款存入银行 -P -S -(K-P-S)   放弃执行卖权 存款收入 出售股票 (K-P-S) S（T） 总投入资金 总收益 S(T)-(P+S) S(T) < K 执行卖权 K-S(T) K-（P+S)

10.2 期权定价模型及期权价格特征 证明：（反证法） 欧式期权的平价关系（put-call parity） 因为假设P < K - S，所以 (P + S) < K，结果是： 当S(T) > K时，总有S（T）- (P + S) > K -（P + S） > 0 而当S(T) < K时，也总有K - (P + S) > 0 这表示在任何情况下在到期日T同样有无成本、无风险的套利收益。同样与不存在套利的假设条件相矛盾，所以原始的反证法假设不能成立 欧式期权的平价关系（put-call parity） （特征3）对欧式买权与卖权的价格C与P，成立有下列等式 C + K = P + S 假定在某个时刻t等式上式不成立，有两种可能 证明：（反证法） C + K > P + S C + K < P + S

10.2 期权定价模型及期权价格特征 证明：（反证法） 现证明第一种可能是不能成立的。假定在某个时刻t第一种可能成立，此时投资者借入资金K，出售一份买权获C，买入一份卖权支付P，买入一份股票支付S，并将余额存入银行，（因为反证法假定C + K - P – S > 0，那么余额C + K – P – S > 0）。在时刻t与时刻T的时点与现金流量由下表给出 时刻t 到期日T 时点 现金流量 价格情况 操作步骤 借入资金 +K S(T)>K 不执行卖权 出售买权 买入股票 买入卖权 +C -S -P   归还借款 执行买权 取回存款 -K (K+C-P-S) 将余额存入银行 -(K+C-P-S) 总收益 K+(C-P-S) 总投入资金 S(T) < K 执行卖权 不执行买权 由反证法假设C + K > P+S，那么任何情况下在时刻T的总收益总有（S + P - C） - K < 0，所以在时刻t的投资产生了无风险的套利收益K +（C – P - S） > 0，违背了不存在套利机会的假设条件，则原始的反证法假设不能成立

10.2 期权定价模型及期权价格特征 证明第二种可能也是不能成立的。假定在某个时刻t第二种可能成立，此时投资者出售一份卖权，收入P，卖空一份股票，收入S，购买一份买权，支付C，并将余款存入银行，（因为反证法假定P + S > C + K ,所以余款P + S – C > 0）。在时刻t与时刻T的时点与现金流量由下表给出 时刻t 时刻T 时点 现金流量 价格情势 操作步骤 出售卖权 +P S（T）>K 不执行卖权 卖空股票 +S   执行买权 S（T）-K 购入买权 -C 关闭卖空 -S（T） 余款存入银行 -（P+S-C） 取回存款 （P+S-C） 总投入资金 总收益 (P+S-C) -K S（T）<K 执行卖权 放弃执行买权 （P+S-C） -K

10.2 期权定价模型及期权价格特征 因为反证法假设P + S > C + K 那么在任何情况下，时刻T的总收益总有(P + S - C) - K > 0，所以在时刻t的零投资产生了无风险的套利收益（P + S - C） - K > 0,这与不存在套利的假设矛盾，则原始的反证法假设不能成立 P 欧式买权价格 欧式卖权价格

10.2 期权定价模型及期权价格特征 美式期权价格特征 C,P表示美式期权 （特征1）美式买权的价格C不会超过股价S本身， C≤ S 美式卖权的价格P不大于超过执行价格K。 P ≤ K （特征2）没有红利股票的美式买权价格C等于欧式买权价格C， 并且有下限 C = C，C > S – K 没有红利股票的美式卖权价格P大于欧式卖权价格P，并且有下限 P > P，P ≥ K - S （特征3）没有红利股票的美式买权价格C与卖权价格P的平价关 系为： S - K ≤ C - P < S - K C,P表示美式期权

标准正态分布随机变量小于（或等于）d1的概率 10.2 期权定价模型及期权价格特征 Black-Scholes公式 ——期权价值的解析表达式 ——仅考虑研究欧式期权 ——股票都没有股利支持 ——股票价格遵循一个连续时间的随机轨迹，其收 益率的方差在期权的有效期内是常数，股价的 遵循对数正态分布 假设 Black-Scholes的买入期权价格公式为： C = S×N（d1）- K×N（d2） 买入期权的价格 连续计息的年度无风险利率 股票的当前价格 标准正态分布随机变量小于（或等于）d1的概率 股票执行价格 以年度为单位的期权距到期日的时间长度

10.2 期权定价模型及期权价格特征 Black-Scholes的卖出期权的价格为： P = K ×N（-d2）- S×N（-d1） 股票价格自然对数的方差，以年度为单位 Black-Scholes的卖出期权的价格为： P = K ×N（-d2）- S×N（-d1） 与期权价格有关的五个重要因素 ： 股票市场价格 执行价格 无风险利率 期权的有效期 股价的波动性（它以方差表示）

10.2 期权定价模型及期权价格特征 风险中性定价原理 ：与投资者风险态度无关的评型 C = S×N（d1）- K×N（d2） 投资者权利的价值，即在执行价格以上的股价概率分布的那一部分的价值 执行价格在t时的现值乘上相应买入期权在到期日履约的概率 例：假定股票的当前市价为每股90元，一个买入期权的执行价格为100元，在六个月后到期，市场上无风险利率是每年8％。因为期权公式中时间是以年度为单位，那么现在已知K=100元，S = 90元，rf = 8%，T-t = 0.5年。

10.2 期权定价模型及期权价格特征 假定以这种公式计算的标准差是σ=0.6 （通常是利用历史股价数据作 为对波动性的度量 ） 使用Black-Scholes公式，计算过程为： ln (S/K) = ln (0.9) = -0.1054 这样：d1 = (-0.1054 + 0.08×0.5 + 0.36×0.5×1/2)/(0.6×) = 0.06 d2 = -0.37 使用正态分布累积系数的表格可知N（d1）= 0.5239，N（d2）= 0.3557。另外计算折现因子为： = e-0.08×0.5 = 0.9608 此时欧式买权价格为： C = S·N（d1）- K×N（d2）= 90×0.5239-0.9608×100×0.3557 = 12.98元 这样可知每份的买权价格为12.98元

10.3 期权在财务管理中的应用 假设 公司权益与负债的价值 Black-Scholes（1973）指出期权定价模型可以用作杆杠企业的负债与权益的价值的确定模型 假设 企业只发行纯贴现债券，并且在债券到期日之前公司不发放任何 形式的股利 企业价值不受资本结构影响 关于企业的资本价值的动态行为有一致的予期，它的分布在任何有限区间都是遵循对数正态分布，且有常数的方差 有一个外生的常数的无风险利率rf 公司的债券:在有限责任的体制下，股东将企业资产出售给债权人获取借款，并同时获得一份买权，在到期日按债券的面值向债权人购回企业的总资产

10.3 期权在财务管理中的应用 在到期日 买权的价值就是履约时企业的权益价值 企业价值 > 债务面值→买权被执行，股东取回企业全部资产 企业价值≦债务面值→股东不执行买权，但对债券合约而言，股东违 约，企业破产，全部资产由债权人接受 买权的价值就是履约时企业的权益价值 权益的价值 企业资产在期权有效期内的方差 债务面值 企业资产价值

10.3 期权在财务管理中的应用 关系式的解释 根据会计恒等式，负债的价值B ： B=V-E= 债务面值（D）的↑使得债权人对企业资产的索取权↑ ， ↑债务的价值，反过来则↓权益的价值 债务期限的延长（T-t的延长）与无风险利率扩大↓负债价值而↑权益的价值 资产方差↑ ， ↑企业违约的可能性， ↓负债的价值

10.3 期权在财务管理中的应用 认股权证（warrants）的价值模型 认股权证:公司发行的一种可交易证券，它具有某种期权的性质，即认股权证的持有人有权在指定的期限以指定的价值和比例购买该公司的普通股票 表示一种或有索取权，也就是持有人对普通股票这类资产有索取权 其次认股权证的有效期较长，要比普通期权长得多（有的甚至是无限期的） 认股权证在股票拆分和送红股时，发行者可通过认购比例的调整以保证认股权证的价值并不受这种变化的影响 公司股票有现金红利时，认股权证将不受到保护，所以它的价值会发生变动 公司发行认股权证后，当持有人执行认股权时，公司相当于增发新股，这对持有人来讲是一种权益投资的方式

10.3 期权在财务管理中的应用 假设 欧式认股权证的定价模型 认股权证不附有其他任何限制性条款 假定一个公司仅发行普通股票与认股权证。 在外的普通流通股票为N股， 发行在外的欧式认股权证为M份， 每份赋予其持有人有权在时刻T（到期日）以执行价格K购买r股普通股票。 设V和W表示公司的权益（会有认股权证的价值）和单位认股权证在时刻t的价值， V = NS + MW 如果执行认股权证，那么持有人的每单位认股权证会有收益：

10.3 期权在财务管理中的应用 正收益的条件是V/N – K ≥ 0，所以在时刻T的收益可写为: → C = max (0，S - K) 单位认股权证在T时的价值是以 VT/N 为基础资产价格的欧式买权价值的 倍 , 当基础资产，即公司权益(S + MW/N)的波动率在有效期内保持常数，那么认股权证W的价值可表示为: 公司权益波动率

10.3 期权在财务管理中的应用 影响认股权证价格的因素不仅有执行价格，股票现价，权益波动性，无风险利率和有效期的长短，而且还有认股权证的数量，流通在外普通股数量，持股比例等等 B=V-E= 如下的关系成立： 静态关系可作如下的解释： 执行价格增大 认股权证价值下降 股票价格增大 认股权证价值上升 股票收益率波动性增大 无风险利率增大 有效期增大 认股比例增大 认股权证占股票比例增大