第三篇 Electromagnetic field 电 磁 场 稳恒磁场 第14章 (6) Steady magnetic field

(1)人造磁铁、天然磁铁有吸引铁、鈷、镍的性质—磁性。 (2)磁铁有两个极：N，S。 (3)磁极间存在相互作用力：同极相斥，异极相吸。 §14-1 磁力和磁场 磁感应强度 一.磁力和磁场 早期磁现象：磁铁 磁铁间的相互作用。 (1)人造磁铁、天然磁铁有吸引铁、鈷、镍的性质—磁性。 (2)磁铁有两个极：N，S。 (3)磁极间存在相互作用力：同极相斥，异极相吸。 在历史上很长一段时期里,人们曾认为磁和电是两类截然不同的现象。 I N S 图14-1 1819年,奥斯特实验首次发现了电流与磁铁间有力的作用(见图14-1),才逐渐揭开了磁现象与电现象的内在联系。

一切磁现象都起源于电荷的运动(电流)。 奥斯特实验证明电流对磁铁有力的作用。同时，人们还发现： 磁铁对载流导线也有力的作用； 磁铁对运动电荷也有力的作用； 电流与电流之间也有力的相互作用。 1882年,安培对这些实验事实进行分析的基础上，提出了物质磁性本质的假说： 一切磁现象都起源于电荷的运动(电流)。 物质间的磁力相互作用是以什么方式进行的呢?近代的理论和实验都表明,物质间的磁力作用是通过磁场传递的。即 运动电荷 磁场 运动电荷 磁场和电场一样,也是物质存在的一种形式。

Pm=NIS s 二 . 磁感应强度B (14-1) I 式中N为线圈的匝数，S为线圈包围 的面积， 为载流线圈平面正法线方向的单位矢量。 图14-2 试验线圈(电流、尺寸都很小的载流线圈)的磁矩定义为： (14-1) Pm=NIS 式中N为线圈的匝数，S为线圈包围 的面积， 为载流线圈平面正法线方向的单位矢量。 将试验线圈置于磁场中一点，不管怎样转动，它处于平衡时，正法线总是指向一个确定的方向，这说明磁场是矢量场。我们规定： 试验线圈处于平衡时，线圈正法线指示的方向即为该点磁场(B)的方向。

定义: 磁场中某点磁感应强度的大小等于试验线圈所受的最大磁力矩与线圈磁矩之比。即 三.磁感应线(磁力线) 为了形象地描述磁场, 引入磁感应线(也称磁力线)。 磁力线上每一点的切线方向与该点的磁感应强度B的方向一致。 通过某点垂直于磁场方向的单位面积上的磁力线条数等于该点B的大小。

图14-3 磁力线有以下特点: (1)磁力线是无头无尾的闭合曲线(或两端伸向无穷远处)。所以磁场是涡旋场。 (2)磁力线与载流电路互相套合(即每条磁力线都围绕着载流导线)。 (3)任两条磁力线都不相交。

磁场中,通过一给定曲面的磁力线数目,称为通过该曲面的磁通量。 四 .磁通量 磁场中,通过一给定曲面的磁力线数目,称为通过该曲面的磁通量。 (14-2) 通过匀强磁场中面积为S的平面的磁通量应为 (14-3) 磁通量是标量，其正负由角确定。对闭合曲面来说,我们规定取向外的方向为法线的正方向。这样： 磁力线从封闭面内穿出时，磁通量为正； 磁力线从封闭面外穿入时，磁通量为负。 在国际单位制中,磁通量的单位为韦伯(wb)。

五 .磁场的高斯定理 由于磁力线是闭合曲线，因此通过任一闭合曲面磁通量的代数和(净通量)必为零,亦即 (14-4) 这就是磁场的高斯定理。 在静电场中,由于自然界有单独存在的正、负电荷,因此通过一闭合曲面的电通量可以不为零,这反映了静电场的有源性。而在磁场中,磁力线的连续性表明,像正、负电荷那样的磁单极是不存在的,磁场是无源场。

将半球面和圆面组成一个闭合面，则由磁场的高斯定理知，通过此闭合面的磁通量为零。 例题14-1 在匀强磁场B中，有一半径为r的半球面S,S边线所在平面的法线方向的单位矢量 和B的夹角为 ,如图14-4所示，则通过半球面S的磁通量为 -B r2cos 。 图14-4  B 将半球面和圆面组成一个闭合面，则由磁场的高斯定理知，通过此闭合面的磁通量为零。 S 这就是说，通过半球面和通过圆面的磁通量数值相等而符号相反。于是通过半球面的磁通量就可以通过圆面来计算：

Idl §14-2 毕奥-萨伐尔定律！ P r (14-5) 上式称为毕奥-萨伐尔定律。 真空的磁导率：o=410-7 §14-2 毕奥-萨伐尔定律！ 真空中，电流元Idl 在P点产生的磁场为 图14-5  Idl P r (14-5) 上式称为毕奥-萨伐尔定律。 1.公式中的系数是SI制要求的。 真空的磁导率：o=410-7 2. r是从电流元Idl 指向场点P的矢量。 r是电流元Idl 到P点的距离。

Idl B (14-5) P 3.电流元Idl 是线元。 r 大小：Idl=电流I线元长度dl。 方向：电流I的方向； 4.磁场的大小： 图14-5  Idl P r 3.电流元Idl 是线元。 大小：Idl=电流I线元长度dl。 方向：电流I的方向； 4.磁场的大小： (14-6) B 图14-6 是Idl与r 之间的夹角。 方向：由右手螺旋法则确定(见图14-6)。

6.磁感应强度的单位是特斯拉(T)，1T=104Gs。 5. 对载流导体，按照叠加原理,可分为若干个电流元，然后用毕-萨定律积分： (14-7) 应当注意：上面的积分是求矢量和。 6.磁感应强度的单位是特斯拉(T)，1T=104Gs。 (14-6)

. r 例题14-2 求直线电流的磁场。 x 电流元Idx在P点所产生的磁场为 解 选坐标如图, I Idx a  例题14-2 求直线电流的磁场。 x  Idx r o 电流元Idx在P点所产生的磁场为 解 选坐标如图, P a 图14-7 . I  方向：垂直纸面向里(且所有电流元在P点产生的磁场方向相同);所以直线电流在P点产生的磁场为

. r x I 由图14-7可以看出: x=atg( -90 )=-actg Idx a 完成积分得 I P a 图14-7 . I x  Idx r o 1 2 由图14-7可以看出: x=atg( -90 )=-actg 完成积分得 B I P点磁场方向: 垂直纸面向里。

1.上式中的a是直电流外一点P到直电流的垂直距离。 2.  1和 2是直电流与(直电流端点与场点P的)连线的夹角。 (14-8) 2 P I 1 a 图14-8 注意： 1.上式中的a是直电流外一点P到直电流的垂直距离。 2.  1和 2是直电流与(直电流端点与场点P的)连线的夹角。  应取同一方位的角。

2 P I 1 a 图14-8 讨论: (1)对无限长直导线, 1=0,  2=,则有 (14-9) I B

. r x (2)如果P点位于直导线上或其延长线上, I 则P点的磁感应强度必然为零。 Idx a 图14-7 . I x  Idx r o (2)如果P点位于直导线上或其延长线上, 则P点的磁感应强度必然为零。 证：若P点位于直导线上或其延长线上，则=0或=，于是

例题14-3 直电流公式的应用。 (1)P点磁场: A P a B I  C 图14-9 2 1 AB：  BC：  P点磁场：

I (2)边长为a的正方形中心 O点: a a 2 A A点磁场： I a 2 .o 1 1= 45 ,2= 135 2 .o 图14-10 a I .o A点磁场： 1 1= 45 ,2= 90

电流I经三角形分流后, 在中心o点产生的磁场为零。 CD段在三角形中心o点产生的磁场也为零。 只有AB段在三角形中心o点产生磁场： (3)边长为a的正三角形中心o点的磁场。 电流I经三角形分流后, 在中心o点产生的磁场为零。 CD段在三角形中心o点产生的磁场也为零。 只有AB段在三角形中心o点产生磁场： I A B o r a 图14-11 C D

(4)在一半径为R的无限长半圆筒形金属薄片中，沿长度方向有电流I流过，且电流在横截面上均匀分布。求半圆筒轴线上一点的磁场强度。 解 用长直导线公式积分。 dB o x y 图14-12  R d  Bx = - sin 2R

sin 例题14-4 圆电流轴线上一点的磁场。 解 由对称性可知，P点的场强方向沿轴线向上。 B dB dB p 有 B= r x Idl 例题14-4 圆电流轴线上一点的磁场。 解 由对称性可知，P点的场强方向沿轴线向上。 B dB  dB r Idl 图14-13 I R x p sin 有 B= 即 (14-10)

由于各个电流元在圆心处产生的磁场方向相同，因此， 在圆电流的圆心o处,因x=0,故得 (14-11) B 图14-13 I R x p  dB r Idl o 由于各个电流元在圆心处产生的磁场方向相同，因此， 一段圆弧形电流在圆心处产生的磁场就是圆电流在圆心产生磁场乘以(圆弧弧长与圆周长之比)。 如半圆弧圆心处的磁场： B= 当然，圆心之外这个结论就不正确了。

例题14-5 直电流和圆电流的组合。 圆心o: b I a c d Bo= 方向：垂直纸面向外。 I b e f r c d a 图14-14 I a c d Bo= 方向：垂直纸面向外。 I b e f R r o 图14-15 c d a 方向：垂直纸面向里。

电流I经圆环分流后, 在中心o点产生的磁场为零。 R o B C D 图14-16 A Ｉ1l1 Ｉ2l2 电流I经圆环分流后, 在中心o点产生的磁场为零。 方向：垂直纸面向里。

I C D 图14-17 B A R o 圆心o点的磁场: 方向：垂直纸面向外。

o R 60 B A C D 图14-18 2 1 (1= 0 ,2= 60 ) 圆心o点的磁场: 2

例题14-6 一均匀带电圆盘，半径为R，电荷面密度为, 绕通过盘心且垂直于盘面的轴以的角速度转动，求盘心的磁场及圆盘的磁矩。 .o R   解 将圆盘分为若干个圆环积分。 r dr 带电圆环旋转时产生的电流强度为 环上的电量  q 图14-19 I s 盘心的磁场： 2 r o

圆盘的磁矩: (14-1) Pm=NIS .o R   图14-20 r dr 方向：垂直纸面向里。

例题14-7 一半径为R的均匀带电半圆弧，单位长度上的电量为，绕其直径所在的直线以角速度匀速转动，求圆心o处的磁场。 解 半圆弧旋转起来，象一个球面，可划分为若干圆电流积分。  图14-22 x r o  R o 图14-21

 图14-23 R o  d x r 建立如图14-23所示的坐标系。 注意到：r=Rsin, 于是

这个定理的表述为：在真空中，磁感应强度B沿任何闭合路径l的线积分(亦称B的环流)等于该闭合路径l所包围的电流强度的代数和的o倍。 §14-3 安培环路定理 真空中, 安培环路定理的数学表示式如下： (14-11) 这个定理的表述为：在真空中，磁感应强度B沿任何闭合路径l的线积分(亦称B的环流)等于该闭合路径l所包围的电流强度的代数和的o倍。 这就是说，B的环流完全由闭合路径l所包围的电流确定，而与未包围的电流无关。 1.I内—是闭合路径l所包围的电流的代数和。 包围—以闭合路径l为边界的任一曲面上流过的电流。 电流的正负规律是:当闭合路径l的方向与电流方向呈右手螺旋关系时，电流I就取正号;反之,取负号。

即：右手拇指伸直,弯曲四指与闭合路径l的方向一致时, 拇指的指向即为电流的正方向。 I1 I2 I3 l I (14-11)

图14-24 I l (14-11) 2.应该强调指出,安培环路定理表达式中右端的I内虽然只包括闭合路径l所包围的电流的代数和,但在式左端的B却是空间所有电流(闭合路径l内外的电流)产生的磁感应强度的矢量和。 3.适用条件：稳恒电流(闭合电路)。

r (14-11) 例如, 对有限长直电流, P点磁场： I I (圆面) 于是得 B= 正确答案请见例题14-2。 S P 0 (曲面S) 图14-25 I (圆面) 0 (曲面S) 于是得 B= 正确答案请见例题14-2。

选半径r的圆周为积分的闭合路径，如图14-26所示。 由安培环路定理： 例题14-8 设无限长圆柱体半径为R,电流I沿轴线方向,并且在横截面上是均匀分布的。求:(1)圆柱体内外的磁场；(2)通过斜线面积的磁通量。 R I 图14-26 解 (1)由对称性可知，磁场方向为圆周切线方向，满足右手螺旋关系。 选半径r的圆周为积分的闭合路径，如图14-26所示。 由安培环路定理： r B l 旋转对称 I内是以r为半径的圆面上流过电流的代数和。 r是场点到轴线的距离;

旋转对称 r B R I 图14-26 设电流密度为 2 r o J.r2 2 r o I

r B R I 图14-26 (2)通过斜线面积的磁通量: 2R l dr ds

例题14-9 一长直圆柱体内有一长直柱形空腔，两轴线平行且相距a，柱体中的电流密度为J,求空腔中的磁场强度。 由上题计算结果可知： r1 a o o J 图14-28 p r2 + = J o r1 B1 o´ r2 B2 B1 B2

方向：y轴正方向(即垂直于连心线oo´)。 r1 a o o J 图14-28 p r2 B1 B2 空腔中的场强: 可见，空腔中的磁场是一个匀强磁场： 1 2 r1 r2 o o´ a x y B2 B1 大小： 方向：y轴正方向(即垂直于连心线oo´)。

实心柱体内: 实心柱体外: r a o o J 图14-29 P. 讨论: 图中P 点的磁场:

例题14-10 一半径为a的长直圆柱体和一内外半径分别为b和c(a<b<c)的同轴长直圆筒通有等值反向电流I(电流在横截面内是均匀分布的)，如图14-30所示，求空间的磁场分布。 × 图14-30 I · b c a o 解 2 r o J.r2 2 r o I 旋转对称

I r 由安培环路定理： l NI 在环管内: B= 图14-31  I 解 由对称性知,与螺线环共轴的圆周上各点磁感应强度的大小相等,方向沿圆周为切线方向。 r o 由安培环路定理： l 2 r o NI 在环管内: B=

对于管外任一点,过该点作一与螺线环同轴的圆周l1或l2为闭合路径， 图14-31  I 对于管外任一点,过该点作一与螺线环同轴的圆周l1或l2为闭合路径， l1 l2 由于这时I内=0，所以有 B=0 (在螺线环外) 可见，螺线环的磁场集中在环内，环外无磁场。

对载流长直密绕螺线管，若线圈中通有电流强度为I的电流,沿管长方向单位长度上的匝数为n，则由安培环路定理容易求得： 管内： (14-12) 管外： B=0 可见，管内是匀强磁场, 而管外的磁场仍为零。 B 图14-32 I

例题14-12 一均匀带电的长直柱面，半径为R，单位面积上的电量为，以角速度绕中心轴线转动，如图14-33所示，求柱面内外的磁场。 解 旋转的柱面形成圆电流，它和一个长直螺线管等效。  图14-33 由长直螺线管的磁场可知，柱面外的磁场为零；而柱面内的磁场为 =o×单位长度上的电流强度

实验表明: 电流元Idl 在磁场B中受的作用力(安培力)为 §14-4 磁场对载流导线的作用 一.安培力 实验表明: 电流元Idl 在磁场B中受的作用力(安培力)为  Idl B F 图14-34 (14-13) 大小：dF=IdlBsin 方向： 即：dF 的方向垂直于Idl 和B组成的平面，指向由右手螺旋确定。

对于放置在均匀磁场中长度为l的直载流导线,其所受的安培力为 对载流导体，可分为若干电流元积分： (14-14) 对于放置在均匀磁场中长度为l的直载流导线,其所受的安培力为 I 图14-35  B a b (14-15) 其大小： F=IlBsin 方向： =ab

l 直载流导线受的安培力: 例题14-13 在均匀磁场B中有一段弯曲的导线ab,通有电流I, 求此段导线受的磁场力。 B I Idl  I B a b 图14-36 Idl 可见, 在匀强磁场中,弯曲导线受的磁场力等于从起点到终点的直导线所受的磁场力 。 力的大小：F=IlBsin 力的方向: 垂直纸面向外。 l

直载流导线受的安培力: 又如，匀强磁场中的导线： I a I a b R b 圆弧受的力： 圆弧受的力： 力的方向垂直纸面向外。 B R B o R I a b B R B a b o I 圆弧受的力： 圆弧受的力： 力的方向垂直纸面向外。

例题14-14 如图14-37所示，无限长直电流I1和线段AB(AB=L,通有电流I2)在同一平面内,求AB受的磁力及对A点的磁力矩。 解 由于每个电流元受力方向相同(如图示)， I1 图14-37 d  A B 由公式 dF=IdlBsin 得 dF x dx I2 M=

例题14-15 将半径R的圆电流I1置于无限长直电流I2的磁场中,长直导线与圆电流直径重合且相互绝缘,求圆电流I1所受的磁力。 此电流元受磁力的方向沿半径指向圆外, 解 在圆电流上取电流元I1dl, 其大小为 x y o 图14-38 I1 I2 dF  x R y I1dl 由对称性可知，圆环受的合力沿x轴的正方向, 而大小为 dF I1dl F=

一N匝的刚性矩形平面载流线圈处于匀强磁场中，如图14-39所示，求它受的力和力矩。 二 .磁场作用于载流线圈的力矩 一N匝的刚性矩形平面载流线圈处于匀强磁场中，如图14-39所示，求它受的力和力矩。 由F=IlBsin ， 可知： 图14-39 a b c d I l1 l2 B   f1 方向向上； ab: f1= N Il1Bsin , f2´ cd：f1´=NIl1Bsin , 方向向下。 可见，ab和cd边受的力大小相等而方向相反,所以合力为零,也不产生力矩。 f2 bc：f2 =NIl2B, 方向垂直纸面向外; f1´ da：f2´=NIl2B, 方向垂直纸面向内。 显然，bc和da边受的合力也为零。但这对力偶对中心轴要产生力矩。

但 pm=NIl1l2，所以磁场对线圈力矩的大小可表示为   B a(d) b(c) f2 f2 2. f2 M = 但 pm=NIl1l2，所以磁场对线圈力矩的大小可表示为 f2 f2´ 图14-39 a b c d I l1 l2 B   M M= pmBsin (14-16) 力矩M的方向：沿中心轴线向上。 用矢量式来表达，就是 M= pm×B (14-17) 上式对任意形状的平面线圈也都适用。

由M= pmBsin ，圆盘所受的磁力矩为  R B r dr 例题14-16 半径为R的圆盘,带有正电荷,其电荷面密度 =kr, k是常数, r为圆盘上一点到圆心的距离,圆盘放在一均匀磁场B中,其法线方向与B垂直。当圆盘以角速度绕过盘心o点,且垂直于圆盘平面的轴作逆时针旋转时,求圆盘所受磁力矩的大小和方向。 解 可将圆盘分为无限多个圆环积分。 由M= pmBsin ，圆盘所受的磁力矩为  R B o 图14-40 r dr dI M=  r2 B 由pm×B 可知，M 的方向垂直B向上。

例题14-17 一矩形线圈a×b =10×5cm2，I=2A,可绕y轴转动，如图14-41所示。当加上B=0 例题14-17 一矩形线圈a×b =10×5cm2，I=2A,可绕y轴转动，如图14-41所示。当加上B=0.5 i (T)的均匀外磁场(B与线圈平面成=30º角)时，线圈的角加速度为β=2rad/s2， 求:(1)线圈对oy轴的转动惯量J=? (2)线圈平面由初始位置转到与B垂直时磁力所作的功。 解 (1) 由M=pmBsin，得 y z o 图14-41  B x a b I M=Iab B sin(90º- ) = IabBsin60º J=M/β=2.16×10-3 (kg.m2) (2)磁力所作的功为

在电流元Idl 内运动的带电粒子数为: dN=ndsdl。 §14-5 带电粒子的运动 r P Idl ds I 图14-42 一. 匀速运动点电荷的磁场 (14-7) 设电流元Idl 的横截面积为ds，导体单位体积内有n个带电粒子,每个粒子带有电量q，以速度沿Idl 的方向作匀速运动，由§12-4例 题 12-9可知 I=qnds Idl =qndsdl =q.ndsdl 在电流元Idl 内运动的带电粒子数为: dN=ndsdl。 一个运动电荷产生的磁场=

于是一个运动电荷产生的磁场就是: (14-18) 例题14-18 一电子以速度=1.0×107m/s作直线运动, 求该电子在与它相距r =10-9m的一点处产生的最大磁感应强度。 解 由式(14-18)可知，磁场的最大值为 又：电子以速度=1.0×107m/s作半径r =10-9m的圆周运动, 则圆心处的磁感应强度是多少？

一个电荷q在磁场B中以速度运动时，该电荷所受的磁场力(也称为洛仑兹力)为 二 .带电粒子在磁场中的运动 一个电荷q在磁场B中以速度运动时，该电荷所受的磁场力(也称为洛仑兹力)为 +q  f B  图14-43 (14-19) 洛仑兹力的大小 f=qBsin 式中:为电荷的运动方向与所在点磁场B的方向之间的夹角。 洛仑兹力f 的方向垂直于 和B 组成的平面。 若q>0,则 f 的方向与B 的方向相同; 若q<0,则f 的方向与B 的方向相反。

^ B  1.由于洛仑兹力的方向总是与电荷的运动方向垂直,所以洛仑兹力对运动电荷不作功。 2.带电粒子在匀强磁场中的运动  1.由于洛仑兹力的方向总是与电荷的运动方向垂直,所以洛仑兹力对运动电荷不作功。 2.带电粒子在匀强磁场中的运动  B 因为洛仑兹力 f=qBsin =0，所以带电粒子在磁场中作匀速直线运动。 B  ^ 带电粒子作匀速率圆周运动。圆周运动的半径和周期分别为 (14-20) (14-21)

这两种运动叠加的结果是粒子以B的方向为轴线作等螺距螺旋线运动(见图14-45)。   B 图14-44  =cos ^ =sin 此时带电粒子一方面以⊥=sin在垂直于B的平面内作圆周运动,同时又以 =cos 沿磁场B的方向作匀速直线运动。 这两种运动叠加的结果是粒子以B的方向为轴线作等螺距螺旋线运动(见图14-45)。

图14-45   B =cos ^ =sin 半径 周期 螺距

图14-46 磁聚焦示意图 尽管在P点电子束中电子的速度各不相同,但周期相同，所以它们散开在磁场中沿各自的螺旋线绕行一周后,都又会重聚于同一点P′。这就是磁聚焦的基本原理。它已广泛地应用于电真空器件中,特别是电子显微镜中。

等粒子体的温度高达几千万度，甚至上亿度。 图14-46 磁约束 等粒子体的温度高达几千万度，甚至上亿度。 因为端部的磁场设计得比中部的强,带电粒子运动到端部附近时,就像在一个瓶子的颈部一样被收束得更细,加上带电粒子在非均匀磁场中所受的洛仑兹力总有一个指向磁场较弱方向的轴向分量,在这个分力的作用下,接近端部的带电粒子就像光线遇到镜面反射一样,又沿一定的螺旋线向中部磁场较弱部分返回。这样,高温等离子体中的带电粒子就被磁场约束在一定的区域内来回运动而不能逃脱。这就是所谓的磁塞效应和磁镜效应。

产生霍耳效应的原因：金属中的自由电子受洛仑兹力的作用。 三 .霍耳效应  1879年,霍耳(A.H.Hall)发现下述现象:在匀强磁场B中放一板状金属导体,使金属板面与B的方向垂直,在金属板中沿着与磁场B垂直的方向通以电流I,则在金属板上下两个表面之间就会出现横向电势差VH(见图14-47)。这种现象称为霍耳效应,VH称为霍耳电势差。 b I 图14-47 B a 产生霍耳效应的原因：金属中的自由电子受洛仑兹力的作用。 VH fm  上下两个表面之间的电场用EH 表示。

霍耳效应不只在金属导体中产生,在半导体和导电流体(如等离子体)中也会产生。 达到稳恒状态时， b I 图14-47 B a VH fm  -eEH=-eB 即 EH= B VH= EH.a=aB I=ne ab (14-22) 得 式中b是导体在磁场方向的厚度。 霍耳效应不只在金属导体中产生,在半导体和导电流体(如等离子体)中也会产生。

金属导体中形成电流的载流子是带负电的自由电子；在N型半导体中的多数载流子仍是带负电的电子，但在P型半导体中的多数载流子却是带正电的空穴。 通过对霍耳电势差的实验测定,可判定半导体的类型,还可以用式(14-22)计算出载流子的浓度。用霍耳效应来测磁场，是现在一个常用的比较精确的方法。 有的金属(如Be,Zn,Cd,Fe等)会出现反常霍耳效应:其霍耳电势差的极性与载流子为正电荷的情况相同,好像这些金属中的载流子带正电似的。80年代又发现了在低温、强磁场条件下的整数量子霍耳效应(获1985年诺贝尔物理奖)和分数量子霍耳效应,这些现象用经典电子论无法解释,只能用量子理论加以说明。 9

例题14-19 在均匀磁场中，一电子经时间t=1. 57×10-8s, 从a沿半圆运动到b，a、b相距0 例题14-19 在均匀磁场中，一电子经时间t=1.57×10-8s, 从a沿半圆运动到b，a、b相距0.1m。求空间磁场的大小和方向，以及电子的运动速度。 解 磁场方向： 垂直纸面向里。 a b 图14-48  T = 又由 R=

例题14-20 匀强磁场B只存在于x>0的空间中,且B垂直纸面向内,如图14-49所示。一电子在纸面内以与x=0的界面成角的速度进入磁场。求电子在y轴上的入射点和出射点间的距离，以及y轴与电子在磁场中的轨道曲线包围的面积。 解 电子进入磁场后，作圆运动，如图14-49所示。  o  图14-49 x y A B  R 找出圆心o，加辅助线oA、oB。 入射点和出射点间的距离: o AB=2Rsin y轴与轨道曲线包围的面积:

代入I=10-3A, B=0.3T, b=0.3×10-2m, VH=5×10-3v, 例题14-21 半导体的大小a×b×c=0.3×0.5×0.8cm3 , 电流I=1mA(方向沿x轴), 磁场B=3000Gs(方向沿z轴)，如图14-50所示；测得A、B两面的电势差uA-uB=5mv, 问: (1)这是P型还是N型半导体？(2)载流子浓度n=? I a b c x y z B A 图14-50 解 (1) 由uA>uB , 判定是N型。 (2)由公式 代入I=10-3A, B=0.3T, b=0.3×10-2m, VH=5×10-3v, 得： n=1.25×1020个/m3。

例题14-22 如图14-51所示, 空间存在匀强电磁场：电场E沿y轴，磁场B沿z轴。将一点电荷+q在坐标原点静止释放，简述它将作什么样的运动。若轨道最高点P(x,y)处的曲率半径=2y，求：该电荷的最大速率。 解 电荷+q受电场力的作用由静止开始运动，同时又受到洛仑兹力 的作用，于是作旋轮线运动。 在P点速率最大: =2y fe fm x E z +q y 图14-51 B . P(x,y) 因洛仑兹力不作功, 所以 解得：