二面角 欧 进 兰
平面内的一条直线,把这个平面分成两部分,每 一部分都叫做半平面。 半平面及二面角的定义 1、半平面: 平面内的一条直线,把这个平面分成两部分,每 一部分都叫做半平面。 2、二面角: 从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做 二面角。这条直线叫做二面角的棱,这两个半平 面叫做二面角的面。 面 半平面 半平面 面 棱
二面角的 画法与记法 1、二面角的画法: (1)、平卧式 (2)、直立式
面—棱—面 l 二面角-AB- 二面角C-AB- D 二面角- l- 二面角的 画法与记法 2、二面角的记法: A C B D 5
讨论思考区 l O B A 思考: 如何度量这个二面角的大小呢?
注 意 ? 二面角的 平面角的定义、范围及作法 1、二面角的平面角: 以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面上分别引垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 ? == 注:(1)二面角的平面角与点的位置 无关,只与二面角的张角大小有关. (2)二面角是用它的平面角来度 量的,一个二面角的平面角多大,就 说这个二面角是多大. 等角定理:如果一个角的两边和另 一个角的两边分别平行,并且方向相 同,那么这两个角相等。) 3)角的边都要垂直于二面角的棱 1)角的顶点在棱上 2)角的两边分别在两个面内 注 意
想一想: ? 二面角的范围: (0。,180。]
注 意 二面角的 平面角的定义、范围及作法 4、二面角的平面角的常用作法: A B 1、定义法: 根据定义作出来。 o 2、垂面法: 作与棱垂直的平面与两半平面 的交线得到。 o A B 注 意 3)角的边都要垂直于二面角的棱 1)角的顶点在棱上 2)角的两边分别在两个面内
例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,找出下列二面角的平面角: (1)二面角D1-AB-D和A1-AB-D; 寻找二面角的平面角 例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,找出下列二面角的平面角: (1)二面角D1-AB-D和A1-AB-D; (2)二面角C1-BD-C和C1-BD-A. B A C D A1 B1 C1 D1
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,找出下列二面角的平面角: (1)二面角D1-AB-D和A1-AB-D; 寻找二面角的平面角 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,找出下列二面角的平面角: (1)二面角D1-AB-D和A1-AB-D; (2)二面角C1-BD-C和C1-BD-A. B A C D A1 B1 C1 D1
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,找出下列二面角的平面角: (1)二面角D1-AB-D和A1-AB-D; 寻找二面角的平面角 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,找出下列二面角的平面角: (1)二面角D1-AB-D和A1-AB-D; (2)二面角C1-BD-C和C1-BD-A. B A C D A1 B1 C1 D1 O
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,找出下列二面角的平面角: (1)二面角D1-AB-D和A1-AB-D; 寻找二面角的平面角 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,找出下列二面角的平面角: (1)二面角D1-AB-D和A1-AB-D; (2)二面角C1-BD-C和C1-BD-A. B A C D A1 B1 C1 D1 O
A. 例2、已知二面角- l - ,A为面内一点,A到 的距离为 ,到 l 的距离为 4.求二面角 - l - 的大小. 求解二面角 例2、已知二面角- l - ,A为面内一点,A到 的距离为 ,到 l 的距离为 4.求二面角 - l - 的大小. l A. 分析:首先应找到或作出二面 角的平面角,然后证明这个角就 是所求的平面角, 最后求出这个 角的大小。 O D
A. 例1、已知二面角- l - ,A为面内一点,A到 的距离为 ,到 l 的距离为 4.求二面角 - l - 的大小. 求解二面角 例1、已知二面角- l - ,A为面内一点,A到 的距离为 ,到 l 的距离为 4.求二面角 - l - 的大小. A. O B D l
l 解: D 过 A作 AO⊥于O,过 A作 AD⊥ l 于D,连OD, A . 就是二面角 O - l - 的平面角. 所以 所以 l A . 所以 就是二面角 - l - 的平面角. D O 在Rt△ADO中, ∵sin∠ADO= AO AD ∴ ∠ADO=60°. ∴二面角 - l- 的大小为60 °.
如图,ABCD是一个梯形,AD//BC, ,求面SCD与面SBA所成二面角(不超过) 的正切值。 S D B A E C
S D B A E C 解:延长BA,CD相交于E,连接SE ,则SE就是所求二面角的棱。 因为 AD//BC, BC=2AD. 即为所求二面角的正切值
★ 直二面角—— 平面角为直角的二面角 叫做直二面角. O A B 记作:
在平面β内过B点作直线BE⊥CD,则∠ABE就是二面角α--CD--β的平面角, 例3 已知:AB⊥β,AB∩β=B,AB α 求证:α⊥β. ∪ 证明: 设α∩β=CD,则B∈CD. α A ∪ ∵AB⊥β,CD β,∴AB⊥CD. C D E B 在平面β内过B点作直线BE⊥CD,则∠ABE就是二面角α--CD--β的平面角, β ∪ ∵AB⊥β,BE β, ∴AB⊥BE. ∴二面角α--CD--β是 直二面角,∴α⊥β.
D B A C A C B D G H 二面角的应用举例 课后思考题:如图,山坡倾斜度是60度, 山坡上一条路CD和坡底线AB成30度角. 沿这条路向上走100米,升高了多少? D B A C A C B D G H
二面角的应用举例 例1、如图,山坡倾斜度是60度, 山坡上一条路CD和坡底线AB成30度角. 沿这条路向上走100米,升高了多少? D C G H B A A C B G D H
*转化思想 —降维 1、二面角的定义: 2、二面角的画法和记法: 3、二面角的平面角: 4、二面角的平面角的作法: 6、数学思想 空间问题 课堂小结 从一条直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二 面角。这条直线叫做二面 角的棱。这两个半平面叫 做二面角的面。 1、二面角的定义: 1、二面角的平面角 的大小与 其顶点 在棱上的位置无关 2、二面角的大小用 它的平面角的大 小来度量 2、二面角的画法和记法: 画法:直立式和平卧式 记法:二面角 -AB- 二面角 - l- *转化思想 —降维 空间问题 平面问题 3、二面角的平面角: 1、根据定义作出来 2、利用直线和平面垂 直作出来 4、二面角的平面角的作法: 6、数学思想