八年级 上册 第十三章 轴对称 课题学习 最短路径问题 湖北省通山县教育局教研室 袁观六
创设问题情境 问题1 如图，从A地到B地有三条路可供选择，你会选择哪条路距离最短？说说你的理由. 两点之间，线段最短
创设问题情境 问题2 如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两村供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ P 连接AB，线段AB与l的交点即为泵站修建的位置
将实际问题抽象成数学问题 问题2 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
将实际问题抽象成数学问题 精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马 问题”． 精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马 问题”． 你能将这个问题抽象为数学问题吗？
将实际问题抽象成数学问题 (1)将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线． (2)在直线l上找到一点C，使AC与BC的和最小？
解决数学问题 问题4 如图，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找到一点C，使AC与BC的和最小？ 作法： （1）作点B 关于直线l 的对称 作法： （1）作点B 关于直线l 的对称 点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交 于点C． 则点C 即为所求． C B′
证明AC +BC “最短” 问题5 你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？ 证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不 重合），连接AC′，BC′，B′C′． 由轴对称的性质知， BC =B′C，BC′=B′C′． ∴ AC +BC = AC +B′C = AB′， AC′+BC′ = AC′+B′C′． 在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′， ∴ AC +BC＜AC′+BC′．即AC +BC 最短． B′ C C′
证明AC +BC “最短” 追问1 证明AC +BC最短时，为什么要在直线l 上任取一点C′（与点C不重合），证明AC+BC＜AC′+BC′？ 若直线l 上任意一点（与点 C 不重合）与A，B 两点的距离 和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小． B′ C C′
证明AC +BC “最短” 追问2 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？ 追问2 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？ 利用轴对称，把直线l 同侧的两点，转化为直线l异侧的两点，再利用“两点之间，线段最短”画图． B′ C C′
巩固练习 练习 如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山 脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返
归纳小结 （1）本节课研究问题的基本过程是什么？ （2）轴对称在所研究问题中起什么作用？
布置作业 教科书复习题13第15题．