正切函数的图象和性质 周期函数定义: 一般地,对于函数 (x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有 正弦、余弦函数都是周期函数,2k (kZ且k0) 都是它们的周期,最小正周期是2.
y x 1 -1 o1 /4 -/2 /2 -/4 o y=tanx,x (-/2, /2)
由正切函数的周期性,把图象向左、向右扩展,得到 正切函数的图象,称为正切曲线 y x 1 -1 /2 -/2 3/2 -3/2 - y=tanx
y x 1 -1 性质 答案 {x|x k + /2, k z} 定义域 值域 R 周期性 奇偶性 奇函数 单调性 -/2 3/2 -3/2 - 性质 答案 {x|x k + /2, k z} 定义域 值域 R 周期性 奇偶性 奇函数 单调性 增区间( k -/2 , k + /2) k z
(一)例:求函数 y=tan(x+ /4)的定义域。 提示:用换元法 解:令t=x+ /4,则函数y=tant的定义域是 {t|t k + /2, k z} x+ /4 =t=k + /2 x = k + /2 –/4 = k + /4 所以 ,y=tan(x+ /4)的定义域是 {x|x k + /4, k z} 练习:1.求函数 y=tan(2x+ /3)的定义域 2.求函数 y= – tan(3x – /6)+2的定义域
练习:求x的范围 1. tanx=0 2. 1+tanx>0 3. tan(x+/4)1 (二) 例:观察正切曲线,写出满足下列条件的x的值的范围。 (1) tanx >0 (2)tanx <1 x y –/2 /2 x y 1 /2 –/2 /4 (k,k+/2) kz (k–/2,k+/4)kz 练习:求x的范围 1. tanx=0 2. 1+tanx>0 3. tan(x+/4)1 4. tan(3x–/3)<–1 5. tan(–2x+/6)>1
y 1 x -1 练习 /2 -/2 3/2 -3/2 - 1、tan1670 与 tan1730 (三)比较下列各值 1、tan1670 与 tan1730 2、tan(-11/4)与tan(-13/5) 解:900〈1670〈1730〈1800 又有y=tanx, 在(900,2700)上是增函数 解:因为 tan(-11/4)=tan(- 3/4) tan(-13/5)=tan(-3/5) 又有:-3/2< - 3/4< -3/5< -/2 tan(- 3/4)< tan(-3/5) 即 tan(-11/4) tan(-13/5) 所以:tan1670<tan1730 练习 1)tan(-1/5) tan(-3/7) 〉 3) tan7/8 tan1/6 〈 2) tan15190 tan14930 〉
y 1 x -1 /2 -/2 3/2 -3/2 - 1、tanx>0是x>0的 1、tanx>0是x>0的 A、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 2、直线y=a(a为常数)与正切曲线y=tanx 相交的相邻两点间的距离是 A、 B、/2 C、2 D、与a值有关