光学信息技术原理及应用 (五) 总结与习题
傅里叶变换(熟练掌握) (傅立叶变换) (傅立叶逆变换)
傅里叶变换定理(1)(运用) (1)线性定理:如果 则有 (2)相似性定理:如果
傅里叶变换定理(2) (3)位移定理:如果 则有,函数在空域中的平移,带来频域中的相移 同时,函数在空域中的相移,带来频域中的平移
傅里叶变换定理(2) (4)帕色伐(Parseval)定理:如果 则有: 该定理表明信号在空域和时域的能量守恒。
δ函数的基本性质和物理意义(重点理解)
常用函数及其傅里叶变换(1) (1)常数c (2) 函数 (3)余弦函数 (4)正弦函数
常用函数及其傅里叶变换(3) (5)矩形函数 表示狭缝 (6)三角形函数 表示矩形光 瞳OTF
常用函数及其傅里叶变换(4) (7)梳状函数 用来表示光栅,抽样 (8)高斯函数 用于表示激光光束光强分布
卷积的定义及计算(掌握) 对于两个复值函数 和 , 其卷积定义为 式中*表示卷积运算。
卷积过程图示(1) 原函数 折叠 位移 相乘—得到被积函数
包含δ函数的卷积----函数的移位 原点处的篩选性质有 任意函数和位于 处的脉冲函数的卷积得到 任意函数和位于 处的脉冲函数的卷积得到 这个性质有助于对于重复的物理结构的描述,如光栅、双缝等
线性空不变系统的传递函数(理解计算 如果不变线性系统的输入是空域函数,其傅里叶变换为 同时输出函数和脉冲响应函数的傅里叶变换分别为 根据卷积定理有 即 称做不变线性系统的的传递函数
抽样定理(理解掌握) 假如函数 是限带函数,即它的频谱仅在频率平面上一个有限区域内不为零 假如函数 是限带函数,即它的频谱仅在频率平面上一个有限区域内不为零 若包围该区域的最小矩形在 和 方向上的宽度分别为 和 欲使图中周期性复现的函数频谱不会相互混叠,必须使 或者说抽样间隔必须满足 式中表示的两方向上的最大抽样间距和通常称作奈奎斯特(Nyquist)抽样间隔
习题1 1.给定正实常数f0和实常数a与b,求证: (1)若 ,则 (2)若 ,则 ,
证明: (1)对等式左边取傅里叶变换得: 在频谱面上一个有限的区域中不为0,包围该区域的最小矩形在f方向上的宽度为2f0, 滤波函数的宽度为 ,由题意可知2f0< 故满足采样定理,能够准确恢复原函数 命题得证。
(2) 由|b|<|a|可知 ,故上式
2. 已知线性不变系统的输入为 ,系统的传 递函数为 ,若b取下列数值,求系统的输出。 并画出输出函数及其频谱的图形。 (1)b=1 (2)b=3
解: 当b=1时, 当b=3时,
3. 一个二维的物函数f(x,y),在空域中尺寸为 10 3.一个二维的物函数f(x,y),在空域中尺寸为 10*10mm2,最高空间频率为5线/mm, 若要制作一张傅里叶变换计算全息图,物面上最少的 抽样点数为多少?
解:由于物函数的最高空间频率为5线/mm,即其最大带 宽。 根据抽样定理,若限带函数在频域中 以外恒为0,函数在空域中 范围内抽样 数至少为 由题意可知,X=Y=5mm, 线/mm