第十二章 全等三角形 角平分线的性质 （第２课时） 八年级上册 第十二章 全等三角形 角平分线的性质 （第２课时） 湖北省通城县隽水寄宿中学 刘大勇 龚燕珍
探究角平分线的判定定理 你能写出角平分线的性质的逆命题吗？ 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 猜想：上述命题成立吗？ 你能写出角平分线的性质的逆命题吗？ 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 猜想：上述命题成立吗？ 你能证明这个结论的正确性吗？
探究角平分线的判定定理 已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上． ∴ ∠QDO和∠QEO都是直角， 在Rt△QDO和Rt△QEO中， QO＝QO，（公共边） QD=QE， （已知） ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO.（HL） ∴ ∠QOD＝∠QOE. ∴点Q在∠AOB的平分线上.
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 探究角平分线的判定定理 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 几何语言： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE， ∴点Q在∠AOB的平分线上．
比较辨别 OP平分∠AOB PD=PE PD⊥OA于D PD⊥OA于D PE⊥OB于E PE⊥OB于E PD=PE OP平分∠AOB 角的平分线的性质 角的平分线的判定 图形 已知 条件 结论 P C P C OP平分∠AOB PD=PE PD⊥OA于D PD⊥OA于D PE⊥OB于E PE⊥OB于E PD=PE OP平分∠AOB
巩固应用 如图，要在S 区建一个广告牌P，使它到 两条高速公路的距离相等，离两条公路交叉处500 m，请你帮忙设计一下，这个广告牌P 应建于何处？（在图上 标出它的位置，比例尺为1：20 000） S O P ●
巩固应用 A D 如图， △ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等. F N P M E 如图， △ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等. 证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F. ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， ∴PD=PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）. 同理，PE=PF． ∴PD＝PE=PF. 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．
巩固应用 想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ D P M N A B C F E 结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
巩固应用 如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F．求证：点F在∠DAE的平分线上． 证明： 过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M, G ∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC， ∴FG＝FM. M 又∵点F在∠CBD的平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC, H ∴FM＝FH. ∴ FG＝FH. ∴点F在∠DAE的平分线上.
小结反思 1.角平分线的性质定理和判定定理有何区别和联系？ 2.应用角平分线的性质定理和判定定理时，怎样做辅 助线？
课后作业 教科书习题12.3第3、7题．